Касательная к графику функции - алгоритм составления уравнения, формула, свойства, примеры

Однако следует разобраться в основных терминах и соотношениях.

Специалисты рекомендуют пользоваться специальным алгоритмом, позволяющим правильно находить точку касания прямой с какой-либо фигурой.

Общие сведения

Касательной называется прямая, имеющая с фигурой или графиком заданной функции одну общую точку. Однако иногда она проходит через 2 точки. В этом случае ее называют секущей. Прямая задается следующим уравнением: y = kx + b. Значение "k" — это угловой коэффициент.

Для решения задач следует разобрать основные понятия, определения, формулы и свойства касательной.

Кроме того, очень важно понять ее геометрический смысл, поскольку без него будет сложно разобраться в более сложных дисциплинах с физико-математическим уклоном.

Определения и понятия

У касательной есть определенный параметр — угол наклона (а).

Его необходимо отсчитывать от оси абсцисс (только положительное направление) к прямой, заданной графиком y = kx + b.

От него зависит ее расположение.

Коэффициент «к» равен значению тангенса угла наклона, т. е. tg(a).

Математики сделали некоторые выводы, которые основываются на значении углового коэффициента:

1. При a = 0 прямая параллельна ОХ: k = tg(0) = 0 (y = b).
2. Если угол острый (0<a<90), то k>0. В этом случае график возрастает (y = kx + b).
3. Угол является прямым (a = ПИ/2): прямая расположена перпендикулярно оси абсцисс.
4. В случае, когда выполняется неравенство 90<a<180, значение k<0. График является убывающим.

В первом, втором и третьем случаях коэффициент является положительным, а в последнем — отрицательным. Эти факты следует учитывать при решении задач. Касательная прямая может являться и секущей, т. е. соприкасаться с графиком функции сразу в двух и более точках. Следует отметить, что при параллельности прямой оси ОХ (y = b), она может пересекать функцию бесконечное число раз.

Существует еще одно определение: касательной к функции вида y = f(x) в точке (х0, f(x0)) является прямая, которая проходит через эту точку с тем условием, что отрезок имеет множество значений, близких к ней (х -> x0).

Геометрический смысл

Пусть дана некоторая функция y = f(x) и секущая АВ (рис. 1). Координаты последней в точках А и В следующие: А(х0;f(x0)) и В(х0+zx;f(x0+zx)). Величина "zx" — приращение аргумента по х, которое показано стрелками. Если подставить координаты в функцию, то она имеет такой вид: zy = zf(x) = f(x0+zx) - f(zx).

Рисунок 1. Геометрический смысл.

Соотношение, которое было получено выше, называется производной. Если к графику в точке проведена секущая или касательная, то тангенс угла будет равен самой производной заданной функции в точке с координатой х0.

Из этого определения можно сделать вывод о существовании производной. Если значение последней равно 0, то, следовательно, не существует общих точек с заданной фигурой.

Касательные к фигурам и графикам

При решении задач следует обратить внимание на частные случаи. Нужно произвести расчеты уравнения прямой или найти точки соприкосновения с окружностью, эллипсом, гиперболой или параболой. Очень распространенная задача встречается также в механике о ременной передаче.

Частные случаи позволят найти оптимальное решение и метод расчета, поскольку экономия времени является важным элементом при научных исследованиях, написании контрольных работ и сдаче экзаменов. Важный этап — идентификация типа задачи. Касательная к вышеперечисленным фигурам — основной тип заданий, но существуют и более сложные функции.

Например, сложно составить уравнение прямой, которая имеет точки касания с какой-либо сложной функцией.

В некоторых случаях необходимо перед выполнением расчетов ее упростить, т. е. привести подобные слагаемые, раскрыть скобки или воспользоваться другими приемами для упрощения выражения.

Одна и несколько окружностей

Радиус, который проводится через точку касания, составляет с касательной прямой угол (перпендикулярен). Перпендикуляр к касательной, проходящий через точку касания, является радиусом или диаметром заданного круга. Из этого следует, что радиус является нормалью по отношению к прямой. Секущая - прямая, которая проходит через график или фигуру, но имеет от двух и более точек пересечения.

Формула окружности с центром в точке О (xc;yc) и радиусом R имеет следующий вид: sqr(х-хc) + sqr(y-yc) = R^2.

Для решения следует выразить значение у, но при этом нужно рассматривать 2 случая:

1. y = sqrt[R^2 - (х-хc)^2] + yц.
2. y = -sqrt[R^2 - (х-хc)^2] + yц.

Две функции являются полукругами и вместе образуют окружность. Чтобы составить график круга в точке (х0;у0), нужно уравнение в этой точке. В точках с координатами (хц;yц+R) и (хц;yц-R) уравнения касательных к окружности задаются следующими уравнениями: y = yц + R и y = yц - R. Если взять точки (хц+R;yц) и (хц-R;yц), они будут иметь такую форму: x = xц + R и x = xц - R.

В случае для двух окружностей всего можно провести до 4 касательных (2 внешних и 2 внутренних). Это зависит от случая расположения фигур. Точкой пересечения внешних считается внешняя гомотетия (подобие), а внутренних — в центре внутреннего подобия. Внешними называются прямые, которые касаются внешних точек круга. Если касательные являются внутренними, то они пересекают линию, соединяющую центры окружностей.

Следует отметить, что внешний и внутренний центры гомотетии лежат на некоторой прямой. Она проходит через центры заданных окружностей. Это был рассмотрен случай, когда одна окружность меньше другой.

Однако при равенстве их диаметров появляются некоторые свойства: внешние касательные параллельны и внешнего центра гомотетии не существует.

Основные соотношения можно вывести, используя уравнение прямой (касательной) и расстояние от точки до прямой. Пусть окружности с радиусами R1 и R2 имеют следующие координаты центров: с1(х1;у1) и с2(х2;у2). Уравнение прямой записывается таким образом: ах + by + c = 0. Расстояния до прямой от точек с1 и с2 вычисляются таким образом: ах1 + by1 + c = R1 и ах2 + by2 + c = R2. Формула находится с помощью вычитания первого уравнения из второго: а(х2 - х1) + b(y2 - у1) = R2 - R1. Следовательно, расстояние вычисляется по следующей формуле: d = sqrt[(х2 - х1)^2 + (y2 - у1)^2].

Эллипс, гипербола и парабола

Пусть задан эллипс с полуосями a и b.

Его центром является точка с координатами (xц;уц). Уравнение, описывающее фигуру имеет такой вид: [(х - хц)^2 / a^2] + [(y - yц)^2 / b^2] = 1. Необходимо выразить переменную y. Функция будет состоять из двух полуэллипсов: y = (b/a) * sqrt[a^2 - (x-xц)^2] + yц и y = -(b/a) * sqrt[a^2 - (x-xц)^2] + yц. Касательные к геометрической фигуре могут быть параллельными оси ОХ или ОУ.

В некоторых случаях график задан уравнениями кривых, к которым относятся гипербола и парабола. Пусть первая имеет координаты центра (xц;уц) с вершинами (xц+а;уц) и (xц-a;уц). Ее уравнение принимает такой вид: [(х - хц)^2 / a^2] - [(y - yц)^2 / b^2] = 1. Если же ее вершины имеют такие координаты (xц;уц+b) и (xц;уц-b), то она описывается следующим равенством [(х - хц)^2 / a^2] - [(y - yц)^2 / b^2] = -1. В последнем равенстве меняется знак. При решении нужно разбить на две объединенные функции:

1. y = (b/a) * sqrt[(x-xц)^2 - a^2] + yц и y = -(b/a) * sqrt[(x-xц)^2 - a^2] + yц.
2. y = (b/a) * sqrt[(x-xц)^2 + a^2] + yц и y = -(b/a) * sqrt[(x-xц)^2 + a^2] + yц.

В первом случае прямые параллельны оси ординат, а во втором - абсцисс. Чтобы написать уравнение прямой, нужно определить, к какой из функций принадлежит точка, выполнив подстановку в текущие равенства. После этого их следует проверить на тождественность.

Чтобы записать уравнение прямой-касательной к параболе y = ax^2 + bx + c в точке с координатами (x0;y(x0)), нужно привести равенство к следующему виду: y = y'(x0) * (x-x0) + y(x0). Из формулы можно сделать вывод о том, что прямая параллельна оси абсцисс. Параболу нужно рассматривать, как объединение двух функций (x = ay^2 + by + c). Рекомендуется решить его относительно y. Дискриминант вычисляется таким образом: D = b^2 - 4a(c - x).

В зависимости от его значения находятся корни:

1. D>0: y = [-b + sqrt(D)] / 2a и y = [-b - sqrt(D)] / 2a.
2. D=0: y = -b / 2a.
3. D<0: нет точек касания.

Суть сводится к решению обыкновенного квадратного уравнения. Если коэффициент а=1, то корни можно найти по теореме Виета: x1 + x2 = - b и x1 * x2 = c.

Примеры решения

Существует несколько типов задач на нахождение уравнения прямой, которая соприкасается с заданным графиком функции. Самой простой является задача со следующей формулировкой: прямая является касательной к графику функции. Найдите все точки касания. В этом случае задается уравнение графика функции и прямой. Некоторые задания считаются более сложными. В них необходимо написать уравнение касательной или касательных.

Рекомендации специалистов

Для решения задачи нужно внимательно прочитать условие и выяснить величины, которые следует найти. Все построено на нахождении производной функции. После этого нужно подставить значение координат точки в выражение первообразной. В некоторых случаях функция задается параметрически. Для удобства ее рекомендуется перевести в каноническую форму.

Рекомендуется разбивать задачу на несколько подзадач, поскольку будет очень просто выполнить проверку и исправить найденные ошибки. Существует несколько способов нахождения уравнения касательной: автоматизированный и ручной. В первом случае нужно использовать программное обеспечение. Оптимальным решением проблемы является онлайн-калькулятор.

При ручном режиме нужно решать, а иногда выполнить построение графика. Для оптимизации вычислений можно использовать Excel. График должен быть качественно построен и предельно понятен. В некоторых случая нужно будет вычислять предельные значения используя границы (lim).

Упражнения и ход вычислений

Нужно написать уравнение прямой-касательной к y(x) = x^3 - 2x^2 + 3 в т. xо = 2. Следует воспользоваться следующим алгоритмом:

1. Значение в х0 = 1: y(2) = 2 * 2^2 - 3 * 2 + 1 = 3.
2. Производная в заданной точке: y'(2) = 4x - 3 = 5.
3. Подстановка: y = y(2) + y'(2) * (x - x0) = 3 + 5(x - 2) = 3 + 5x - 10 = 5x - 7.

Одним из типов задач является нахождение точек, лежащих на ОХ, в которых прямые (касательные) || OX. Задана функция f(x) = x^3 - x^2 - 3x + 7. Угол наклона равен 0 градусов, т. к. касательная || OX (производная в точках касания равна 0).

Алгоритм решения следующий:

1. Найти производную исходной функции: f'(x) = 3x^2 - 2x - 3.
2. Если приравнять выражение к 0, то получится обычное квадратное уравнение: 3x^2 - 2x - 3 = 0.
3. Дискриминант: D = b^2 - 4ac = 4 - 4 * 3 * (-3) = 40.
4. Уравнение имеет 2 корня: х1 = (2 - sqr(40)) / 6 = (1 - sqr(10)) / 3 и x2 = (1 + sqr(10)) / 3.

Рекомендуется оставить в таком виде, поскольку при вычислении кубического корня появятся некоторые погрешности. В этих примерах необязательно составление графика.

Таким образом, геометрический смысл уравнения касательной к функции — производная. Следует изучить основные понятия, формулы и разобрать решение типовых задач. Также нужно повторить таблицу производных функций.