Независимо от того, в каком классе проходят уроки алгебры – математическом или обычном – квадратное уравнение изучается почти сразу после освоения всех видов своего простого линейного аналога, будучи «следующим уровнем сложности». Вычисление и поиск верного ответа не представляют трудностей, достаточно запомнить алгоритм решения и следовать ему.

Наравне с выражениями с комплексными числами и функциями с двумя переменными, алгебра поначалу заставит ученика изрядно поломать голову вне зависимости от возраста и склада ума. 

Отчаявшиеся понять данный раздел науки могут использовать решебник и онлайн-калькулятор, выкладываемые в интернете от разных авторов в различном оформлении - на вкус читателя.

Примеры с переменной в квадрате – хорошие задания для тренировки навыков счета. В математических дисциплинах квадратное уравнение нередко выступает промежуточным шагом к доказательству теорем.

Дискриминант

Изучаемое выражение имеет стандартный вид:

ax2 + bx + c = 0

Все три слагаемых имеют коэффициенты, способные принимать любые значения, но при переменной в квадрате он не должен равняться 0, иначе уравнение перестает быть квадратным.

Например, уравнение 2x+ 2 = 0 идентично выражению 2x+ 0x + 2 = 0.

Части равенства справа от знака равенства переносятся влево с противоположным знаком:

6x= 8x - 4

6x- 8x + 4 = 0

Разобрать квадратное уравнение поможет дискриминант (D). Этот вспомогательный показатель через сложные расчеты позволит найти корни выражения или обнаружить невозможность решения. 

Вывод формулы выполняется благодаря манипуляции с числовыми показателями:

D = b2 - 4ac

Например, в выражении 5x- 7x + 2 = 0

D равен: (-7)- 4*5*2 = 49 - 40 = 9.

Определение дискриминанта подскажет количество корней:

  • D>0: два корня;

  • D=0: один корень;

  • D<0: нет решения.

Связано это с тем, что в процессе решения дискриминант придется возводить под квадратный корень - √(D) – а отрицательные числа из него не выводятся.


Корни квадратного уравнения

Квадратные уравнения

Завершающий шаг – вывод ответов путем вычислений. Как решить уравнение – зависит от количества корней.

1. Если ответа 2, их нахождение выполнится через формулы:

1

2. Когда корень один, дискриминант уже не нужен (ведь √(0) = 0), и решать головоломку проще:

2

3. В случае, когда решения нет, вычислять ничего не нужно.

Далеко не все способы требуют долгих расчетов. Ученым-математиком из Франции Франсуа Виетом была выведена закономерность, раскрывающая удивительные свойства (коэффициентов):

3

Уникальна теорема Виета тем, что под ее определение подходят уравнения - приведенные там, где множитель при x2 равен 1. 

Например:

  • x- 3x + 4 = 0 – приведенное;

  • 2x- x + 1 = 0 – неприведенное.

 

Сумма корней равна –b, ведь сложение x1 и x2 приводит к такому ответу:

4

Произведение обоих ответов происходит по аналогичному принципу:

5

 

Способы решения заданий с переменными в квадрате не являются специфическими – даже неприведенные выражения можно решить данной теоремой.

Как пример: 2x- 6x + 9 = 0 при делении на коэффициент при x2 (а=2) примет вид x- 3x + 4,5 = 0 – и вполне годится для решения методикой французского ученого.

Другой метод того, как решать вариант с а≠1 – делить на a сумму и произведение корней:

2x2-5x+2=0

х1+ х2=5/2 =2,5

х1* х2=2/2 = 1

х1=2, х2=0,5.


Полное и неполное квадратное уравнение

Выражение ax+ bx + c = 0 считается полным, если содержит все три коэффициента. Если есть слагаемые, равные 0, оно становится неполным.

Полные и неполные квадратные уравнения

Неполное квадратное уравнение решается гораздо легче своего полного аналога. Нахождение корней не вызывает трудностей и предполагает свои особенности в поиске ответа.

Самый простой способ – разложение на множители.

2x2 - 5 x = 0 - неполное, так как с = 0.

x*(2x — 5) = 0

х1 = 0

2x - 5 = 0

х2 = 2,5.

Когда отсутствует bx, отыскать ответ еще легче:

x2 - 9 = 0 (здесь b = 0)

(x+3)*(x-3) = 0

или: x2 = 9

х1 = 3, х2 = -3.


Решение квадратных уравнений

Способы решения разнообразны. Состав слагаемых определяет, как находить верный ответ.

Самые легкие – разложение на множители. 

Пример:

x2 + 3x - 28 = 0.

Достаточно решить, что 28 = (-4)*7, а 3х = 7х — 4х;

Многочлен x2 + 7x — 4x — 28 = 0 можно представить в виде (x + 7)(x - 4) = 0;

Только два значения способны выполнить условие равенства: -7 и 4.

Вариант сложнее – вывод формулы полного квадрата:

4x2 + 8x + 4 - 4 - 32 = 0

Из 4x2 + 8x возможен многочлен 4x2 + 8x + 4, способный превратиться в (2x + 2)2

Сформировать 4x2 + 8x — 32 = 0 в более компактный вид:

4x2 + 8x +4 - 4 - 32 = 0

(2x + 2)2 - 36 = 0

Cвободное число переходит в правую часть:

6

Но не все уравнения удается преобразовать в удобную версию. Самые распространенные способы:

Стандартный алгоритм решения через дискриминант

0008

2x2 + 5x - 3 = 0

Найти D:

D = 52 - 4∗2∗(-3) = 25 + 24 = 49

Вычислить корни

7

Теорема Виета

2x2 + 5x - 3 =0

Из суммы корней и произведения образовать пропорцию

8

Нахождение ответов подбором и подсчетом:

-3 + 0,5 = -2,5

-3∗0,5 = -1,5

Помимо рядовых вычислений, алгебра предусматривает графический путь – минимум расчетов и чертежи на геометрической плоскости (системе координат).

График квадратного уравнения

В отличие от рассмотренных выше вариантов, построение графика позволит наглядно решить уравнение. Здесь оно предстает в виде системы двух функций – выражений с двумя переменными.

Стандартная формула ax+ bx + c = 0 принимает иной вид:

9
 

или ax= -bx  -c.

Общие точки параболы и линии станут ответами на задачу.

Квадратные уравнения – примеры и подробные решения

Нахождение ответа через стандартный алгоритм с дискриминантом и ее оформление в приведенное выражение уже рассмотрены, лишь графический метод нуждается в подробном рассмотрении – наглядном свидетельстве либо наличия корней, либо отсутствия оных.

Полное решение с двумя числами

Равенство x+ 2x - 3 = 0 аналогично удобному для графика аналогу x= -2x + 3

На плоскость наносится система двух функций:

10

11

Пересечения графиков на точках [1;1] и [-3;9] являются решением задачи. Если нужны были данные по переменной x, воспользоваться нужно ими.

Ответ: 1 и -3.

Единственный корень в уравнении

Подобно примеру выше, выражение 3x+ 6x + 3 = 0 преобразуется в систему:

12

 

14

Здесь только 1 точка касается обоих графиков – [-1;3]. Координата x – корень уравнения.

Ответ: х = 1.

Отсутствие целевых точек

Уравнение и система

15

на координатной плоскости не располагают общими отметками.

16

Как решать случай с несовпадением графиков? Это невозможно.

Ответ: нет корней.


Как решать систему уравнений с квадратами

Квадратные уравнения с двумя переменными нередко предстают в виде системы. Их решение потребует больше усилий и времени, но нахождение ответа все еще возможно.

Первый метод уже рассмотрен в разделе выше – графический. Процесс неизменен:

  1. Разбить уравнения на более простые.

  2. Составить функцию с каждым на общей системе координат.

  3. Точки пересечения станут корнями уравнения.

Второй способ – подстановка одного выражения в другое:

17

К системе подходит следующий алгоритм решения:

1. Представить одну переменную в составе другой:

18

2. Подставить выраженную переменную x в другое выражение:

19

3. Решить выражение как обычное квадратное уравнение:

20

Комбинация ответов занимает много места – дискриминант не всегда удается вывести из-под знака корня:

21


Третий способ – введение новых переменных. Актуален, когда подстановка займет много времени и поможет упросить вывод формулы.

 

22
 

Обозначить новые переменные:

23

Использовать их в решении, заменив ими неудобные множители:

24
  

Итог – два набора данных

25
 

или

26
  

Продолжить «расшифровку» с полученными парами чисел, создав и решив стандартное уравнение.

Первый вариант:

27
 

Здесь на выходе две подсистемы.

Второй вариант:

28

Корни при данном раскладе отсутствуют. Решение – первая подборка.

Ответ: х= (1;3), х= (3;1).