Метод интервалов - алгоритмы и примеры решения неравенств

Общие сведения

Под неравенством в математике понимаются функции, связанные между собой знаками больше, меньше, больше — равно, меньше — равно. Оптимальным методом их решения является нахождение способом интервалов. Его возможно применять к рациональным уравнениям, то есть к тем, в состав которых входят числа и переменная x с указанием различных алгебраических действий над ними, например, умножение, деление, возведение в степень с натуральным показателем.

Решить неравенство, значит, найти множество, при котором будет выполняться заданное условие. Между вычислением неравенств и уравнений много общего, главное отличие лишь в том, что для первых ответ представляет собой область решений, а для вторых — конкретные числовые значения. Многие методы нахождения ответа являются громоздкими, например, приведение уравнения к совокупности системы, построение графиков функций. Для небольших выражений их ещё можно применять, но когда в задании стоит шесть, семь множителей или больше, то решить его такими методами самостоятельно очень сложно, а сама операция займёт много времени.

Поэтому был разработан простой алгоритм, позволяющий вычислять сложные неравенства вида (x) > 0 и f (x) < 0. Знакомят с ним в восьмом классе средней школы. Он довольно легко запоминается учащимися. Алгоритм решения состоит из пяти шагов:

1. Имеющееся уравнение нужно приравнять к нулю, получив вместо неравенства равенство. Найти его корни.
2. Нарисовать координатную ось, на которой отметить точки, соответствующие решению полученного равенства. В итоге должны получиться различные области.
3. Определить кратность возможных решений. Для этого нужно исследовать корни. Если они чётные, то над равенством изображается петля.
4. На каждом выделенном интервале определить знак функции. Для этого нужно взять произвольное число, попадающее в область исследуемого интервала, и подставить его в заданное неравенство.
5. Подписать полученные знаки, соответствующие областям на координатной оси. Проанализировать соответствие интервалов удовлетворению условию задания.

Следует отметить, что кратным называют корень, при котором существует чётное число одинаковых решений. При нестрогом неравенстве в интервал включаются и корни уравнения (обозначают их на графике кружком).

Нужно запомнить, что при переходе через решение равенства знак будет меняться на противоположный. Также нужно знать, что показательная функция f (x) = ax + b является линейной и при a, не равном нулю, называется многочленом первой степени.

Суть метода

Справедливо считается, что решение неравенств методом интервалов — это довольно быстрый и эффективный инструмент. Это своего рода волшебная кнопка, которую можно нажать и найти необходимый ответ. При этом не имеет значения, насколько сложный многочлен записан в уравнении.

Пусть имеется неравенство простого вида: aх² + bx + c > 0. Конечно же, это несложное уравнение, которое проще всего решать методом выражения неизвестной. Но для понимания принципа вычисления с помощью интервалов нужно начинать именно с простых примеров.

Для применения способа необходимо выражение приравнять к нулю, то есть переписать его как aх² + bx + c = 0. Так как это квадратное уравнение, то у него может быть два действительных корня: x1 один и x2. Равенство примет вид: a * (x - x1) * (x - x2).

Затем можно нарисовать числовую прямую с изображением на ней предполагаемых корней. В итоге получится линия, разбитая на три интервала. Теперь задача состоит в том, чтобы оценить знак каждой полученной области. Для этого нужно взять любое число в первом интервале от минус бесконечности до x1 (границы не включаются) и подставить в исходное неравенство. Следует решить его и определить знак.

Пусть это будет число k. Заменив им неизвестную в заданном выражении, получится следующее: ak² + bk + c. Получив числовой ответ, его нужно просто сравнить с нулём, понятие модуль тут не используется. При этом существует всего два возможных варианта:

• k > 0 — это говорит о том, что на первом интервале все числа будут давать положительный ответ;
• k < 0 — значит, в ограниченной области все возможные результаты решения имеют знак минус.

Пусть для рассматриваемого примера первый знак будет плюс, тогда очевидно, что на втором интервале будет знак минус, а в третьей области ответ снова будет иметь положительное значение.

Так как по условию неравенство должно быть больше нуля, то в ответ пойдут только области, которые определены со знаком плюс. Это можно записать как x Є (- ∞, x1) U (x2, +∞). Скобки строгие из-за того, что решается неравенство с конкретным указанием, поэтому x1 и x2 в возможное решение не включены.

Простой пример

Ученикам на уроках для закрепления теории предлагается решить несколько типовых заданий, касающихся вычисления неравенств методом интервалов. В своём большинстве они несложные и позволяют на практике воспользоваться полученными знаниями. Ниже представлен один из таких примеров.

Пусть имеется неравенство (2x + 3) / (x — 4) > 0. На первый взгляд кажется, что нужно избавиться от знаменателя, умножив левую и правую часть на x — 4. Но это делать нельзя, потому что при разных значениях неизвестной уравнение может иметь как знак плюс, так и минус, а иногда и быть равным нулю. Поэтому правильным решением будет перенести свободный член с правой стороны в левую, а затем упростить выражение через приведение к общему знаменателю. После этого получится неравенство больше нуля.

Сделать это можно следующим способом: ((2x + 3) / (x — 4)) — 3 > 0. Отсюда: (2 x + 3 — 3 x + 12) / (x — 4) > 0. Найдя подобные и выполнив преобразование, исходное неравенство примет вид: (-x + 15) / (x-4) > 0.

Согласно алгоритму, используемому для решения методом интервалов, полученное выражение нужно приравнять к нулю и решить: (-x + 15) / (x- 4) = 0. Дробное отношение равняется нулю лишь в том случае, если делимое будет равно ему, а делитель в него не обращается. Поэтому уравнение можно представить в виде следующей системы:

{-x — 15 = 0.

{x — 4 ≠ 0.

Выразив икс из каждого условия, можно получить: x = 15; x ≠ 4. Это и есть решение уравнения. Далее полученные значения следует перенести на числовую прямую, обозначив промежутки. Отмеченные точки закрашивать не нужно, так как равенство строгое. Получится три интервала на каждом, из которых необходимо определить знак. Осуществлять подстановку можно как в исходное неравенство, так и в приравненное к нулю.

Из первого интервала можно взять ноль. Подставив его вместо икса, получится деление положительного числа на отрицательное (знак минус). Из второго интервала от четырёх до пятнадцати можно взять число десять. После подстановки получится знак плюс. Аналогично и с третьим интервалом, например, можно взять число 100. В итоге получится знак минус. Тут нужно отметить, что выполнять определение знака нужно на каждом интервале, так как использовать правило знакопостоянства не всегда возможно.

По условию решением уравнения будут числовые значения больше нуля. Этому удовлетворяет интервал от четырёх до пятнадцати. Таким образом, решением неравенства будет: x Є (4; 15). Неравенство решено.

Решение сложного задания

Решение сложных неравенств способом интервалов занимает гораздо меньше времени, чем альтернативными методами. Например, нужно вычислить выражение (x³ - 6x² + 11 - 6) / (x⁴ + 9x² - 10) ≥ 0. К этому неравенству нужно применить рассматриваемый метод, поэтому вместо исходного выражения нужно решать уравнение (x³ - 6x² + 11 - 6) / (x⁴ + 9x² - 10) = 0.

Дробь может быть равной нулю лишь в том случае, когда числитель будет равняться нулю, а знаменатель нет. Отсюда следует, что нужно найти корни делителя и делимого. После выполнения ряда преобразований результат должен получиться следующий: (x - 1) * (x - 2) * (x - 3) / (x - 1) * (x + 1) * (x² + 10) = 0.

Анализируя найденное выражение, можно заметить, что в числителе и знаменателе есть одинаковая скобка, поэтому кажется, что на x - 1 можно сократить. Но делать это ни в коем случае нельзя, так как изначально решается неравенство.

Итак, если в равенстве делимое равняется нулю, то это значит, что одна из скобок числителя должна быть нулевой (произведение на ноль даёт ноль). Таким образом, икс может равняться одному, двум или трём. Это и есть совокупность условий для числителя.

Знаменатель дроби не должен равняться нулю, иначе возникнет неопределённость. Возможным корнем в этом случае будет x, отличный от -1 и 1. Следует отметить, что третья скобка в делителе в ноль обратиться не может, поэтому она не учитывается. Для удобства полученные корни можно переписать в таблицу:

Из таблицы полученные значения необходимо перенести на числовую прямую. Так как равенство нестрогое, на оси точки будут как закрашенные (их ещё называют выколотыми), так и белые. Первые — это те, что получились за счёт знаменателя, а вторые — числителя. Затем нужно в каждом из них определить знак. В результате получится:

• (- ∞, -1) — белая точка -;
• (-1, 1) — белая точка +;
• (1, 2) — белая точка +;
• (2, 3) — закрашенная точка -;
• (3, + ∞) — закрашенная точка +.

Таким образом, по условию задания ответ будет иметь следующий вид: X Є (-1; 1) U (1; 2] U [3; + ∞). Квадратные скобки в записи обозначают, что корни уравнения также включаются во множество решения.

Применение онлайн-калькулятора

Алгоритм решения методом интервалов является довольно простым. Чтобы его освоить, нужно самостоятельно решить несколько примеров. Но на практике может случиться так, что исходное выражение будет изначально довольно сложным. Это не значит, что его нельзя решить, применив способ нахождения интервалов, просто понадобится проявить повышенное внимание и затратить определённое время.

При этом ошибки, скорее всего, могут возникнуть не при применении последовательности, а в результате арифметических действий. В таких случаях хорошим подспорьем будет использование так называемых математических онлайн-калькуляторов. Это обыкновенные сайты, на страницах которых расположен скрипт, выполняющий автоматическое вычисление примеров по заданному алгоритму.

Воспользоваться услугами сервисов, предлагающих вычисление неравенств способом интервалов, сможет каждый желающий. При этом доступ к решателю предоставляется не только бесплатно, но и без регистрации. Необходимо просто ввести в специальную форму условие примера и нажать интерактивную кнопку, запускающую автоматическое вычисление. Из множества онлайн-калькуляторов, расположенных в российском сегменте интернета, можно выделить следующие:

1. Kontrolnaya-rabota.
2. Math-solution.
3. Mathforyou.
4. Math24.
5. Matcabi.

Все эти сайты имеют интуитивно понятный интерфейс на русском языке. Кроме получения услуги математического онлайн-решателя на их страницах можно найти всю необходимую теорию, помогающую понять, как происходит нахождение ответа, а также изучить различные типы примеров с подробным комментарием к решению.

Такого рода сервисы — отличные помощники учащимся, студентам и инженерам. Что интересно, кроме непосредственного нахождения ответа эти сайты предоставляют возможность посмотреть подробное решение. То есть ими может пользоваться даже неподготовленный пользователь, ничего не понимающий в методе. Просматривая пошаговое решение примеров, со временем он поймёт суть способа и научится самостоятельно выполнять вычисления.