Показательная функция - виды, свойства и примеры построения графиков

Общие сведения

Функцией называется закон зависимости одной величины от другой. Выражается она при помощи выражений алгебраического, тригонометрического, иррационального и других типов. Существует два типа переменных, которые встречаются в любых функциях: зависимая и независимая. Последняя называется также аргументом.
Основной особенностью показательной функции считается ее вид, поскольку основанием является число, а степенью — аргумент. Последним называется независимая переменная, которая может принимать любые значения, кроме превращающих ее значение в пустое множество или неопределенность. Показательной называется функция вида z (y) = a^y (a > 0), которая зависит от аргумента в виде показателя степени «y».
Сферы использования
Применяется в описании различных законов роста какой-либо величины. В зависимости от показателя, функция может быстро возрастать. Иногда вместо основания «а» может быть указан символ экспоненты, которая стремительно возрастает. Пример показательной функции mc (t) = m0 * (½)^(t/T) используется при подсчете энергии, выделяемой во время деления ядер радиоактивного элемента за время t. Переменные и коэффициенты расшифровываются следующим образом:

- Масса радиоактивного вещества — зависимая переменная «mc (t)» от аргумента «t».
- Постоянная «m0» — начальная масса.
- Значение «Т» — период полураспада радиоактивного элемента.
Скорость роста функции можно проиллюстрировать на примере шахматной доски с зернами пшеницы. История гласит, что изобретатель шахмат попросил в награду положить на 1 клетку 1 зерно, на вторую — 2, на третью — 2 * 2 = 4 и так далее. На последнюю положили 2 63 штуки злаковых зерен. Следует отметить, что на шахматной доске 64 клетки. Решение простое, но результат вычисляется затруднительно, поскольку следует посчитать значение 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + … + 2 63 .
Используя формулу геометрической прогрессии Sn = b1 * [(q^n) — 1] / (q — 1), можно без проблем вычислить значение. Первое значение b1 = 1, знаменатель q = 2 3 / 2 2 = 2 2 / 2 = 2 / 1 = 2. Общее число зерен определяется таким образом: S64 = 1 * [(2 64 ) — 1] / (2 — 1) = (2 64 ) — 1. Ученые подсчитали, что такое количество превышает урожай пшеницы на планете за 2008−2009 год в 1800 раз. Если воспользоваться справочником или компьютером, то S64 = 18446744073709551615 — 1 = 18446744073709551614.
Примеры иллюстрируют применение степенной функции в жизни, поскольку она может описывать явления природы, в которой протекают различные процессы. Например, деление клеток злокачественных опухолей, увеличение количества молекул озона при разрядах молнии и так далее.
Представление функции
Математики рекомендуют ознакомиться на начальных этапах с графиком показательной функции и ее свойствами. Графиком называется ее графическое представление в некоторой системе координат. В качестве последней распространена декартовая прямоугольная с двумя осями (ординат — z и абсцисс — y). Оси можно обозначать любыми литерами. Например, в формуле mc (t) = m0 * (½)^(t/T) рекомендуется использовать в качестве ординаты ось «mc», а абсциссой будет время t.
Необходимо рассмотреть свойства функции, а затем строить ее график. Они различаются между собой, поскольку существует несколько вариантов представления. Для правильного построения и анализа необходимо разобрать все варианты. Это позволит воспользоваться уже готовым материалом и существенно оптимизирует процесс решения задач. Представление функции состоит из свойств и графика.
Основные свойства
Свойствами функции z = a^y называется совокупность некоторых характеристик, присущих только ей. Они нужны не только для построения графика, но и для дифференцирования, анализа и интегрирования. Список свойств и полезных соотношений:

- Область определения показательной функции D (z): все действительные числа R (-inf;+inf).
- Множество значений E (z): (0;+inf).
- Минимальное и максимальное значения отсутствуют.
- Принадлежит к функциям общего вида, то есть не является четной и нечетной.
- Периодичность: отсутствует.
- Пересечение с осью ординат: точка с координатами (0;1).
- Нулевые значения: отсутствуют.
- При а > 0 функция возрастает. Когда 0 < a < 1, тогда она будет убывать.
- На всей D (z) принимает только положительные значения.
- Неопределенность или пустое множество: 0 0 и y < 0 (при а = 0).
- Если y принимает отрицательные значения y < 0, то выполняется такое соотношение: a^y = 1 / (a^|y|). Обозначение «|y|» — модуль аргумента, который принимает только положительные значения.
- a 0 = 1.
- a^(w + f) = (a^w) * (a^f).
- (a^w)^f = a^(w * f).
- (a * b)^y = (a^y) * (b^y).
- Когда b не равно нулю: (a / b)^y = (a^y) / (b^y).
- a^(m/n) = [a^m]^(1/n) = [a^(1/n)]^m.
- Представление через логарифм по основанию «а» (y > 0): a^(log (y)|a) = y.
- Формула преобразования в функцию с другим основанием «b»: a^y = [b^(log (a)|b)]^y = b^[y * log (a)|b)].
- Если b = e (экспонента), то показательную функцию можно выразить через натуральный логарифм таким образом: a^y = e^(y * ln (a)).
Свойства функции доказываются математическим путем. Они основаны на алгоритмах исследования ее поведения.
Доказательства некоторых утверждений
Соотношения необходимы для решения различных задач, основанных на дифференцировании, интегрировании и упрощении выражений. Можно доказать третье свойство, то есть попытаться найти минимум и максимум. Для нахождения экстремумов следует воспользоваться таким алгоритмом:

- Найти производную: [a^y]' = a^y * ln (a).
- Производная существует во всех точках, кроме следующих: при x = 0 (a = 0), x < 0 (а = 0) и a > 0.
- Поиск стационарных точек [a^y]' = 0: a^y * ln (a) = 0. Решений нет, поскольку a^y не может принимать нулевое значение.
- Вывод: минимального и максимального значений нет вообще.
Проверка на четность осуществляется по соотношению z (-y) = z (y) таким образом: a^(-y) = 1 / |a^y|. Правая часть тождества не соответствует левой. Значит можно сделать вывод, что z (y) не является четной. Чтобы проверить на нечетность, следует воспользоваться равенством z (-y) = -z (y). Подставив значение «-у», получается следующее: a^(-y) = 1 / |a^y|. Следовательно, функция принадлежит к общему виду, то есть правилам четности и нечетности она не подчиняется.
Точка пересечения с осью ординат рассчитывается таким образом: решается уравнение z = a^y относительно y, принимающего нулевое значение: z = a 0 = 1. Искомая точка имеет координаты (0;1).
Построение графиков
Для построения графиков следует рассмотреть два случая, при которых a > 0 (рис. 1) и 0 < a < 1 (рис. 2). Кроме того, можно для сравнения построить частные примеры со следующими условиями:
- a < 0 и x > 0 (рис. 3).
- a = 0 и x > 0 (рис. 4).
- a = 1 и x > 0 (рис. 5).
Для построения графика существуют свои правила, которых рекомендуют придерживаться математики. Процедура осуществляется в двух режимах: схематическом и точном. В первом случае нужно знать свойства. Таблица зависимостей значения от аргумента не составляется. При точном построении необходимо составить таблицу. В ней необходимо рассмотреть около 5-10 значений независимой переменной. Затем все точки отмечаются на декартовой системе координат и плавно соединяются.
Оформление играет очень важную роль, поскольку не допускаются исправления. Очень важно соблюдать масштаб, и не отмечать каждое значение шкалы делений на оси абсцисс и ординат. Следует учитывать, что графики чертят также в двух режимах: автоматизированном и ручном. В первом случае применяются специализированные программы и веб-приложения (онлайн-калькуляторы). В последнем необходимо чертить карандашом, используя линейку. Этот момент очень важен, поскольку приучает к дисциплине на уроках, а также повышает читабельность материала. Для примера нужно начертить график z = 2^y. Необходимо составить таблицу 1:
z | 0,3 | 0,5 | 1 | 2 | 4 | 8 |
у | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
Таблица 1. Зависимость значения от аргумента (z = 2^y).
По таблице нужно построить график, отмечая координаты каждой из точек. После этого нужно плавно их соединить. Должен получиться примерно такой график:

Рисунок 1. График z = 2^y (a > 0 и y > 0).
Если рассмотреть пример, в котором y > 0 и 0 < a < 1, то графическое изображение (рис. 2) будет немного другим:

Рисунок 2. График при 0 < a < 1.
При a < 0 и x > 0 график также существенно изменится, поскольку будет постоянно убывать:

Рисунок 3. Графическая иллюстрация при a < 0 и x > 0.
Когда основание равно 0, тогда функция перестает быть показательной, поскольку не соблюдается условие из определения. На рисунке 4 представлен ее график:

Рисунок 4. Графическое представление при a = 0 и x > 0.
Последний случай — основание равно 1. Функция также не является показательной.

Рисунок 5. График при a = 1 и x > 0.
Кроме того, встречаются задачи не только на построение графика, но и на осуществление операций дифференцирования, нахождения производной и первообразной.
Правила дифференцирования
В некоторых задачах следует найти производную или дифференциал степенной функции. Для осуществления этой операции существует определенный алгоритм, который специалисты рекомендуют рассмотреть на конкретном примере. Условие задачи следующее: найти дифференциал z = 4^(6y). Для его нахождения нужно предпринять такие шаги:

- Выразить через основание "e": 4 = e^(ln4).
- Подставить в исходную функцию (следует воспользоваться 20 свойством): z = 4^(6y) = e^[ln(4 * 6 * y] = e^[6ln(4y)].
- Ввести новую переменную t = [6ln(4y)]: z = e^t.
- Воспользовавшись таблицей производных, найти значение функции в третьем пункте: z' = [e^t]' = e^t.
- Дифференциал находится по такой формуле: dz / dy = (dz / dt) * (dt / dy) = (e^t) * 6ln(4) = [4^(6y)] * 6ln(4).
Необходимо отметить, что производная берется из таблицы простейших (элементарных) функций. Когда выражение является сложным, как в примере, то дифференциал ищется по частям. Формула для сложного выражения имеет такой вид: [w(y(z(x)))]' = [z(x)]' * [y(z(x))]' * [w(y(z(x)))]'. Соотношение трудно понять, но на примере все довольно просто. Например, нужно найти производную z = e^(2cos(2x^2 + 1)). Функция состоит из трех элементов: f = 2x^2 + 1, y = 2cos(f) и v = e^y.
Следует воспользоваться формулой и вычислить производную каждого элемента: z' = [e^(2cos(2x^2 + 1))]' = 2[2x^2 + 1]' * [cos(f)]' * [e^y]' = 8x * (-sin(2x^2 + 1)) * e^(2cos(2x^2 + 1)). Результат следует оставить в таком виде, поскольку подобных слагаемых нет. Однако математики рекомендуют выносить минус в начало выражения: z' = -8x * (sin(2x^2 + 1)) * e^(2cos(2x^2 + 1)).
Поиск первообразных
Отдельным классом задач является интегрирование или нахождение первообразных. Для этой цели применяются специальные таблицы интегралов простейших функций. Кроме того, можно воспользоваться и табличными значениями производных. Они позволяют найти искомое первообразное выражение. Интегрирование считается обратной операцией и позволяет найти тождество, из которого была получена производная.

Для нахождения интеграла a^y следует воспользоваться такой формулой: ∫(a^y)dy = ∫(e^(ln(a * y))dy = [1 / ln(a)] * ∫(e^(ln(a * y))d(ln(a * y) = [1 / ln(a)] * (e^(ln(a * y)) + C = [1 / ln(a)] * (a^y) + C. Коэффициент «С» — константа, которая при дифференцировании исчезает. Однако ее необходимо учитывать. Кроме того, необходимо постоянно следить за знаком интеграла и переменной, по которой находится первообразная.
Таким образом, для решения задач со степенной функцией нужно пользоваться свойствами и алгоритмами, поскольку это существенно сэкономит время и избавит от множества ошибок.
Еще тесты
- Анатомия
- Английский язык
- Астрономия
- Биология
- Литература
- История
- Педсовет
- Естествознание
- Финансы и кредит
- Правоведение
- Товароведение
- Экономика
- Социология
- Маркетинг
- Обществознание
- Культурология
- Математика
- Философия
- Русский язык
- Психология
- Политология
- Делопроизводство
- Бухгалтерия
- ОБЖ
- Орфография
- География
- Биографии
- Физика
- Пунктуация
- Краткие содержания
- Химия
- Менеджмент
- Тест на тему Тест по теме Дыхательная система человека 7 вопросов
- Тест на тему Строение человека - анатомия внутренних органов 7 вопросов
- Тест на тему Гормоны - определение, виды, функции, роль в организме человека 5 вопросов
- Тест на тему Лейкоциты в крови - строение, где образуются и разрушаются, норма содержания 5 вопросов
- Тест на тему Одноклеточные организмы - строение , формы и признаки представителей 8 вопросов
- Тест на тему Бесполое размножение - виды, формы и биологическое значение процесса 9 вопросов
- Тест на тему Синтез АТФ - структура, функции и пути образования аденозинтрифосфорной кислоты 7 вопросов
- Тест на тему Биогеоценоз - определение, структура и свойства 5 вопросов
- Тест на тему Символизм в литературе - основные черты и представители направления 6 вопросов
- Тест на тему "У Лукоморья дуб зеленый" - анализ стихотворения Александра Сергеевича Пушкина 8 вопросов
- Тест на тему Родион Раскольников и Соня Мармеладова - история взаимоотношений в романе Ф. М. Достоевского "Преступление и наказание" 6 вопросов
- Тест на тему Семья Мелеховых в романе М. Шолохова "Тихий дон" 7 вопросов
- Тест на тему Отечественная война 1812 года - причины, основные сражения, итоги 7 вопросов
- Тест на тему Правление Ивана Грозного - внутренняя и внешняя политика 7 вопросов
- Тест на тему Образование СССР - причины, этапы становления, состав, итоги 6 вопросов
- Тест на тему Крещение руси князем Владимиром - причины, история, значение принятия христианства 6 вопросов
- Тест на тему Пищевая цепочка в природе - звенья, схемы и примеры цепей 5 вопросов
- Тест на тему Экологические факторы - классификация, примеры, общие закономерности воздействия 5 вопросов
- Тест на тему Биосфера - определение, состав, свойства, границы 5 вопросов
- Тест на тему Возникновение жизни на земле 6 вопросов
- Тест на тему Права и свободы человека и гражданина 5 вопросов
- Тест на тему Унитарное предприятие - виды, признаки, участники, особенности 7 вопросов
- Тест на тему Формы собственности - типы и виды и их характеристика 7 вопросов
- Тест на тему Предпринимательское право - понятие, принципы, предмет и объект, функции 5 вопросов
- Тест на тему Ликвидность предприятия - определение, виды, формула расчета 7 вопросов
- Тест на тему Процентная ставка - понятие, виды, методы расчета и начисления 5 вопросов
- Тест на тему Финансы - определние, сущность, основные функции, виды 7 вопросов
- Тест на тему Коммерческая деятельность - сущность и содержание 7 вопросов
- Тест на тему Статистическое наблюдение - виды, способы, последовательность этапов 6 вопросов
- Тест на тему Социальный контроль - понятие и функции, формы и методы, значение 5 вопросов
- Тест на тему Анкетирование - правила составления и виды вопросов, оформление результатов 5 вопросов
- Тест на тему Социальная группа — понятие, типы, критерии выделения 8 вопросов
- Тест на тему Деятельность человека - основные виды и характеристики 7 вопросов
- Тест на тему Воздушно-десантные войска (ВДВ) - история создания, подразделения, оснащение 7 вопросов
- Тест на тему Субъекты РФ - количество, виды, правовой статус 7 вопросов
- Тест на тему Социальные нормы - понятие, виды и характеристка, функции, примеры 6 вопросов
- Тест на тему Что такое угол 5 вопросов
- Тест на тему Деление в столбик — подробное описание алгоритма решения задач, примеры 10 вопросов
- Тест на тему Вычитание дробей - правила и примеры с решениями 5 вопросов
- Тест на тему Модуль числа - свойства, действия, как решать уравнения и неравенства с модулем 10 вопросов
- Тест на тему Ислам - история возникновения религии, основные положения 7 вопросов
- Тест на тему Мышление - определение, виды, функции, свойства 5 вопросов
- Тест на тему Что такое мораль, ее категории и функции 6 вопросов
- Тест на тему Буддизм - кратко о религии (история возникновения, основные положения, священные книги) 6 вопросов
- Тест на тему Безличные предложения в русском языке 8 вопросов
- Тест на тему Ударение в словах в русском языке - правила и проверка постановки 5 вопросов
- Тест на тему Морфемный разбор слова - правила выполнения с примерами 5 вопросов
- Тест на тему Сложноподчиненные предложения в русском языке 6 вопросов
- Тест на тему Мотивация - определение, виды и типы в психологии, менеджменте 5 вопросов
- Тест на тему Интеллект - понятие, признаки, как развивать, оценка 5 вопросов
- Тест на тему Социализация личности - понятие и сущность, агенты, примеры 5 вопросов
- Тест на тему Типы темперамента и их психологическая характеристика 5 вопросов
- Тест на тему Органы исполнительной власти РФ - понятие и правовой статус, структура и фунции 7 вопросов
- Тест на тему Европейский союз - история создания, цели, состав 5 вопросов
- Тест на тему Тоталитаризм - определение, характерные черты, плюсы и минусы идеологии 5 вопросов
- Тест на тему Политическая идеология - определение понятия, функции, классификация, особенности 5 вопросов
- Тест на тему Оборотные средства предприятия, их структура, учет и анализ 7 вопросов
- Тест на тему Бюджетная классификация - определение, структура 7 вопросов
- Тест на тему Калькуляция - основные понятия, примеры расчетов себестоимости 7 вопросов
- Тест на тему Бухгалтерский учет материально-производственных запасов на предприятии 8 вопросов
- Тест на тему Пистолет Макарова - шпаргалка по тактико-техническим характеристикам 9 вопросов
- Тест на тему Чрезвычайная ситуация - понятие, типы ЧС, причины возникновения, стадии развития 7 вопросов
- Тест на тему Вооруженные силы Российской Федерации — организационная структура и предназначение 7 вопросов
- Тест на тему ВМФ (Военно-Морской флот) России - структура, история, состав 7 вопросов
- Тест на тему Перу - географическое положение, климат и достопримечательности 9 вопросов
- Тест на тему Климатические пояса Земли - характеристика и особенности 8 вопросов
- Тест на тему Тайга - географическое положение, животный и растительный мир, особенности и характеристика природной зоны 7 вопросов
- Тест на тему Озеро - определение, классификация, признаки 6 вопросов
- Тест на тему Братья Гримм - биография, жизнь и творчество немецких писателей 10 вопросов
- Тест на тему Тамерлан (1336-1405) - биография, жизнь и завоевания великого полководца 10 вопросов
- Тест на тему Максим Горький (1868-1936) - биография, кратко самое важное, интересные факты из жизни писателя 9 вопросов
- Тест на тему Блок Александр Александрович (1880-1921) - биография, жизненный и творческий путь 11 вопросов
- Тест на тему "Ночь перед Рождеством" - краткое содержание повести Н. В. Гоголя 10 вопросов
- Тест на тему "Маленький Мук" - краткое содержание сказки Вильгельма Гауфа 10 вопросов
- Тест на тему "Дворянское гнездо" - краткое содержание романа И.С. Тургенева 8 вопросов
- Тест на тему "Бирюк" - краткое содержание рассказа И.С. Тургенева 10 вопросов
- Тест на тему Серная кислота - химические и физические свойства и реакции 8 вопросов
- Тест на тему Муравьиная кислота - формула, свойства, получение и применение 7 вопросов
- Тест на тему Сложные эфиры - характеристика, классификация и примеры соединений 8 вопросов
- Тест на тему Толуол - формула, свойства и применение химического вещества 8 вопросов
- Тест на тему Оценка персонала - виды, критерии и методы 7 вопросов
- Тест на тему Управление персоналом - задачи, функции, современные подходы 5 вопросов
- Тест на тему Менеджмент предприятий — сущность, виды, задачи и цели 7 вопросов
- Тест на тему Организационная структура предприятия — типы и предназначение 7 вопросов