Последовательность чисел Фибоначчи: суть и применение в математике

Что такое ряд чисел Фибоначчи

Математик Леонардо Фибоначчи с итальянского «Сын Добряка» приводит в 1202 году закономерную бесконечную последовательность интересных чисел. Каждый следующий элемент (натуральное число) — сумма двух впереди стоящих элементов:

Формула получения элемента m последовательности Фибоначчи: L(m) = L(m-1) + L(m-2), где m любой натуральный целый индекс. Поэтому элементы ряда четные следуют через 2 элемента нечетных (сумма 2-ух нечетных равна четному, а четного с нечетным равна нечетному).

В ряду натуральных чисел, первые два — единицы, но иногда применяется это множество, начинающееся с 0 и 1.

Некоторые удивительные математические свойства элементов ряда:

1. Частное от деления двух соседних чисел в ряду сходится (с увеличением m) и приближается к уникальному показателю 1,618 золотому сечению.
2. Число L(m) будет простым только для простых индексов (исключение m=4). Например, число 233 простое и m=13 тоже простое (но не наоборот).
3. В числах Фибоначчи прояляется закономерность: с периодом 60 повторяются последние цифры, а пара последних цифр чисел последовательна в цикле с периодом триста.
4. Числа Фибоначчи — это также суммы чисел по «мелким» диагоналям знаменитого треугольника Паскаля, как одно из его многочисленных свойств.

Задача с кроликами

На подсчет элементов забавной числовой последовательности Фибоначчи натолкнули плодовитые кролики. Ученый не изучает явление со всех сторон сразу. Определяются начальные характерные условия, ограничивается круг основных влияющих факторов, а незначительные опускаются, допускаются поправки. Так составили знаменитую задачу про биологически нереальное размножение кроликов, суть излагается не дословно.

В доме появилась пара маленьких крольчат, мальчик и девочка. Нужно определить, сколько пар зверушек будет через 12 месяцев. Надо учесть, что в первый месяц жизни они бездетны. Пара малюток первых (самка и самец) прибавляется во 2-ой месяц, а уже дальше парочки длинноухих ежемесячно нарождаются. Кролики не умирают, а превышающая плодовитость не учитывается.

Для упрощения обозначения можно принять месяц – м., число пар кроликов – это =1. Решается последовательно по шагам, пока математик не подметил закономерности чисел:

• 1 м. пара маленьких=1.
• 2 м. только первая пара= 1.
• 3 м. парочка дала приплод 1 пару=2.
• 4 м. старые двое рождают новую двойню, второй парочке еще рановато=3.
• 5 м. первая парочка приносит ещё пару, вторая плодит новую двойню, третьей паре рано=5.
• 6 м. 5+3=8, 55+34=89(11), 89+55=144(12)

По ежемесячным результатам получились числа Фибоначчи. После 12 месяцев расплодится длинноухих 144(12м.)+89(11м.)=233 пары. Получилась первичная модель экспоненциального роста кроличьей популяции. Сформулированная и решенная задача считается основным вкладом Фибоначчи в развитие комбинаторики.

Рекурсия и числа Фибоначчи в математике

При помощи задачи о кроликах Фибоначчи предварил метод рекуррентных соотношений, как мощный метод решения комбинаторных задач. Один из вариантов по- простому увидеть рекурсию — посмотреть в зеркало, перед которым поставили еще одно зеркало. Повторное отражение зеркал создает видимость тоннеля. Разбор вложенных друг в друга матрешек тоже пример рекурсивного выполнения.

Процесс обращается сам к себе, но с параметром, уменьшенным на 1 от начального. Рекурсия по латыни recurrens обозначает возврат, повторение. Конечная рекурсия служит для упрощения сложной задачи, процесса, вычисления, приводит к ним самим же, но «полегче», а те к более простым, решаемым сразу.

В математике, информатике, программировании без применения рекурсии не обойтись. Рекурсия чисел Фибоначчи — это правило (формула), по которому по нескольким последовательным элементам можно получить любой следующий член заданного числового ряда.

В методах определения функций и числовых рядов применяется математическая рекурсия. Примеры рекурсивных определений натуральных чисел, древовидных структур дискретной математики, функции вычисления факториала числа m, сортировки массива.

1. Один есть натуральное число; целое число, следующее за натуральным, есть натуральное число.
2. Дерево это множество, которое состоит из корня и соединенных с ним поддеревьев, они тоже являются деревьями. Дерево формализуется через самое себя. Рекурсия здесь конечна, т.к. поддерево имеет меньше узлов, чем включающее его дерево.
3. Факториал от m — это произведение всех натуральных чисел от 1 до m.

m!=1*2*3*..(m-1)*m. Требуемый m факториал вычисляется по значению предыдущего (m-1)!.

Золотое сечение

Эта идеальная пропорция, к которой каким-то образом стремятся природные объекты, создаются и описываются явления в искусстве, музыке. По сути, золотое сечение как связующее звено математических отношений, в приближениях иррационального числа рациональными числами, в бесконечных цепных дробях, в геометрии правильной пятиконечной звезды. Приближенное округление в процентах значения золотого деления дает результат отношения 62 % и 38%.

Проявление золотого сечения чисел Фибоначчи выражается в результате деления двух соседних элементов последовательности, который сходится (при возрастании m) и приближается к 1,618. Разделить на 2 целые доли с лучшим приближением к золотому сечению помогут элементы последовательности Фибоначчи. Например: в числе 13 разделяется на 8 и 5, в числе 21 — 13, 8.

Поделим отрезок LP(b) так, что точка N выполнит золотое сечение его таким образом, что LN: LP = NP:LN. Пусть LN=y (большая часть), тогда NP= b-y. Получается y:b=(b-y):y, т.е. y2=b*(b-y). Для определения y следует провести на отрезке дополнительное построение прямоугольного треугольника, используя среднее геометрическое длин отрезка и теорему Пифагора. Вычисляется значение y=( -1):2*b=0.62*b приближенно (t=0,618034).

Это лишь одно такое удивительное число, что обратное ему больше его самого ровно на 1, 1:t=1+t=1,618034. Решение уравнения t2 + t – 1 = 0 имеет единственный плюсовой корень. Используя это свойство числа, преобразовав выражение можно перейти к формуле числа t как бесконечной цепной дроби.

Золотая пропорция является иррациональной величиной. Числа Фибоначчи отражают целочисленные величины, отношение которых приближается к золотому делению. Эти две закономерности отражают неразрывность единых начал — непрерывного и дискретного.

Золотой прямоугольник и спираль Фибоначчи

Золотое деление характеризует в золотых прямоугольниках отношение – маленькая сторона (в) / длинная (а) равно длинная(а)/сумма короткой и длинной(а+в). Например, золотыми являются прямоугольники с длинами сторон числами Фибоначчи (55,34; 34,21; 21,13; и т.д. до 2,1).

Если в таком прямоугольнике (начиная с большего) отсечь квадрат (со стороной в), останется следующий меньший прямоугольник, большая сторона которого равна в, а малая (а-в). Продолжать произвольное число раз до самого малого квадрата. Дюрер (1525 г.) предложил простое построение: в каждый квадрат золотого прямоугольника вписывать четверть круга, образуются последовательно витки вокруг полюса. Получился частный случай логарифмической спирали – спирали Фибоначчи. Популярная линия Дюрера (Бернулли) – аппроксимация для золотой спирали (логарифмической).

При логарифмической (равноугольной) спирали для любой точки касательная образует с радиус-вектором одинаковый угол, а коэффициент роста означает изменение радиуса при повороте на 360°. Математики с момента открытия в 1638 году Декартом занимаются исследованием логарифмической спирали. Определено несколько схожих линий, не совпадающих точно с золотой. Коэффициент роста золотой (логарифмической) спирали равен f^4, где f=(+1)/2 - золотое сечение.

Понимать и разбираться в проблемах учит математика. Умению выделять главное, анализировать, отбрасывать лишнее обучаются на математических задачах и закономерностях. Важно при этом получать и чувствовать красоту гармонии формулировок, форм, собственных ассоциаций и аналогий.