Основные правила дифференцирования - алгоритмы и примеры вычислений

В основном эта операция применяется для исследования функций, а также величин, изменяющихся с течением времени.

В этом случае необходимо знать правила дифференцирования. Это довольно простая задача, когда функция соответствует табличному значению.

Однако бывают случаи, когда она является сложной.

Общая информация

Нахождение производной (дифференцирование) функции является одной из важнейших математических операций. Это позволяет существенно сократить объем вычислений. Например, при исследовании какой-либо функции, необходимо найти ее область значения. Существует множество методов решения данной задачи, но только нахождение производной позволяет оптимизировать вычисления. В данном случае к оптимизации относится экономия времени и сокращение объемов вычислений.

Дифференцирование применяется не только в математике, но и в некоторых других сферах человеческой жизни. Это прежде всего объясняется количеством затраченного времени и простотой расчетов.

Сферы использования

В физике с ее помощью можно найти такие величины: силу, ускорение, мощность, массу тонкого физического тела (стержня), скорость, теплоемкость, мгновенные значения тока и напряжения, а также другие величины. Последние должны изменяться с течением времени или по какому-либо закону. Если величина является постоянной (константой), то ее производная равна 0.

В химии и фармацевтике операция дифференцирования получила также широкое применение. Ее следует применять для точного расчета массы или массовой доли реактивов. Кроме того, она позволяет найти оптимальную дозу лекарственного препарата, при которой эффект будет максимальным, а побочные действия — минимальными.

Без производной не может обойтись и военно-промышленный комплекс. При расчете скоростных характеристик ракет во время их проектирования техники ею пользуются. В боевой обстановке или на учениях в микропроцессорные устройства «вшиты» алгоритмы, которые вычисляют производную при преследовании цели. Для определения скоростных характеристик летательного аппарата противника используются простые методы, которые включают в свои расчеты операцию дифференцирования.

Агропромышленный комплекс тоже нуждается в выполнении данной операции. Например, для определения оптимальности соотношения сторон земельных участков. В современных экономических исследованиях применяются определенные математические функции. Для их исследования необходимы знания в области дифференцирования.

В игровой индустрии движение персонажей осуществляется по некоторым законам, которые описываются различными функциями. Для выявления «багов» необходимо уметь исследовать законы движения героев игры. Однако не все методы позволяют выполнить эту операцию в короткие промежутки времени. Чем сложнее игра, тем больше законов движения в ней присутствуют.

Для анализа нужно применять алгоритм, позволяющий существенно уменьшить затраченное время. Для этих целей специалисты рекомендуют применять дифференцирование.

Понятие производной

Производная некоторой функции является дифференциальным исчислением, которое характеризует ее скоростное изменение в искомой точке. Более сложное определение: предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента с тем условием, что последнее стремится к 0. Главное условие — предел должен существовать. Если его нет, то функция не меняется и является константой. В этом случае говорят, что производной не существует, поскольку она равна 0.

Функция, которая имеет производную в определенной точке, называют дифференцируемой в этой точке. Процесс нахождения производной является дифференцированием. Обратная операция по нахождению первообразной — интегрированием. Она имеет два смысла: геометрический и физический.

К первому следует отнести тангенс угла наклона касательной прямой к некоторому графику. Сначала выбирается секущая (прямая, пересекающая график в двух и более точках). После этого нужно взять любую точку, полученную при пересечении. Затем, используя точку в качестве оси вращения, изменить плавно положение секущей. В некоторый момент она окажется касательной, т. е. будет иметь только одну точку соприкосновения с графиком.

Физический смысл — скорость изменения функции. Нужно рассмотреть закон движения S = s(t). Выражение является законом, который описывает прямолинейное движение физического тела. Нужно найти мгновенную скорость (V) в момент времени to: V(to) = [s(to)]'. Если взять еще одну производную, то получится величина, называемая ускорением: a(to) = [V(to)]' = [s(to)]''.

Табличные значения

Для нахождения дифференциала какой-либо функции необходимо выполнить некоторые вычисления, которые могут занять время. Специалисты позаботились об экономии времени. Они составили таблицу элементарных функций (рис. 1).

Их и следует применять для решения задач. Если задача является довольно простой, то правила нахождения производной сводятся к элементарным операциям.

Для этого достаточно применить простой алгоритм для чайников:

1. Выполнить преобразование или упрощение выражения до табличного значения.
2. Взять производную и записать результат.

Во втором пункте следует руководствоваться табличными значениями. Например, следует продифференцировать степенную функцию вида y = x^3 / 3. Для решения задания необходимо выполнить преобразование — вынести константу: y = (2/3) * x^3. По таблице на рисунке 1 можно найти дифференциал: y' = (2/3) * (x^3)' = (2/3) * 3 * x^2 = 2x^2.

Рисунок 1. Производные простых функций.

После решения простого примера специалисты рекомендуют выполнить тест. Следует придумать примеры функций, а затем найти их производные. Заучивать их не имеет смысла, поскольку через некоторое время при регулярных занятиях эта информация «отложится» в головном мозге.

Однако не все задачи являются простыми, поскольку существуют сложные функции, для которых необходимо применять правила дифференцирования сложной функции. Кроме того, нужно разобрать основные правила дифференцирования. Их можно применять и для простых выражений.

Правила дифференцирования

Для выполнения операции нахождения производной существуют определенные правила, которые позволяют правильно произвести взятие дифференциала некоторой функции.

Правила — порядок действий, позволяющих исключить неверные решения задач. Они получены в результате доказательств теорем и следствий из них. Первые необходимы для доказательства некоторых утверждений, которые могут заметно облегчить вычисления.

Простым примером является нахождение гипотенузы прямоугольного треугольника (длины катетов известны). Следует воспользоваться теоремой Пифагора. Нет необходимости доказывать, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, поскольку это забирает время. Существуют такие свойства (правила) дифференциации:

1. Вынесение константы за знак дифференциала: (C * f(x))' = C(f(x))'.
2. Если функция представлена в виде суммы (разности) двух функций, то при ее дифференцировании нужно найти производные каждого элемента: (y(x) + z(x))' = y'(x) + z'(x) и (y(x) - z(x))' = y'(x) - z'(x).
3. Дифференциал умножения функций f(x) и g(x) равен сумме произведений каждой функции на производную другой: (y(x) * z(x))' = (y'(x) * z(x) + y(x) * z'(x).
4. Производная частного функций y(x) и z(x) равна числителю, который представляет собой разность произведений знаменателя на дифференциал числителя, и производной знаменателя, умноженного на числитель. Кроме того, знаменатель — квадрат знаменателя исходной дроби: (y(x) / z(x))' = [(y'(x) * z(x) - y(x) * z'(x)] / (z(x))^2.

Каждое из правил необходимо применять в конкретной ситуации. Например, если нужно выполнить нахождение дифференциала суммы двух функций, умноженных на константу, то можно воспользоваться двумя правилами.

Алгоритм для сложной функции

Нахождение производной существенно усложняется в том случае, когда функция является сложной. Она состоит из нескольких элементарных выражений. Необходимо находить дифференциал каждой отдельно. Для этой цели пригодятся свойства нахождения производной, каждое из которых следует применять в конкретной ситуации.

Специалисты рекомендуют новичкам воспользоваться некоторым алгоритмом. Он позволяет существенно сократить время и количество вычислений. Решать без алгоритма не рекомендуется, поскольку это можно сделать неверно. Кроме того, необходимо воспользоваться формулами дифференцирования — таблицей производных для их отыскания.

Для сложной функции вида y(g(f(x))) порядок ее дифференцирования следующий:

1. Разбить функцию на составные части.
2. Найти производную f(x) и записать ее вначале.
3. Выполнить дифференцирование g, а затем записать ее после f(x): f'(x) * g'(f(x)).
4. Взять производную y, после этого умножить ее на результат, полученный в пункте 2: f'(x) * g'(f(x)) * y'(g(f(x))).

Принцип очень прост — следует начинать вычислять производную справа налево по частям.

Например, следует найти дифференциал функции y = (1/2) * sin (2x^2 - 6x).

Для наглядности нужно воспользоваться специальным алгоритмом:

1. Функция имеет вид y = f(g(x)), и состоит из двух частей: g(x) = 2x^2 - 6x и f(x) = sin(g(x)).
2. Производная первого элемента: g'(x) = (2x^2 - 6x)' = 4x - 6.
3. Дифференциал 2 функции: f'(x) = [sin(g(x))]' = cos(g(x)).
4. Получение результата (можно также упростить выражение при необходимости): y' = [(1/2) * sin (2x^2 - 6x)]' = (1/2) * [sin (2x^2 - 6x)]' = (1/2) * (4x - 6) * cos(2x^2 - 6x) = (2x - 3) * cos(2x^2 - 6x).

При решении задачи было задействовано свойство выноса константы за знак дифференциала. Кроме того, функция g(x) — разность двух выражений, производная которых находится по второму свойству дифференцирования. Функция может содержать в своем составе много элементов, но принцип только один.

Следует обратить внимание на первый пункт алгоритма, поскольку нужно правильно разбивать функцию на элементы. На начальной стадии обучения математики рекомендуют воспользоваться онлайн-калькулятором. Он позволяет получить правильное решение. Его можно сравнить результатом, который получен при решении ручным методом.

Пример решения

Математики рекомендуют начинать с простых пример, а затем заканчивать более сложными. Принцип получил название «от простого к сложному». Очень важно «набить руку» на простых примерах, поскольку это заметно увеличит скорость нахождения производной.

Сложность задачи зависит от самой функции. Например, если она является простой, то найти ее дифференциал не составит особой сложности. Для этого необходимо просто воспользоваться таблицей производных. В некоторых случаях следует воспользоваться некоторыми свойствами.

Например, необходимо найти дифференциал функции y = 8 * [(3x^3) + ln(x)] / (x^2). Для решения нужно воспользоваться следующими правилами: вынос константы, поиск производной суммы и частного. Найти дифференциал можно таким образом: y' = [8 * [(3x^3) + ln(x)] / (x^2)]' = 8 * [((3x^3 + ln(x))' * x^2 - (3x^3 + ln(x)) * (x^2)') / (x^2)^2] = 8 * [(x^2 + 1/x) * x^2 - 2x * (3x^3 + ln(x))] / x^4 = 8 * [(x^2(x - 6) + 1 - 2ln(x)) / x^3.

Специалисты не рекомендуют находить производные с помощью специализированного программного обеспечения. Бывают случаи, когда в поле для обработки выражение вводится неверно. При этом дифференциал является ошибочным. Кроме того, иногда бывают программные сбои, которые влекут за собой получение ложного результата. В любом случае нужно уметь дифференцировать функции любой сложности.

Таким образом, для нахождения дифференциала произвольной функции следует знать таблицу производных, основные правила и алгоритмы ее нахождения. Рекомендует проверять результат, полученный при вычислении, при помощи онлайн-калькулятора производных.