Производная сложной функции - определение, формулы и примеры вычислений

Понятия и определения
Понятие производной основано на определении предела. Проще всего объяснить этот термин с помощью примера. Пусть существует определённое место, в которое можно попасть по нескольким дорогам. Эти пути разные, один из них прямой, другой - с подъёмами и спусками, третий идёт только в гору. Чтобы быстрее всего добраться до места, необходимо выбрать удобную дорогу, но для этого нужно знать местность.
Некоторый путь можно обозначить как y = f (n). Эта функция отображает рельеф местности, как бы вид пути сбоку. На одних интервалах кривая возрастает, а на других убывает. Максимальное значение функции находится в точке «А», а наименьшее в «В». Поэтому на промежутке от (- ɷ, а) график возрастает, а от (ɷ, b) убывает.

Взяв за дельта-эн приращение аргумента и прикладывая его к различным точкам функции, можно выявить следующую закономерность. Для любой точки в указанных промежутках можно подобрать такое значение дельта-эн, которое помещается в границах. А это означает, что отношение приращения по высоте будет всегда положительным в случае (Δy / Δn) > 0 и отрицательным, если (Δy / Δn) < 0. В том случае, когда отношение равно нулю, функция остаётся неизменной, то есть соответствует ровной дороге. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти функцию, с помощью которой можно определить вид изменения.
Приняв, что приращение происходит в точке n0, можно записать Δy = f (n0+ Δn) — f (n0). Обозначив угол наклона через «а», можно выделить треугольник с углом «а». Согласно теореме, тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то есть tg а = Δy/ Δn. Производной функцией в точке приращения n0 называют предел приращения Δy. Он зависит от аргумента Δn при значении n, стремящемся к нулю. Справедливо записать выражение:
f '(n0) = lim (f (n0 + Δn — f (n0)) / Δn, где предел лимита Δn стремится к нулю, но его не достигает (бесконечно мал).
Таким образом, производная функции основывается на понятии границы и непрерывности, характеризует скорость изменения. Определяется она пределом отношения приращения переменной к увеличению её аргумента при стремлении последнего к нулю. Если предел возможен, функция называется дифференцируемой. А сам процесс, по сути, является обратным интегрированию и называется дифференцированием.
Сложная функция
Вычисление производной функции f = f (n) выполняется по специальной таблице. Так, производная от числа равна нулю, поскольку скорость изменения постоянной равна нулю. Дифференциальное исчисление произведения числа на переменную n равна этому числу. Доказательство этой формулы простое. Существует четыре правила дифференцирования:

- Любую постоянную можно вынести за знак производной: p = (C*f (n))' = C*(f (n))'.
- Производная суммы или разности равняется сумме или разности каждой из них: (f (n) + g (n))' = (f (n))'+(g (n))' или (f (n) — g (n))' = (f (n))'-(g (n))'.
- При умножении двух функций производная равна их сумме: (f (n)*g (n))' = (f (n))'*g (n) + f (n)*(g (n))'.
- Производная функций дроби определяется отношением разности произведения знаменателя на дифференциал числителя и числителя на дифференциал знаменателя в квадрате: (f (n)/g (n)' = ((f (n)'*g (n) — f (n)*(g (n))') / (g (n))2.
Исходя из определений решением произведения будет (c*n)' = c*(n)' = c*1 = c. Таблица производных существует для степенных, прямых и обратных тригонометрических функций. Например, необходимо найти производную простой функции: y = (n)½.

Согласно таблице производных, решением задачи будет 1/2 (n)½. То есть ответ находится по определённым правилам. То же самое относится и к непростым функциям. Отличаются они от простых промежуточным элементом. Если принять, что s — функция от n, то s = s (n). Тогда запись y = f (s) будет представлять собой сложную функцию. В математике принято f называть внешней функцией, а s — внутренней.
Например, производная арктангенса сложной функции будет равна (arctg s)' = 1/(1+ s2)*s'. В специальной таблице указано 18 производных, начиная со степенного и кончая логарифмическим выражением. С её помощью и решаются такого рода задачи. Общую же, показательную, формулу для нахождения сложного изменения можно записать: (s (v (n)))' = s'(v) * v' (n), где s'(v) — внутреннее изменение, а v' (n) — внешнее.
Кроме всего, существует выражение вида y = en. Относится оно к простому виду и называется экспонентным. Запись же y = es считается уже сложной экспонентной, так как s = s (n).
Доказательство и теорема
Для того чтобы вычислить непростую функцию, необходимо знать теорему. Она гласит, что если s = ɷ (n) имеет производную s'n, а y = f (s) производную y' s, то сложное выражение y = f [ɷ (n)] в любой точке n можно найти по формуле: y'n = y's + s'n. Но более часто используют частное утверждение: производная сложного изменения находится как произведение рассматриваемой функции на промежуточный аргумент дифференциала.

Для доказательства теоремы нужно использовать приращения. Если для n оно будет определено как дельта-эн, то для s и y их приращения будут дельта-эс и дельта-игрек. Приняв, что когда дельта-эн стремится к нулю, а дельта-эс не имеет нулевых значений, можно записать тождество:
(Δy / Δn) = (Δy / Δs) * (Δs / Δn).
Используя предел, при котором дельта-эн стремится к нулю, получим:
lim (Δy / Δn) = lim ((Δy / Δs) * Δs / Δn)) = lim ((Δy / Δs) * ( Δs / Δn)).
Функция s = ɷ (n) дифференцируемая, а значит, непрерывная, поэтому при малых значения дельта-эн дельта-эс также будет стремиться к нулю. Следовательно, лимиты «эн» и «эс» равны. Поэтому будут верны и следующие записи:
- lim (Δy / Δn) = y'n, при дельта-эн, стремящимся к нулю;
- lim (Δs / Δn) = s'n, когда дельта-эн принимает малые величины;
- lim (Δy / Δs) = y's, при нулевых значениях дельта-эс.
Отсюда следует: y'n = y's + s'n, что и необходимо было доказать.
В большинстве задач математического анализа приходится сталкиваться с дифференцированием логарифмической функции. Эта зависимость представляется простой формулой: (ln n) = 1/n. Такое выражение получается из решения примеров натурального логарифма сложной функции. Производная, когда основанием является число «е», будет равна: (ln n)' = (log en)' = 1/(n * ln e) = 1/n. При этом используется свойство, что логарифм от числа с тем же самым основанием равен единице. Если же под натуральным логарифмом понимается s = s (n), то при дифференцировании логарифма правильно будет записать: (lns)' = (1/s) * s.
По аналогии выводится формула и для степенной функции вида у' = хsin n . Такое выражение часто называют показательно-степенным. Определив логарифм двух частей, получим: ln y = ln nn. Убрав показатель степени за скобку и учитывая, что y = y (n), можно записать:
- ln y = sin n * ln n;
- (ln y)' = (sin n * ln n)';
- (1/y) * y' = (sin n)' * ln n + ln (n)' * sin n;
- (1/y) * y' = cos n * ln n + sin n/n;
- y' = (cos n * ln n + sin n/n) * y.
Так как у = nsin n , то решение будет следующим: y' = (cos n * ln n + sin n/n) * n sin n.
Примеры решения задач

Вычисление производных нашло широкое применение в решении физических задач и исследовании химических реакций. С помощью производной в физике рассчитывается ускорение и скорость распада радиоэлементов. Используя формулы, можно найти значение переменного тока и электродвижущую силу, наибольшую мощность. В химии производная помогает определить свойства веществ.
Но использование вычислений не ограничивается только техническими науками. Так, в географии дифференцирование даёт возможность рассчитать значения сейсмографии, изменение электромагнитного поля, провести полный анализ численности населения. В электротехнике - исследовать действие электрического тока, в экономике — окупаемость услуг и производительность труда.
Невозможно решить задачу без знания таблицы производных сложных функций. Для студентов существуют различные источники, из которых они могут получить нужную информацию. Это не только пособия по математическому анализу, но ещё и интернет-порталы. Существует множество онлайн-калькуляторов с подробным описанием решений. Например, kontrolnaya-rabota.ru, math. semestr.ru, allcalc.ru. Работают они практически все одинаково. Пользователю необходимо указать математическое выражение и переменную, а затем выбрать порядок производной, после чего запустить процесс и через несколько секунд получить результат с решением.
Нахождение квадратного корня
Нужно найти производную функцию подкоренного выражения y = 3-cos3 (ln(n+(n)1/2)). Прежде всего необходимо разобраться во вложениях. Существует простой способ — мысленная замена «эн» на единицу и выполнение следующих шагов:
- Решение выражения (n+(n)1/2). Подставив единицу, получим (1+(1)1/2) = 2 – самое глубокое вложение.
- Расчёт логарифма: ln 2.
- Определение косинуса: cos (ln 2).
- Возведение косинуса в куб: cos3 (ln 2).
- Нахождение разности: 3 – cos3 (ln 2).
- Решение квадратного корня: (3-cos3(ln 2))1/2.
Формула дифференцирования непростой функции: (s(v))’ = u’(v)*v’, используется в обратном порядке. Решение будет следующим:

При решении сначала берут производную от квадратного корня. Затем разности и степени куба. Теперь останется определить дифференциал от косинуса и логарифма. На последнем этапе вычисляют самое глубокое вложение.
Производная арктангенса
При нахождении арктангенса также опираются на таблицу производных и теорему. Например, необходимо вычислить функцию y ’ = 18 * arctg24 (8 * ln n). Согласно правилам нахождения, постоянное число можно вынести за пределы знака производной. Поэтому функцию можно упростить до вида:
y ′ = 18 * (arctg24 (8 * ln n))′.
Чтобы найти нужное выражение из таблицы, задачу следует представить в стандартной записи: (arctg (8 * ln n))24 . Подставив в формулу (sα) ′ = α * sα − 1 * s’ рассматриваемый пример, получим: s = arctg (8 * ln n) , где α = 12 . Выбирать нужно именно эту формулу, так как внешняя функция находится впереди.
Исходя из полученного равенство можно представить записью: y ′ = (18 * arctg24 (8 * ln n))′ = 18 * (arctg24 (8 * ln n))′ = 432 * (arctg (8 * ln n))22 * (arctg (8 * ln n))′ . Возведение в степень 24 является внешней функцией, поэтому именно с неё начинается нахождение производной.
На следующем шаге ищется производная (arctg (8 * ln n ))′. Подставив в формулу находимое выражение, получим следующее равенство :
(arctg (8 * ln n))′ = (1 / (1 + (8 * ln n)2) * (8 * ln n)′.
Учитывая, что (8 * ln n)2 = 64 * (ln n)2 = 16 ⋅ ln2 n, выражение можно упростить:
(arctg (8 * ln n))′ = 1/((1 + ( 8 * ln n )2 * 8 * ln n)′) = 1 /(( 1 + 16 * ln 2n) * (4 * ln n)′). Отсюда рассматриваемое равенство можно преобразовать:
y′ = (18 * arctg24 (8 * ln n))′ = 18 * (arctg24 (8 * ln n))′.

Выражение снова можно упростить: y ′ = 432 * (arctg (8 * ln n))22 * (arctg (4 * ln n))′ и переписать в более наглядном виде: y′ = 432 * (arctg (8 * ln n)) 22 * 1/(1 + 64 ⋅ ln 2 n * (8 * ln n)’.
Осталось вычислить (8 * ln n)′. Константа переносится за знак производной. Используя выражение u = n / (ln n) ′ = (1 / n) * n′, получим: (ln n)′ = (1 / n) * n ′ = (1 / n)* 1 = 1 / n.
Теперь следует подставить выражение в общую формулу:
y′ = (18 * arctg24 (8 * ln n)) ′ = 432 * (arctg (8 * ln n))22 * (1/ (1 + 64 * ln2 n )) * (4 * ln n)’.
= 432 * arctg22 (4 * ln n) n * (1 + 16 * ln 2 n).
Упростив выражение, получим: y ′ = 432 * (arctg22 (4 * ln n)) / (n * (1 + 64 * ln2n), что и является ответом на поставленную задачу.
Таким образом, решение дифференциалов непростых функций выполнить несложно. Главное — знать таблицу производных и правильно выделять в ней элементарные составляющие.
Еще тесты
- Анатомия
- Английский язык
- Астрономия
- Биология
- Литература
- История
- Педсовет
- Естествознание
- Финансы и кредит
- Правоведение
- Товароведение
- Экономика
- Социология
- Маркетинг
- Обществознание
- Культурология
- Математика
- Философия
- Русский язык
- Психология
- Политология
- Делопроизводство
- Бухгалтерия
- ОБЖ
- Орфография
- География
- Биографии
- Физика
- Пунктуация
- Краткие содержания
- Химия
- Менеджмент
- Тест на тему Тест по теме Дыхательная система человека 7 вопросов
- Тест на тему Строение человека - анатомия внутренних органов 7 вопросов
- Тест на тему Гормоны - определение, виды, функции, роль в организме человека 5 вопросов
- Тест на тему Лейкоциты в крови - строение, где образуются и разрушаются, норма содержания 5 вопросов
- Тест на тему Одноклеточные организмы - строение , формы и признаки представителей 8 вопросов
- Тест на тему Бесполое размножение - виды, формы и биологическое значение процесса 9 вопросов
- Тест на тему Синтез АТФ - структура, функции и пути образования аденозинтрифосфорной кислоты 7 вопросов
- Тест на тему Биогеоценоз - определение, структура и свойства 5 вопросов
- Тест на тему Символизм в литературе - основные черты и представители направления 6 вопросов
- Тест на тему "У Лукоморья дуб зеленый" - анализ стихотворения Александра Сергеевича Пушкина 8 вопросов
- Тест на тему Родион Раскольников и Соня Мармеладова - история взаимоотношений в романе Ф. М. Достоевского "Преступление и наказание" 6 вопросов
- Тест на тему Семья Мелеховых в романе М. Шолохова "Тихий дон" 7 вопросов
- Тест на тему Отечественная война 1812 года - причины, основные сражения, итоги 7 вопросов
- Тест на тему Правление Ивана Грозного - внутренняя и внешняя политика 7 вопросов
- Тест на тему Образование СССР - причины, этапы становления, состав, итоги 6 вопросов
- Тест на тему Крещение руси князем Владимиром - причины, история, значение принятия христианства 6 вопросов
- Тест на тему Пищевая цепочка в природе - звенья, схемы и примеры цепей 5 вопросов
- Тест на тему Экологические факторы - классификация, примеры, общие закономерности воздействия 5 вопросов
- Тест на тему Биосфера - определение, состав, свойства, границы 5 вопросов
- Тест на тему Возникновение жизни на земле 6 вопросов
- Тест на тему Права и свободы человека и гражданина 5 вопросов
- Тест на тему Унитарное предприятие - виды, признаки, участники, особенности 7 вопросов
- Тест на тему Формы собственности - типы и виды и их характеристика 7 вопросов
- Тест на тему Предпринимательское право - понятие, принципы, предмет и объект, функции 5 вопросов
- Тест на тему Ликвидность предприятия - определение, виды, формула расчета 7 вопросов
- Тест на тему Процентная ставка - понятие, виды, методы расчета и начисления 5 вопросов
- Тест на тему Финансы - определние, сущность, основные функции, виды 7 вопросов
- Тест на тему Коммерческая деятельность - сущность и содержание 7 вопросов
- Тест на тему Статистическое наблюдение - виды, способы, последовательность этапов 6 вопросов
- Тест на тему Социальный контроль - понятие и функции, формы и методы, значение 5 вопросов
- Тест на тему Анкетирование - правила составления и виды вопросов, оформление результатов 5 вопросов
- Тест на тему Социальная группа — понятие, типы, критерии выделения 8 вопросов
- Тест на тему Деятельность человека - основные виды и характеристики 7 вопросов
- Тест на тему Воздушно-десантные войска (ВДВ) - история создания, подразделения, оснащение 7 вопросов
- Тест на тему Субъекты РФ - количество, виды, правовой статус 7 вопросов
- Тест на тему Социальные нормы - понятие, виды и характеристка, функции, примеры 6 вопросов
- Тест на тему Что такое угол 5 вопросов
- Тест на тему Деление в столбик — подробное описание алгоритма решения задач, примеры 10 вопросов
- Тест на тему Вычитание дробей - правила и примеры с решениями 5 вопросов
- Тест на тему Модуль числа - свойства, действия, как решать уравнения и неравенства с модулем 10 вопросов
- Тест на тему Ислам - история возникновения религии, основные положения 7 вопросов
- Тест на тему Мышление - определение, виды, функции, свойства 5 вопросов
- Тест на тему Что такое мораль, ее категории и функции 6 вопросов
- Тест на тему Буддизм - кратко о религии (история возникновения, основные положения, священные книги) 6 вопросов
- Тест на тему Безличные предложения в русском языке 8 вопросов
- Тест на тему Ударение в словах в русском языке - правила и проверка постановки 5 вопросов
- Тест на тему Морфемный разбор слова - правила выполнения с примерами 5 вопросов
- Тест на тему Сложноподчиненные предложения в русском языке 6 вопросов
- Тест на тему Мотивация - определение, виды и типы в психологии, менеджменте 5 вопросов
- Тест на тему Интеллект - понятие, признаки, как развивать, оценка 5 вопросов
- Тест на тему Социализация личности - понятие и сущность, агенты, примеры 5 вопросов
- Тест на тему Типы темперамента и их психологическая характеристика 5 вопросов
- Тест на тему Органы исполнительной власти РФ - понятие и правовой статус, структура и фунции 7 вопросов
- Тест на тему Европейский союз - история создания, цели, состав 5 вопросов
- Тест на тему Тоталитаризм - определение, характерные черты, плюсы и минусы идеологии 5 вопросов
- Тест на тему Политическая идеология - определение понятия, функции, классификация, особенности 5 вопросов
- Тест на тему Оборотные средства предприятия, их структура, учет и анализ 7 вопросов
- Тест на тему Бюджетная классификация - определение, структура 7 вопросов
- Тест на тему Калькуляция - основные понятия, примеры расчетов себестоимости 7 вопросов
- Тест на тему Бухгалтерский учет материально-производственных запасов на предприятии 8 вопросов
- Тест на тему Пистолет Макарова - шпаргалка по тактико-техническим характеристикам 9 вопросов
- Тест на тему Чрезвычайная ситуация - понятие, типы ЧС, причины возникновения, стадии развития 7 вопросов
- Тест на тему Вооруженные силы Российской Федерации — организационная структура и предназначение 7 вопросов
- Тест на тему ВМФ (Военно-Морской флот) России - структура, история, состав 7 вопросов
- Тест на тему Перу - географическое положение, климат и достопримечательности 9 вопросов
- Тест на тему Климатические пояса Земли - характеристика и особенности 8 вопросов
- Тест на тему Тайга - географическое положение, животный и растительный мир, особенности и характеристика природной зоны 7 вопросов
- Тест на тему Озеро - определение, классификация, признаки 6 вопросов
- Тест на тему Братья Гримм - биография, жизнь и творчество немецких писателей 10 вопросов
- Тест на тему Тамерлан (1336-1405) - биография, жизнь и завоевания великого полководца 10 вопросов
- Тест на тему Максим Горький (1868-1936) - биография, кратко самое важное, интересные факты из жизни писателя 9 вопросов
- Тест на тему Блок Александр Александрович (1880-1921) - биография, жизненный и творческий путь 11 вопросов
- Тест на тему "Ночь перед Рождеством" - краткое содержание повести Н. В. Гоголя 10 вопросов
- Тест на тему "Маленький Мук" - краткое содержание сказки Вильгельма Гауфа 10 вопросов
- Тест на тему "Дворянское гнездо" - краткое содержание романа И.С. Тургенева 8 вопросов
- Тест на тему "Бирюк" - краткое содержание рассказа И.С. Тургенева 10 вопросов
- Тест на тему Серная кислота - химические и физические свойства и реакции 8 вопросов
- Тест на тему Муравьиная кислота - формула, свойства, получение и применение 7 вопросов
- Тест на тему Сложные эфиры - характеристика, классификация и примеры соединений 8 вопросов
- Тест на тему Толуол - формула, свойства и применение химического вещества 8 вопросов
- Тест на тему Оценка персонала - виды, критерии и методы 7 вопросов
- Тест на тему Управление персоналом - задачи, функции, современные подходы 5 вопросов
- Тест на тему Менеджмент предприятий — сущность, виды, задачи и цели 7 вопросов
- Тест на тему Организационная структура предприятия — типы и предназначение 7 вопросов