Рациональные уравнения - алгоритмы и примеры вычислений

Общая информация

Рациональным уравнением называется равенство с одним или несколькими неизвестными, в правой и левой частях которого содержатся только рациональные выражения. Очень важно уметь определять тип, поскольку от этого зависит правильность нахождения корней и методика решения.

Определение можно немного упростить. Рациональным называется выражение, состоящее из некоторых числовых значений и неизвестной, операций вычитания, сложения, умножения, деления, а также возведения в степень с целым (натуральным) показателем. Уравнение рационального типа — равенство двух выражений, состоящих из переменных рационального типа (r (x) = 0). Они бывают двух видов: целые и дробные.

К первым относятся тождества, в знаменателе которых не содержится неизвестная величина. Примерами являются: x + 7 = 2x, x ² + 2x — 7 = 0 и (x ² + 4) / 2 = 2x / 4. Дробные представлены правильными дробями, числитель и знаменатель которых содержат переменные рационального типа. Примерами дробно-рациональных уравнений являются (x + 7) / 2x = 7 — x, (x ² + 2x — 7) / (x ² — 4) = 0 и (x ² + 4) / 2x^ - 8 = 2x / 4.

Математики выделяют еще одну группу рациональных уравнений с параметрами, которые необходимо найти или они даются при решении задачи. Параметр — некоторое ограничение, влияющее на поиск корней.

Основные виды

Рациональные уравнения бывают линейными, квадратными, кубическими и биквадратными. Для каждого вида существуют определенные методики решения. Последние строятся на алгоритмах, позволяющих оптимизировать процесс нахождения корней.

Уравнения могут объединяться в системы. Чтобы ее решить, нужно найти все ее корни, удовлетворяющие ее элементам (выражениям). Отличаются равенства между собой только показателем степени. Например, у линейного последняя соответствует единице, у квадратного — 2, кубического — 3 и биквадратным — 4. Если в выражении с неизвестным присутствует дробная часть, всегда проверяется знаменатель на равенство нулю, поскольку такое значение превращает тождество в неопределенность. Числитель проверять нет необходимости. Выбор алгоритма решения рационального уравнения зависит от типа выражения.

Линейные и квадратные

Линейное выражение с неизвестными можно записать следующим образом: a1 * y1 + a2 * y2 +. + an * yn + c = 0. Например, 5х + 4 = 8 является линейным. Решается оно с помощью простого алгоритма:

• Необходимо перенести неизвестные величины в левую сторону, а известные — в правую: 5х = 8 — 4.
• Перенести число «5» с противоположным знаком: x = (8 — 4) / 5 = 4 / 5 = 0,8.

Квадратные уравнения — тождества вида az ² + bz + c = 0. Они бывают полными (присутствуют все коэффициенты) и неполными. В последних какой-либо из параметров равен нулю. В зависимости от методики нахождения его корней, выбирается нужный алгоритм. Основные способы решения:

• Теорема Виета (при a = 1).
• Нахождение дискриминанта.
• Графический метод.
• Автоматизированный.

При использовании теоремы Виета значения корней вычисляется по таким формулам: z1 + z2 = - b и z1 * z2 = c. Если а > 1 (b и c не равны 0), то необходимо найти некоторый параметр. Математики называют его дискриминантом. Для решения существует специальный алгоритм:

1. Выполнить расчет дискриминанта, и записать результат в виде квадрата: D = b ² — 4ac.
2. Если D больше 0, то два корня уравнения вычисляются таким образом: z1 = [(-b) + (D)^(½)] / (2 * а) и z2 = [(-b) — (D)^(½)] / (2 * а).
3. При D = 0 две формулы во втором пункте преобразуются в одну, поскольку дискриминант не учитывается: z = [-b] / (2 * а). В этом случае существует только один корень.
4. Когда при подсчете значения D получается отрицательное число, корней у уравнения нет вообще.
5. После нахождения корней нужно подставить их в исходное выражение. Результат вычисления будет равен 0. Все остальные значения, приводящие к неверному тождеству, являются неверными. Их необходимо отсеивать. Это происходит, когда квадратное уравнение имеет вид обыкновенной дроби.

Следующим способом является графический метод решения. Для его реализации необходимо построить параболу, а затем найти точки пересечения с осью абсцисс (корни). Использование дополнительного программного обеспечения (онлайн-калькуляторов) для автоматизации вычислений экономит много времени. Его рекомендуется применять для проверки.

При отсутствии свободного члена (az^2 + bz = 0), можно воспользоваться методом разложения на множители. Для этого следует разделить обе части равенства на «а», а затем вынести общий множитель. В результате получится выражение z(z + b) = 0. У него два корня: z1 = 0 и z2 = -b.

Кубические тождества

Выражение вида а * z ³ + b * z ² + с * z + d = 0 (а > 0), содержащее одну неизвестную, называется кубическим уравнением. Его метод решения зависит от вида. В алгебре выделяют 4 класса:

1. az ³ + d= 0.
2. az ³ + bz ² + bz + a = 0.
3. az ³ + bz ² + cz = 0.

4. а * z ³ + b * z ² + с * z + d = 0.

   

Первый класс решается просто. Для этого необходимо перенести свободный член d в правую часть, а затем разделить на «а»: z ³ = -d/a. После этого можно взять кубический корень из правой и левой частей. Кроме того, можно не переносить d, а просто разложить на множители: z ³ + d/a = (z + (d/a)^(1/3)) * (z ² — [(d/a)^(1/3)]z + [(d/a)^2]^(1/3)) = 0. Разложив на множители, нужно решить 2 уравнения.

Чтобы решить второй тип задания, нужно выполнить некоторые математические преобразования: az ³ + bz ² + bz + a = a (z ³ + 1) + b (z ² + z) = a (z + 1)(z ² — z + 1) + bz (z + 1) = (z + 1)(az ² + z (b — a) + a) = 0. В результате этой операции произошло понижение степени. Далее нужно решить 2 равенства с неизвестными.

В третьем классе нужно просто вынести неизвестную (общий множитель) за скобку, а затем решить линейное и квадратное уравнения. Кроме того, этот тип тождеств решается также при помощи графического метода или замены переменной. Четвертый класс решается только с помощью построения графика (графическое представление — кубическая парабола) или заменой неизвестной.

В первом случае нужно построить кривую, которая называется кубической параболой. После этого следует найти точки пересечения графика с осью абсцисс. Метод замены — введение нового параметра, приводящего к равносильному упрощенному выражению. Сведение к квадратному многочлену осуществляется по такому алгоритму:

• Разделить обе части на «а».
• Выполнить замену: z = w — (b/(3a)).
• Вычислить коэффициенты р и q: p = [(3ас — b ² ) / (3а ² )] и q = [2b ³ — 9abc + (27a ² ) * D] / (27a ³ ).
• Записать результат: w ² + pw + q = 0.
• Решить квадратное уравнение.
• Вычислить z, подставив корни из пятого пункта во второй.
• Осуществить проверку.

Последний пункт также можно выполнить в автоматизированном режиме, поскольку это займет меньше времени. Методика позволяет избавиться от высшей степени и свести выражение к квадратному многочлену.

Биквадратные уравнения

Биквадратные уравнения (az ⁴ + bz ² + c = 0) — сложные выражения. Они решаются аналитическим методом, который заключается в понижении степени. В этом случае вводится новая неизвестная для понижения степени w = z ² . В результате этого получается равносильное равенство вида: aw ² + bw + c = 0. Далее решается обыкновенное квадратное уравнение, а затем его корни подставляются в параметр замены.

Когда биквадратный многочлен с неизвестными представлен в виде az ⁴ + bz ³ + cz ² + dz + e = 0, нужно решать при помощи формулы Кардана. Математики рекомендуют воспользоваться алгоритмом:

• Рассчитать вспомогательные коэффициенты: f = b / a, g = c / a и h = d / a.
• Вычисление основных параметров: i = -((f)^2 / 3) + g и k = [2 (f)^3 / 27] - [(f * g) / 3] + h.
• Нахождение по формуле Кардана математического ожидания: m = [(-k / 2) + ((k ² / 4) + i ³ / 27)^(½)]^(1/3) + [(-k / 2) — (-(k ² / 4) + i ³ / 27)^(½)]^(1/3).
• Поиск искомых корней: z1 = m — f, z2 = m — g и z3 = m — h.

Математическое ожидание — область, принимающая среднее значение при определенных условиях. Если уравнение имеет другой вид, корни следует искать с помощью математического ожидания Кардана. Однако его следует править в зависимости от коэффициентов исходного тождества. Можно также построить график функции, но эта методика довольно сложная.

Для этого специалисты рекомендуют пользоваться сторонними сервисами, одним из которых является «yotx.ru». Он позволяет строить разные графики. Особенностью веб-приложения является его гибкая настройка, а также табличные данные зависимости значения функции от ее аргумента, которыми можно воспользоваться. Полученный график можно распечатать, сохранить на жестком диске, получить в виде ссылки и html-кода для сайта или урока.

Пример решения

После получения теоретических знаний следует приступить к практике. Начинать следует с простых примеров, заканчивая более сложными. Например, выполнить работу по нахождению корней равенства с неизвестными: [(2z^3 - 16) / (2z^2 - 4z + 2)] = 0.

Уравнение является рациональным. Оно состоит из двух выражений: числителя и знаменателя. Первый следует приравнять к нулю, поскольку при делении на любое выражение будет получено нулевое значение. Однако не все так просто — нужно обязательно проверить знаменатель. Следует найти корень или корни, при которых он обращается в ноль, превращая все тождество в пустое множество или неопределенность. Чтобы найти корни числителя, нужно воспользоваться алгоритмом:

• Вынести общий множитель: 2(z^3 - 8) = 0.
• Сократить обе части на 2: z^3 - 8 = 0.
• Воспользоваться формулой разложения на множители: z^3 - 8 = (z - 2)(z^2 + 2z + 4).
• Первый корень: z1 = 2.
• Квадратное уравнение z^2 + 2z + 4 = 0 не имеет корней, поскольку D = 2^2 - 4ac = 4 - 4 * 1 * 4 = -12 < 0.

Далее следует найти корни многочлена в знаменателе, приравняв его к 0 (2z^2 - 4z + 2 = 0). Это квадратное уравнение, но у него a = 2. Следствие из этого - воспользоваться методикой решения через дискриминант D = (-4)^2 - 4 * 2 * 2 = 16 - 16 = 0. Тождество имеет один корень, который находится по такой формуле: z2 = [-b] / (2 * а) = -(-4) / (2 * 2) = 1. Это означает, что при z = 1, тождество превращается в пустое множество.

Проверку можно осуществить двумя способами: ручным и автоматизированным. В первом случае следует подставить z1 = 2 в числитель: y(2) = z^3 - 8 = 2^3 - 8 = 0. Равенство левой и правой частей выполняется. Однако по рекомендации специалистов можно осуществить проверку графическим методом на онлайн-сервисе «yotx.ru». Следует немного переделать функцию, записав ее относительно «х»: y = (2 * x^3 - 16) / (2 * x^2 - 4 * x + 2). Затем нужно изменить ось абсцисс «Х» на «Z», и нажать «построить» (рис. 1).

Рисунок 1. График функции y = [(2z^3 - 16) / (2z^2 - 4z + 2)].

На рисунке видно, что функция пересекает ось «Z» в точке (2;0). Следовательно, z = 2 — единственное решение искомого рационального выражения с неизвестными.

Таким образом, для решения уравнений рационального типа применяется несколько методик, каждая из которых содержит определенный алгоритм. Для их выбора нужно руководствоваться классом выражений с неизвестными величинами.