Выделение полного квадрата - формулы, методы и примеры решений

Однако не все его знают. В результате этого объем вычислений увеличивается, а также допускаются ошибки. Он также применяется для нахождения корней уравнений и построения графиков.

Общая информация

Выделить полный квадрат из многочлена второй степени означает, что его следует привести к более читабельной формуле. Эта операция применяется в следующих случаях: интегрирование, дифференцирование, построение графиков и решение уравнений (чаще — в последних двух).

За основу взяты три формулы сокращенного умножения (разложение квадратного многочлена на множители), которые специалисты рекомендуют запомнить или выписать отдельно.

К ним относятся следующие соотношения:

1. Квадрат суммы: (y + z)^2 = y ² + 2yz + z ² .
2. Квадрат разности: (y — z)^2 = y ² — 2yz + z ² .
3. Разность квадратов: y ² — z ² = (y — z)(y + z).

Существует правило, позволяющее выполнить операцию упрощения многочлена ay ² + by + c второй степени путем разложения его на множители. Это означает, что его следует свести (преобразовать) к виду a * (y — y0)^2 + y0.

Универсальный алгоритм

Алгоритмом называется комплексное решение, состоящее из последовательного набора правил. Преобразование ay ² + by + c осуществляется следующим образом:

1. Привести к такому виду первое слагаемое на основании формулы (y + z)^2 = y ² + 2yz + z ² : [(a)^(½) * y]^2. Корень из коэффициента «а» следует указывать обязательно.
2. Второе слагаемое должно состоять из удвоенного произведения: by = [(2 * (a)^(½) * y)] * (b / [2 * (a)^(½)].
3. Третий свободный член находится по формуле z = (b / [2 * (a)^(½)].
4. Для равновесия следует отнять число, полученное в пункте 3.
5. Записать результат нужно таким образом: [(a)^(½) * y]^2 + [(2 * (a)^(½) * y)] * (b / [2 * (a)^(½)] + [(b / (2 * (a)^(½))]^2 — [(b / (2 * (a)^(½))]^2 + c.

Для квадрата разности алгоритм похожий. Формула выделения полного квадрата имеет такой вид: [(a)^(½) * y]^2 — [(2 * (a)^(½) * y)] * (b / [2 * (a)^(½)] + [(b / (2 * (a)^(½))]^2 — [(b / (2 * (a)^(½))]^2 + c. Соотношение также применяется математиками в алгебре, а также в различных дисциплинах с физико-математическим уклоном. Для этого нужно воспользоваться таким подробным объяснением правил решения:

1. Запись формулы: ay ² — c = ((a)^(½) * y — (c)^(½))((a)^(½) * y + (c)^(½)).
2. Коэффициент «с^(½)» должен быть равен целому числу.
3. Если условие во втором пункте не выполняется, то следует воспользоваться таким соотношением: с + a — a= с1 — a.
4. Записать выражение в таком виде: ay ² — c + a — a = ((a)^(½) * y — (c1)^(½))((a)^(½) * y + (c1)^(½)) — a.

Число «а» может быть положительным или отрицательным. Если его прибавить к «с», то должно получиться значение «с1».

При извлечении квадратного корня результат должен быть целым. Чтобы равенство не нарушалось, следует прибавить и отнять «а».

Алгоритм записан в общем виде. В теории он является сложным для понимания.

Однако при практическом применении некоторые неясности исчезают. Для начала нужно разобрать, где его нужно применять.

Сферы использования

Математики рекомендуют разобрать основные примеры выделения полного квадрата. Следует их систематизировать, поскольку это позволит оптимизировать процесс решения. Основной смысл заключается в применении соответствующих алгоритмов для экономии времени.

Некоторые считают, что шаблонами пользоваться нежелательно. Однако в этом есть и свои положительные стороны. Например, при поступлении в какое-либо высшее учебное заведение следует придерживаться общепринятых вариантов решения. При успешном зачислении в университет можно применить нестандартные подходы выполнения задания.

Шаблоны широко применяются не только в дисциплинах с физико-математическим уклоном, но и в программировании.

Распространенными заданиями с упрощением квадратного трехчлена являются:

• построение графиков квадратичной функции;
• решение уравнений;
• упрощение выражений.

Для нахождения решений следует подробно разобрать алгоритмы. Нет необходимости заучивать основные определения, формулы и правила. Их следует понимать, поскольку в философии есть такой закон: «переход количества в качество». Кроме того, программистами были созданы специальные онлайн-калькуляторы, позволяющие получить полный квадрат, разложить многочлен на множители и так далее.

Построение графиков

Графиком квадратичной функции z = a[y — c]^2 + d является кривая, которая называется параболой. Далее следует ввести следующие пояснения:

1. Коэффициенты «а» и «с» — некоторые числа. Последнее вычисляется по такой формуле: с = b / 2a.
2. Константа «d» является свободным членом.

Следует отметить, что расположение графика функции зависит от вышеописанных коэффициентов. Для построения параболы математики рекомендуют разобрать частные случаи:

1. Направление ветвей: вверх (a > 0) и вниз (a < 0).
2. Смещение вершины на величину «с»: по оси ОУ в положительную сторону (c > 0), по ОУ в отрицательном направлении (c < 0) и находится на ОХ (c = 0).
3. Смещение по ОХ: в сторону положительных значений на (b / 2a) и отрицательных — (-b / 2a).

Уравнение параболы всегда нужно приводить к правильному виду, поскольку график будет строить намного проще. Кроме того, его можно построить, зная частные случаи, и схематически.

Нахождение корней

Решить квадратное уравнение вида az ² + bz + с = 0 означает найти все его корни или доказать, что их нет. Его можно решать несколькими методами: нахождение дискриминанта, использование теоремы Виета или представление в виде квадрата.

При использовании первого метода нужно воспользоваться таким алгоритмом:

1. Упростить выражение (выведение общего множителя, раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых).
2. Вычисление дискриминанта: D = (-b)^2 — 4ac.
3. Разобрать частные случаи, и выбрать ход решения, который зависит от значения D: при D > 0 решением уравнения являются два значения или корня (z1 = -b — D^(½) / 2a и z2 = -b + D^(½) / 2a; D = 0 — один корень (z = -b / 2a) и D < 0 — нет корней.
4. Подставить корни, полученные при решении, и проверить уравнение — значение в левой части должно быть равно нулю (0 = 0).

Вид квадратного уравнения зависит от коэффициентов a, b и c. Если а = 0, то старшая степень исчезает, и тождество превращается в обыкновенное линейное равенство (bz + c = 0) или функцию, графиком которой является прямая, а не парабола. При а = 1 его можно решить при помощи второго способа, который называется теоремой Виета (z1 + z2 = - b и z1 * z2 = с). Когда b = 0 (az ² + c = 0), то дискриминант можно не высчитывать. Решение находится следующим образом:

1. Нужно перенести свободный член «с» в правую сторону. Если с < 0, то решений нет. Когда значения c > 0, необходимо перейти ко второму шагу решения.
2. Разделить обе части на «а».
3. Вычислить корни по формулам (будут одинаковыми числами, но с разными знаками): z1 = -[c/a]^(½) z2 = [c/a]^(½).

Когда коэффициент с = 0 (az ² + bz = 0), то решить уравнение очень просто.

Для этого нужно произвести такие действия:

1. Сократить обе части на «a».
2. Вынести за скобку общий множитель: z (z + b/a) = 0.
3. Решить два уравнения: z1 = 0 и z2 + b/a = 0.
4. Проверить корни, подставив в исходное тождество.

Третий способ — выделение квадрата или использование формул сокращенного умножения. В этом случае нет необходимости использовать стандартный первый метод. Если построить график функции, то корнями будут являться его точки пересечения с осью абсцисс. Можно получить решения при помощи математических преобразований. Последний считается менее точным способом, поскольку корнями могут быть иррациональные числа, а не действительные.

Упрощение выражений

Бывают случаи, когда следует решить уравнение, упростив его. Например, чтобы решить равенство (2z ² — 5z + 7) + (z + 5)(z + 3) = 0, нужно раскрыть скобки, а затем привести подобные слагаемые. Этот способ называется методом математических преобразований.

В некоторых случаях следует возвести в квадрат, а затем привести подобные слагаемые. После этого необходимо опять воспользоваться формулами, сгруппировав элементы.

Этот шаг позволяет оптимизировать процесс вычислений. Например, нет необходимости подставлять численные значения в выражение z ² + 4z + 16 + z ² — 16. Его можно просто упростить: z ² + 8z + 16 + z ² — 16 = (z + 4)^2 + (z — 4)(z + 4) = (z + 4)(z + 4 + z — 4) = 2z (z + 4).

Пример решения

Необходимо решить квадратное уравнение z^2 + 20z + 50 = 6z + 5 несколькими способами, используя следующие методы: нахождение дискриминанта, формул разложения, теоремы Виета и построить график. Вычисление корней первым методом (через дискриминант) выглядит таким образом:

1. Упростить выражение: z^2 + 20z + 50 - 6z - 5 = z^2 + 14z + 45.
2. Вычислить дискриминант: D = 14^2 - 4 * 1 * 45 = 196 - 180 = 16 = 4^2.
3. Осуществить анализ второго пункта: если D = 16 > 0, то значит у уравнения два корня.
4. Первый корень: z1 = (-14 - 4) / 2 = -9.
5. Второе решение: z2 = (-14 + 4) / 2 = -5.
6. Проверка: (-9)^2 + (-9) * 14 + 45 = 81 - 126 + 45 = 0 и (-5)^2 + (-5) * 14 + 45 = 25 - 70 + 45 = 0.

Два корня подходят, поскольку равенство 0 = 0 соблюдается. Специалисты рекомендуют опускать проверку, поскольку задача решается несколькими способами.

Второй метод заключается в использовании теоремы Виета. Произвести поиск корней довольно просто, поскольку а = 1. Воспользовавшись формулами z1 + z2 = - 14 и z1 * z2 = 45, можно подобрать корни: z1 = -9 и z2 = -5.

Третий метод заключается в использовании формул разложения. Их разрешается применять несколько раз и в любом порядке. Алгоритм решения выглядит таким образом:

1. Разложить на множители (формула квадрат суммы): z^2 + 14z + 45 = z^2 + 14z + 45 + 4 - 4 = (z^2 + 14z + 49) - 4 = (z + 7)^2 - 4.
2. Использовать формулу разности квадратов двух чисел: (z + 7)^2 - 4 = (z + 7 - 2)(z + 7 - 2) = (z + 5)(z + 9).
3. Записать в виде уравнений: (z + 5) = 0 и (z + 9) = 0.
4. Корни: z1 = -5 и z2 = -9.

Использование графического метода позволит получить точные значения, поскольку во всех предыдущих способах они являются целыми числами. Необходимо записать уравнения параболы (можно воспользоваться вторым пунктом алгоритма третьего метода): (z + 7)^2 - 4. Анализ перед построением выглядит таким образом:

1. Ветви направлены вверх, поскольку a = 1 > 0.
2. Смещение вершины по ОУ на -4 в отрицательном направлении (с < 0), а по ОХ — на 7.

Для построения следует составить таблицу 1 зависимости функции y от аргумента z. По значениям также можно вычислить корни (все y = 0).

Таблица 1. Подготовка к построению.

После подготовки необходимо строить график. Это можно выполнить ручным методом или воспользоваться специализированным сайтом. Последним рекомендуется пользоваться только при проверке правильности решения.

Рисунок 1. Графическое представление y = z^2 + 14 * z + 45.

На графике видно, что корнями уравнения являются числа -9 и -5. Они совпадают с полученными ранее значениями. Следовательно, решение является верным. Числа можно также подставить в исходное равенство.

Таким образом, при решении уравнений, упрощении выражений и построении графиков функций рекомендуется применять формулы сокращенного умножения. Это позволит сохранить много времени.