Бином Ньютона - формула, доказательство и примеры решения
Древние знания
Частные случаи утверждений о биномах были известны примерно с IV века до нашей эры, когда знаменитый греческий математик Евклид упомянул особый случай такой теоремы для показателя 2. Существует доказательство того, что подобие теоремы о биномах для кубов было известно уже в VI веке в Индии. Биномиальные коэффициенты, как комбинаторные величины, выражающие число способов выбора k объектов из n без замены, представляли интерес для древнеиндийских математиков.
Самое раннее упоминание этой комбинаторной проблемы встречается у индийского математика Пингала (ок. 200 г. до н. э.). В нём, кстати, содержится и метод её решения. В X веке нашей эры эту теорию прокомментировал и расширил Халаюдх, используя метод, который сейчас известен как треугольник Паскаля.
К VI веку н. э. индийские математики, вероятно, знали способ выразить общее правило, как частное, и выражали это примерно в таком виде: n! / (n - k)!k!. Чёткое его изложение можно найти в тексте XII века, автор которого — Бхаскар. Насколько известно, первая формулировка биноминальной теоремы и соответствующая таблица коэффициентов найдена в работе Аль-Караджи, которая цитируется Аль-Самавалем в его трудах.
Аль-Караджи описал треугольную структуру биномиальных коэффициентов, а также представил доказательство как теоремы о биноме, так и правила треугольника Паскаля, используя раннюю форму математической индукции. Персидский поэт и математик Омар Хайям, вероятно, был знаком с формулой более высокого порядка, хотя многие из его математических работ не дошли до современных учёных.
Биноминальные разложения малых степеней были известны в математических работах XIII века Ян Хуэя и Чу Ши-Цзе. Ян Хуэй ссылается на более ранний текст Цзя Сяня, написанный в XI в., однако и эти записи в настоящее время также утрачены.
В 1544 году Майкл Стифель ввёл термин «биномиальный коэффициент» и показал, как его использовать для выражения (1 + a)n с точки зрения (1 + a)n - 1 через «треугольник Паскаля». Блез Паскаль всесторонне изучил треугольник в трактате «Traité du triangle arithmétique» (1653).
Надо сказать, что структура чисел уже была известна европейским математикам позднего ренессанса, включая:
- Стифеля.
- Никколо Фонтана Тарталья.
- Симона Стевина.
К слову, Исааку Ньютону обычно приписывают обобщённую теорему о биномах, справедливую для любого рационального показателя.
Утверждение теоремы
Согласно теореме, можно разложить любую степень x + y в сумму вида (x + y)n = (nₒ) x n y 0 + (n1) x n - 1 y 1 + (n2) x n - 2 y 2 + ··· + (n n - 1) x1y n - 1 + (n n) x1y n - 1+ (n n) x0 y n , где каждый (nk) является положительным целым числом, известным как коэффициент бинома.
Когда показатель степени равен нулю, соответствующее выражение степени принимается равным 1 и этот мультипликативный фактор часто исключается из формулы. Нередко можно видеть правую сторону уравнения, записанную в виде (nₒ) x n + ···. Эта формула также называется биноминальным тождеством.
Наиболее простой пример формулы бинома Ньютона — решение для квадрата из х + у, например, (x + y)2 = x2 + 2xy + y2. Биномиальные коэффициенты 1, 2, 1, фигурирующие в этом расширении, соответствуют второму ряду треугольника Паскаля. Следует обратить внимание на общепринятые нормы, где верхняя «1» треугольника считается строкой 0.
Коэффициенты более высоких степеней x + y соответствуют нижним строкам паскалевского треугольника. Из расчётов можно наблюдать несколько закономерностей. В общем случае для разложения (x + y) n:
- степени x уменьшаются на 1 в каждом члене, начинаясь с n до достижения 0 (при x 0 , равном 1);
- y начинаются с 0 и увеличиваются на 1 (пока не достигнут n степени);
- число слагаемых в разложении перед объединением одинаковых слагаемых является суммой коэффициентов и равно 2n;
- после объединения одинаковых слагаемых в разложении получится n + 1.
Теорема может быть применена к степеням любого бинома.
С точки зрения геометрии
Для положительных значений a и b теорема с n = 2 является геометрически очевидным фактом. Это значит, что квадрат стороны a + b может быть разделён: на квадрат стороны a и b, на два прямоугольника со сторонами a и b. При n = 3 теорема утверждает, что из куба со стороной a + b можно получить: два куба со сторонами a и b, соответственно, три прямоугольника a × a × b и столько же a × b × b.
В исчислении геометрическое доказательство бинома Ньютона выглядит следующим образом: (x n)′ = nx n-1. Если установить a = x, b = ∆x, интерпретируя b как бесконечно малое изменение в a, то вырисовывается следующая картина: бесконечно малое изменение объёма n-мерного гиперкуба (x + ∆x) n, где коэффициент линейного члена (в ∆x ) является nx n-1, площадь n граней, каждое из измерений (n - 1), (x + ∆x) n = x n + nx n-1 ∆x + (n2)x n-2 (∆x) 2 + ··· .
Подстановка этого уравнения в определение производной через разность и принятие пределов означает, что члены более высокого порядка, (∆x) 2 и выше, становятся незначительными, и даёт формулу (x n)′ = nx n-1. Всё это интерпретируется как «бесконечно малая скорость изменения объёма n-куба, при изменении длины его стороны, равна площади n (n - 1)».
Биномиальные коэффициенты появляются в разложении бинома Ньютона. Обычно их записывают как (n k) и интерпретируют, как количество способов выбора k элементов из n строки треугольника Паскаля. Коэффициент x n - k y k находят по формуле: (n k) = n! / k! (n-k)!, которая определяется в терминах факториальной функции n!.
Доказательств теоремы несколько. Для примера можно рассмотреть комбинаторное. Его алгоритм — один из самых простых. Коэффициент xy 2 в (x + y) 3 равен:
- (x + y) (x + y) (x + y);
- xxx + xxy + xyx + xyy + yxx + yxy + yyx + yyy;
- x2 + 3x2 y + 3xy2 + y3 равняется (3 2) = 3.
Вычисления выглядят так, потому что есть три x и y строки, а именно: xyy, yxy, yyx. Они соответствуют трём двухэлементным подмножествам {1, 2, 3}, а конкретно: {2,3}, {1,3}, {1,2}, где каждое подмножество определяет позиции y в соответствующей строке треугольника.
Или, например, общий случай. Расширение (x + y) n дает сумму 2 n произведений вида e1 e2 ... en, где каждый ei равен x или y. Коэффициенты перестановки показывают, что каждый продукт равен x n - k y k для некоторого k между 0 и n. Для заданного k следующие значения равны по порядку:
- количество копий x n - k y k в расширении;
- количество n-символов x, y строк, имеющих y ровно в k позициях;
- количество k-элементных подмножеств {1, 2, ..., n}.
Доказывают биномиальную теорему либо по определению, либо по короткому комбинаторному аргументу, если (n k) представлено как n! / k! (n-k)!.
Биномные обобщения
Около 1665 года Исаак Ньютон обобщил свою теорему, касающуюся бинома. Сделал он это для того, чтобы разрешить вещественные показатели, отличные от неотрицательных целых чисел. В этом обобщении конечная сумма заменяется бесконечным рядом. Чтобы сделать это, нужно придать смысл коэффициентам бинома с произвольным верхним индексом, что невозможно сделать с помощью обычной формулы с факториалами.
Однако для произвольного числа r можно вычислить (r k) = r(r - 1) ··· (r - k + 1) / k! = (r)k / k!, где (·) k является символом Похгаммера, который здесь означает падающий факториал. Это согласуется с обычными определениями. Когда r - неотрицательное целое число, биномиальные коэффициенты при k > r равны нулю, поэтому это уравнение сводится к обычной биномиальной теореме, где существует не более r + 1 ненулевых членов. Для других значений r ряд обычно имеет бесконечно много ненулевых членов.
Обобщения можно распространить на случай, когда x и y - комплексные числа. Для этой версии следует снова принять | х | > | у | и определить степени x + y и x, используя голоморфную ветвь логарифма, определённую на открытом диске радиуса | х | с центром в х. Обобщённая теорема бинома справедлива и для элементов х и у в банаховой алгебре, пока х = ух, х является обратимым, а || у / х || <1.
Биномиальную теорему можно обобщить, включив в нее степени сумм с более чем двумя членами. Мультибиномиальная теорема часто бывает полезной при работе в нескольких измерениях, чтобы иметь возможность оперировать продуктами биномиальных выражений.
Проверка в действии
Начать лучше с решения простой задачи, которую учитель покажет классу на уроке алгебры. Например, нужно расширить (2x-3) ³. Это было бы не слишком трудно сделать, воспользовавшись онлайн-калькулятором. Но нужно использовать бином, когда придётся столкнуться с более крупными расширениями, такими как двучлены, возведённые в 4, 5, 6, ... степени.
Для начала нужно определить два члена из бинома (положения x и y формулы) и степени (буква n), до которой нужно расширить бином. Например, чтобы расширить (2x-3) ³, два члена составляют 2x и -3, а значение мощности (или n) равно 3. Следует отметить, что всякий раз, когда в биноме есть знак вычитания, очень важно помнить, что минус следует использовать только в качестве отрицательного символа в сопутствующем термине.
Замечательная вещь в теореме о биноме - это то, что она позволяет найти расширенный многочлен без умножения множества биномов вместе. Довольно интересное свойство. Оказывается, что число слагаемых в искомом расширенном полиноме всегда будет на единицу больше, чем сила, которую расширяют. Это означает, что необходимо создавать многочлен с четырьмя членами, так как мощность в этом примере равна 3.
Каждый член будет иметь (2x) и (-3), а также формулу «n выбирает k», где n = 3. Нужно записать это 4 раза, по одному на каждый член, оставив значение k в «n выбирает k». На этом этапе подсчёта значения степеней не заполняются.
Далее нужно заполнить k-значения и полномочия. Здесь можно следовать формуле суммирования, увеличивая мощность для каждого члена. Но довольно просто следовать шаблонам. Значения k в «n выбирает k» начинаются с k = 0 и увеличиваются на 1 в каждом члене. Последний член должен заканчиваться на n, равный k, в этом случае n = 3 и k = 3. Затем нужно добавить полномочия на (2x) и (-3).
Включение (2x) начнётся с n-значения, в этом случае - 3, и будет уменьшаться на 1 для каждого слагаемого, пока не доберётся до нуля. Включение (-3) будет начинаться с нуля и увеличиваться на единицу каждый раз, пока не доберётся до n или 3 в этой задаче. Итак, половина дела сделана: (³ₒ)(2x)³‾⁰˭³ (-3)⁰ + (³1)(2x) 3-1=2 (-3)1 + (³2)(2x) 3-2=1 (-3)2 + (³3)(2x) 3-3=0 (-3)3.
Поскольку любое значение, возведённое в ноль, равно 1, можно упростить слагаемые с нулевыми степенями. Далее, двигаясь вперёд и применяя силы, целесообразно упростить все возможные сочетания.
Короткий путь
Последняя часть должна решить формулу комбинации. Очевидный способ сделать это — применить формулу комбинации для каждой задачи. Но стоит пойти на хитрость и ускорить вычисления, используя треугольник Паскаля, образованный путём создания треугольника с тремя начальными единицами. После этого для каждой строки нужно просто написать 1 на обоих концах и найти средние числа, добавляя два значения непосредственно над ним.
Теперь хорошая часть. В Треугольнике Паскаля спрятаны все ответы - это настоящая шпаргалка. Диаграмма ниже показывает, где находятся скрытые «n выбирает k».
Для рассматриваемой задачи нужно решить: 3 выбирает 0, 3 выбирает 1, 3 выбирает 2 и 3 выбирает 3. Все эти значения содержатся в четвёртой строке. Итак, всё, что нужно сделать, это посмотреть на четвёртый ряд треугольника и сделать выводы, сопоставив ответы. Четвёртая строка имеет значения: 1, 3, 3, 1. Поэтому надо просто заменить n на выбор k. Получается следующее: (1)8x3 + (3)4x2(-3) + (3)(2x)(9) + (1)(-27).
Наконец, всё, что нужно сделать — умножить и упростить каждый термин до его простейшей формы. Стоит проверить окончательный ответ, чтобы убедиться, что полномочия каждого термина всё ещё увеличивают степень первоначального бинома.
Все тесты
- Биология
- Литература
- Обществознание
- Пунктуация
- Фонетический разбор
- Пушкин А.С
- Религия
- Карьера
- Информатика
- Физика
- Окружающий мир
- Стихи
- Математика
- Сочинения
- История
- ОБЖ
- Экономика
- Биографии
- Анализ стихотворений
- Русский язык
- Краткие содержания
- Физкультура
- Орфография
- География
- Помощь студенту
- Подготовка к ЕГЭ
- Тест на тему Что такое “железное легкое” и как жилось узникам аппарата 5 вопросов
- Тест на тему Суть и методы клеточной инженерии 5 вопросов
- Тест на тему Злаковые растения - общая характеристика, признаки и список представителей 7 вопросов
- Тест на тему Семейство бобовые - общая характеристика, строение и представители 7 вопросов
- Тест на тему Образы чиновников в комедии “Ревизор” Н. Гоголя 5 вопросов
- Тест на тему Роль образа вишневого сада в пьесе А. Чехова 5 вопросов
- Тест на тему Характеристика профессора Преображенского в повести “Собачье сердце” М. Булгакова 5 вопросов
- Тест на тему Описание образа городничего в комедии “Ревизор” Н. Гоголя 5 вопросов
- Тест на тему Описание образа главного героя “Доктора Живаго” Б. Пастернака 5 вопросов
- Тест на тему Образ Цыганка в повести “Детство” М. Горького 5 вопросов
- Тест на тему Характеристика Вани Солнцева в повести “Сын полка” В. Катаева 5 вопросов
- Тест на тему Образ автора в поэме "Василий Теркин" А. Твардовского 5 вопросов
- Тест на тему Образ портрета в повести "Портрет" Н. В. Гоголя 5 вопросов
- Тест на тему Описание образа девушки-ундины из “Героя нашего времени” М. Лермонтова 5 вопросов
- Тест на тему Описание образа Натальи Савишной в повести “Детство” Л. Толстого 5 вопросов
- Тест на тему Описание образа Костылина из “Кавказского пленника”. Л. Толстого 5 вопросов
- Тест на тему Описание образа Карла Ивановича в повести “Детство” Л. Толстого 5 вопросов
- Тест на тему Описание образа Жилина в “Кавказском пленнике” Л. Толстого 5 вопросов
- Тест на тему Описание образа Дины из “Кавказского пленника” Л. Толстого 5 вопросов
- Тест на тему Описание образа Вулича из “Героя нашего времени” М. Лермонтова 5 вопросов
- Тест на тему Описание образов татар в “Кавказском пленнике” Л. Толстого 5 вопросов
- Тест на тему Описание образа профессора Пирогова в рассказе “Чудесный доктор” А. Куприна 5 вопросов
- Тест на тему Народные образы героев в сказе «Серебряное копытце» П. Бажова 5 вопросов
- Тест на тему Описание образа Акакия Акакиевича Башмачкина из “Шинели” Н. Гоголя 5 вопросов
- Тест на тему Описание образов Лели и Миньки в одноименном рассказе М. Зощенко 5 вопросов
- Тест на тему Описание образа Сотникова из повести “Сотников” В. Быкова 5 вопросов
- Тест на тему Описание образов родителей в повести “Детство” Л. Толстого 5 вопросов
- Тест на тему Описание образа Флягина в “Очарованном страннике” Н. Лескова 5 вопросов
- Тест на тему Анализ комедии «Мещанин во дворянстве» Мольера 5 вопросов
- Тест на тему Описание образов героев рассказа “Галоша” М. Зощенко 5 вопросов
- Тест на тему Образ полковника - отца Вареньки из рассказа “После бала” Л. Толстого 5 вопросов
- Тест на тему Образ шинели в повести Н. В. Гоголя "Шинель" 5 вопросов
- Тест на тему Биография поэта Алексея Васильевича Кольцова 5 вопросов
- Тест на тему «Вечный зов» А. Иванова - краткое содержание 5 вопросов
- Тест на тему «Убийство в восточном экспрессе» А. Кристи - краткое содержание 5 вопросов
- Тест на тему Образ бабушки в повести «Детство» М. Горького 5 вопросов
- Тест на тему Описание образа барыни в рассказе «Муму» И. Тургенева 5 вопросов
- Тест на тему Главные произведения, написанные Александром Блоком 5 вопросов
- Тест на тему История создания песни “В лесу родилась елочка” 5 вопросов
- Тест на тему История создания поэмы “Двенадцать” А. Блока 5 вопросов
- Тест на тему История создания повести “Белые ночи” Ф. Достоевского 5 вопросов
- Тест на тему История создания балета «Щелкунчик» 5 вопросов
- Тест на тему "Пророк" - сравнительный анализ стихотворений А.С. Пушкина и М.Ю. Лермонтова 6 вопросов
- Тест на тему «Мика Морозов» - описание картины Валентина Серова 5 вопросов
- Тест на тему Любовная лирика С.А. Есенина - особенности и анализ творчества 5 вопросов
- Тест на тему История создания рассказа «Бежин луг» И. Тургенева 7 вопросов
- Тест на тему История создания пьесы «Вишневый сад» А. Чехова 6 вопросов
- Тест на тему История создания поэмы «Русские женщины» Н. Некрасова 6 вопросов
- Тест на тему История создания рассказа «Левша» Н. Лескова 5 вопросов
- Тест на тему История создания романа “Что делать” А. Чернышевского 7 вопросов
- Тест на тему История создания рассказа “После бала” Л. Толстого 7 вопросов
- Тест на тему История создания повести “Ася” И. Тургенева 7 вопросов
- Тест на тему 10 интересных фактов про Михаила Лермонтова 7 вопросов
- Тест на тему 10 интересных фактов про Льва Николаевича Толстого 7 вопросов
- Тест на тему "Банты" - как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Конечно же» - выделяется ли слово запятыми? 5 вопросов
- Тест на тему «Подчеркивать» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Лифты» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Строку» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Апостроф» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Зубчатый» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Прозорлива» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Балашиха» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Реку» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Полно» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Говорено» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Досыта» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Упрочение» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Развила» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Подолгу» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Логин» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Окон» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Втридорога» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Утра» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Запломбированный» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Цыган» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Шарфы» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Бармен» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Положенный» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Крадущийся» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Донизу» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Явишься» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Ободрить» - как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Предприняв» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Прочтено» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Низок» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Исчерпать» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Роба» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Исчерпывающий» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Будучи» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Понятым» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Повторен» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Изредка» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Донельзя» − как ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Загодя» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Принужден» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Опошлить» − как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Краны» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Торты» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Инструмент» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Брало» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Забрала» − как правильно ставить ударение? 5 вопросов
- Тест на тему «Отзыв» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Рефлексия» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему Образ Шарикова в повести «Собачье сердце» М. Булгакова 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в повести «Невский проспект» Н. Гоголя 5 вопросов
- Тест на тему Московские главы в романе «Мастер и Маргарита» Булгакова 7 вопросов
- Тест на тему Описание образа бирюка из рассказа И. Тургенева 7 вопросов
- Тест на тему Образы героев в романе «Отцы и дети» И. Тургенева 7 вопросов
- Тест на тему Образы героев в повести «Котлован» А. Платонова 7 вопросов
- Тест на тему Образы героев в пьесе «Гроза» А. Островского 7 вопросов
- Тест на тему История создания повести Н. В. Гоголя “Шинель” 7 вопросов
- Тест на тему История создания сборника рассказов Тургенева “Записки охотника” 7 вопросов
- Тест на тему История создания повести "Муму" Ивана Тургенева 7 вопросов
- Тест на тему История создания стихотворения "Реквием" Анны Ахматовой 10 вопросов
- Тест на тему История создания повести Гоголя "Тарас Бульба" 10 вопросов
- Тест на тему История создания стихотворения Пушкина "Деревня" 6 вопросов
- Тест на тему История создания стихотворения М. Лермонтова “Нищий” 7 вопросов
- Тест на тему История создания стихотворения "Она сидела на полу" 7 вопросов
- Тест на тему История создания Пушкиным стихотворения "К морю" 6 вопросов
- Тест на тему История создания повести «Станционный смотритель» А. Пушкина 10 вопросов
- Тест на тему История создания «Оды на день восшествия» М. Ломоносова 7 вопросов
- Тест на тему Тайны убийства Петра Столыпина 5 вопросов
- Тест на тему Отмена подушной подати на Руси 5 вопросов
- Тест на тему Период регентства Елены Глинской: события и реформы 5 вопросов
- Тест на тему Экономика России в годы Первой мировой войны 5 вопросов
- Тест на тему Битва при деревне Лесной 28 сентября 1708 года 5 вопросов
- Тест на тему 10 любопытных фактов про Рождество 5 вопросов
- Тест на тему 10 любопытных фактов про Новый год 5 вопросов
- Тест на тему История потешных полков Петра Первого 5 вопросов
- Тест на тему Образование и распад тушинского лагеря при Лжедмитрии II 5 вопросов
- Тест на тему Чем ведал и какие функции выполнял Разрядный приказ? 5 вопросов
- Тест на тему Задачи и направления внешней политики России в 16 веке 5 вопросов
- Тест на тему Установление и отмена бессрочного сыска беглых крестьян на Руси 5 вопросов
- Тест на тему История создания и деятельности Вольного экономического общества 5 вопросов
- Тест на тему Период правления Вещего Олега: внешняя и внутренняя политика 5 вопросов
- Тест на тему Правление и политика князя Игоря 5 вопросов
- Тест на тему Суть и последствия Нерчинского договора России с Китаем 1689 года 5 вопросов
- Тест на тему Причины, ход и итоги войны за польское наследство 1733-1735 гг. 5 вопросов
- Тест на тему Восстановление экономики СССР после Великой Отечественной Войны 5 вопросов
- Тест на тему Как и зачем были созданы полки иноземного строя 5 вопросов
- Тест на тему Создание стрелецких войск при Иване Грозном 5 вопросов
- Тест на тему Причины, ход событий и итоги выступления старообрядцев при Петре I 7 вопросов
- Тест на тему Как и почему началась Ливонская война: основные причины 5 вопросов
- Тест на тему К чему привела опричнина Ивана Грозного: последствия для страны 5 вопросов
- Тест на тему Положение черносошных крестьян на Руси 5 вопросов
- Тест на тему История Астраханского восстания: причины, события, итоги 7 вопросов
- Тест на тему Деятельность Великого посольства Петра I 5 вопросов
- Тест на тему Герои отечественной войны 1812 года - характеристика участников и полководцев 5 вопросов
- Тест на тему Развитие системы образования и науки в первой половине 19 века 6 вопросов
- Тест на тему Первые князья Киевской Руси - даты правления и особенности проводимой политики 7 вопросов
- Тест на тему Характеристика, периоды развития жизни в Палеозойскй эре 7 вопросов
- Тест на тему История праздника 23 февраля - происхождение и значение для России 7 вопросов
- Тест на тему Кто придумал отмечать 8 марта: история праздника 8 вопросов
- Тест на тему Славянские праздники - список праздников, обрядов и обычаев славян 10 вопросов
- Тест на тему Биография поэта и писателя Льва Рубинштейна 5 вопросов
- Тест на тему Биография президента Белоруссии Александра Лукашенко 5 вопросов
- Тест на тему 10 интересных фактов про Афанасия Фета 5 вопросов
- Тест на тему 10 интересных фактов про Ивана Тургенева 5 вопросов
- Тест на тему Биография писателя и поэта Вячеслава Урюпина 5 вопросов
- Тест на тему Биография поэта Николая Михайловича Рубцова 5 вопросов
- Тест на тему Биография поэта Андрея Дмитриевича Дементьева 5 вопросов
- Тест на тему Биография президента РФ Владимира Путина 5 вопросов
- Тест на тему Биография и личная жизнь Даниила Хармса 5 вопросов
- Тест на тему Краткая биография Валентины Осеевой 5 вопросов
- Тест на тему Григорий Остер: биография писателя и избранные произведения 7 вопросов
- Тест на тему Елена Благинина: творческая биография и личная жизнь 10 вопросов
- Тест на тему Биография детской писательницы Ирины Пивоваровой 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Догорел апрельский светлый вечер…» И. Бунина 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Фонтан» Ф. Тютчева 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Посмотри - какая мгла» Я. Полонского 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Школьник» Н. Некрасова 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Несжатая полоса» Н. Некрасова 5 вопросов
- Тест на тему «Весенний дождь» - анализ стихотворения А.А. Фета 7 вопросов
- Тест на тему «Поет зима - аукает» - анализ стихотворения С.А. Есенина 7 вопросов
- Тест на тему Сообщение на тему: «Традиции русской речевой манеры общения» 5 вопросов
- Тест на тему Определение и виды простых осложненных предложений 5 вопросов
- Тест на тему Какие бывают виды текстов? 5 вопросов
- Тест на тему Образование и правописание страдательных причастий настоящего времени 5 вопросов
- Тест на тему Как определить начальную форму прилагательного? 5 вопросов
- Тест на тему Местоимение-прилагательное в русском языке 5 вопросов
- Тест на тему Сборник правил по русскому языку для 6 класса 7 вопросов
- Тест на тему Сборник правил по русскому языку за 5 класс 7 вопросов
- Тест на тему Упражнения для тренировки школьников 7 класса по причастному обороту 9 вопросов
- Тест на тему Тест: Склонение фамилий в русском языке 7 вопросов
- Тест на тему Общеупотребительные и необщеупотребительные слова 5 вопросов
- Тест на тему Дефисное и слитное написание сложных прилагательных 5 вопросов
- Тест на тему Морфологический разбор числительного - правило и примеры 5 вопросов
- Тест на тему «Акула» Л. Толстого - краткое содержание 5 вопросов
- Тест на тему Русская народная сказка «Хвосты» - краткое содержание 5 вопросов
- Тест на тему Краткое содержание оперы «Снегурочка» Римского-Корсакова 5 вопросов
- Тест на тему «Обезьяний язык» М. Зощенко – краткое содержание 10 вопросов
- Тест на тему «Сердце не камень» - краткое содержание пьесы А.Н. Островского 5 вопросов
- Тест на тему Балет «Щелкунчик» — краткое содержание 7 вопросов
- Тест на тему Реферат по физкультуре на тему: «Здоровое питание» 5 вопросов
- Тест на тему История развития лыжного спорта в разных странах - классификация и интересные факты 6 вопросов
- Тест на тему Важность самоконтроля при занятиях спортом 5 вопросов
- Тест на тему Как выполняются прыжки через козла? 5 вопросов
- Тест на тему Что такое здоровый образ жизни? 5 вопросов
- Тест на тему Как правильно выполнять кувырки? 5 вопросов
- Тест на тему Развитие гибкости тела: упражнения и польза для тела 5 вопросов
- Тест на тему Виды и польза прыжков через скакалку 5 вопросов
- Тест на тему Какие есть зимние виды спорта? 5 вопросов
- Тест на тему Реферат на тему: “Гимнастика как вид спорта” 8 вопросов
- Тест на тему Реферат по физкультуре на тему “Футбол” 7 вопросов
- Тест на тему Реферат по физкультуре на тему: “Баскетбол - виды и лиги” 7 вопросов
- Тест на тему Реферат на тему «Лыжный спорт» 10 вопросов
- Тест на тему Реферат по физической культуре «Формы и виды закаливания» 10 вопросов
- Тест на тему Правописание слов с непроверяемой безударной гласной в корне 5 вопросов
- Тест на тему Нужно ли ставить запятую к фразе - "с уважением"? 5 вопросов
- Тест на тему «Во-вторых» или «во вторых» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему "Нету" или "нет" - как правильно писать и говорить? 5 вопросов
- Тест на тему «Не я» или «нея» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Полным-полно» или «полным полно» - как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему Как пишется «кто-нибудь» или «кто нибудь»? 5 вопросов
- Тест на тему Мягкий знак после шипящих в глаголах - правила, примеры 5 вопросов
- Тест на тему «Потвёрже» или «по твёрже» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Какой-то» или «какой то» – как пишется правильно? 5 вопросов
- Тест на тему «Мало-помалу» или «мало помалу» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «По-осеннему» или «по осеннему» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему "Находу" или "на ходу" - слитно или раздельно писать? 5 вопросов
- Тест на тему "ЮлИчка" или "ЮлЕчка" - как правильно писать? 5 вопросов
- Тест на тему «Не пойму» или «непойму» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Доброе утро» − как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Почему-то» или «почему то» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «На вынос» или «навынос» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Невежливо» или «не вежливо» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Негодуя» или «не годуя» - как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «КуриНый» или «куриННый» − как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ТеННис» или «теНис» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ТумаННый» или «тумаНый» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ЗамечеННый» или «замечеНый» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Семнадцать» или «семЬнадцать» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ВыздОравливающий» или «выздАравливающий» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Свеж» или «свежЬ» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «СлаЩе» или «слаДЧе» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ПрЕтерпевать» или «прИтерпевать» - как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Удастся» или «удастЬся» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «СписаНо» или «СписаННо» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Происшествие» или «проишествие» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «НачИнающий» или «начЕнающий» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Невозможно» или «не возможно» – как пишется слитно или раздельно? 5 вопросов
- Тест на тему «Налету» или «на лету» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Надолго» или «на долго» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ПьющАя» или «пьющЕя» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Неужели» или «не ужели» − как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «НИкого» или «нЕкого» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «БаССейн» или «баСейн» − как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему "Не согласованно" или "несогласованно" - слитно или раздельно? 5 вопросов
- Тест на тему «ОбстОятельствам» или «обстАятельствам» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ОбижеННый» или «обижеНый» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Аллах» или «Алах» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «БелОрусский» или «белАрусский» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ЧИсло» или «чЕсло» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «УвЕряющий» или «увИряющий» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «НенасТный» или «ненасный» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Постричь» или «поДстричь» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «КоЛея» или «коЛЛея» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему Характеристика природных зон Поволжья 5 вопросов
- Тест на тему Для каких рек в России характерно летнее половодье? 5 вопросов
- Тест на тему Как правильно заполнять дневник наблюдения за погодой 5 вопросов
- Тест на тему Влажные экваториальные леса - особенности климата, характеристика флоры и фауны 7 вопросов
- Тест на тему Европейский север России - географическое положение, особенности развития предприятий и промышленности 7 вопросов
- Тест на тему Что такое масштаб карты и как его определять 7 вопросов
- Тест на тему Особенности и примеры островных государств 5 вопросов
- Тест на тему Природные зоны Южной Америки - характеристики и особенности 7 вопросов
- Тест на тему 10 интересных фактов про океан 7 вопросов
- Тест на тему Сектор Газа: где он находится и откуда такое название? 6 вопросов
- Тест на тему Что нужно сдавать на бухгалтера? 5 вопросов
- Тест на тему Какие предметы нужно сдавать на пилота 5 вопросов
- Тест на тему Какие экзамены нужно сдавать на фотографа? 5 вопросов
- Тест на тему Какие предметы нужно сдавать на хореографа? 5 вопросов
- Тест на тему Какие предметы нужно сдавать на актера? 5 вопросов
- Тест на тему Какие предметы нужно сдавать на режиссера? 5 вопросов
- Тест на тему Что нужно сдавать на художника? 5 вопросов
- Тест на тему Что нужно сдавать для поступления на визажиста? 5 вопросов
- Тест на тему Какие экзамены нужно сдавать на полицейского? 5 вопросов
- Тест на тему Какие предметы нужно сдавать на фармацевта? 5 вопросов
- Тест на тему Какие предметы сдавать для поступления на врача? 5 вопросов
- Тест на тему Какие экзамены нужно сдавать на учителя 5 вопросов
- Тест на тему Кадетский корпус - как поступить, чему учат и условия для проживания 5 вопросов
- Тест на тему Готовы ли вы к поступлению на психолога? 5 вопросов
- Тест на тему Готовы ли вы к поступлению на дизайнера? 5 вопросов
- Тест на тему Какие экзамены нужно сдавать на стюардессу? 5 вопросов
- Тест на тему Какие экзамены нужно сдавать на повара? 5 вопросов
- Тест на тему Какие предметы сдавать для поступления на программиста 5 вопросов
- Тест на тему Готовы ли вы сдавать экзамены на стоматолога? 5 вопросов
- Тест на тему Готовы ли вы сдавать экзамены на маркетолога? 5 вопросов
- Тест на тему Готовы ли вы сдавать экзамены на ветеринара? 5 вопросов
- Тест на тему Готовы ли вы поступать на экономиста? 5 вопросов
- Тест на тему Готовы ли вы к поступлению на юриста? 5 вопросов
- Тест на тему Готовы ли вы поступать на архитектора? 5 вопросов
- Тест на тему Аргументы к сочинению на тему: «Добро и зло в пьесе “Гроза” А. Островского» 5 вопросов
- Тест на тему Аргументы к сочинению 15.3 из пьесы «Горе от ума» 5 вопросов
- Тест на тему Аргументы к итоговому сочинению по рассказу «Матренин двор» А. Солженицына 5 вопросов
- Тест на тему Аргументы для итогового сочинения ЕГЭ по роману «Мастер и Маргарита» 5 вопросов
- Тест на тему Аргументы к итоговому сочинению по рассказу «Куст сирени» 5 вопросов
- Тест на тему Аргументы для итогового сочинения ЕГЭ по «Гарри Поттеру» 5 вопросов