Число в нулевой степени

Содержание:

Возведение числа в нулевую степень
Парадокс нуля

Возведение в степень является одним из основных математических действий, без которых невозможны сложные расчеты. При этом отдельного рассмотрения заслуживает нулевая степень числа.

Возведение числа в нулевую степень

Известно, что при x⁰ любое x равно 1 (x⁰ = 1). Чтобы доказать это, нужно выяснить, откуда собственно взялся этот ноль? Для этого вспомним формулы сложения и вычитания степеней. Итак: 7³= 7²⁺¹= 7² × 7¹ = 7 × 7 × 7, ⇒ 7³ = 7^9-6 = 7⁹÷ 7⁶, ⇒ 7⁰ = 7^3-3 = 7³ ÷ 7³ = 1 Доказательство получено. Однако есть исключение из этого правила.

Парадокс нуля

Здесь все гораздо сложнее, но не настолько, чтобы не разобраться. Известно, что 0^x = 0. Например: 0⁴ = 0 × 0 × 0 × 0 = 0 Почему же мы часто встречаем выражение 0⁰ = 1? На самом деле это не совсем верно. Возьмем функцию y = ƒ (x) = x^x. Подберем значения по табл.1.

Таблица 1. Функция ƒ(x) = x^x

x	x^x
1	1
0,9	0,909
0,8	0,836
0,7	0,779
0,6	0,736
0,5	0,707
0,4	0,693
0,3	0,697
0,2	0,725
0,1	0,794
0,01	0,955
0,001	0,993

Как видим, с определенного момента значение x^xрастет вместе с уменьшением x. В этом нет ничего сверхъестественного, это всего лишь пример действия формулы

Делаем предположение, что это выражение является пределом. Выразить это можно так:

Проверим, вычислив это значение. Преобразуем основание выражения. Получаем:

x^x = (e^{ln x})^x = e^{x ln x}

В этом случае x → 0, а ln x → -∞ Получаем следующее выражение:

Пользуемся правилом Лопиталя:

Получаем:

Доказательство получено.

Официальная позиция современной математики гласит, что выражение 0⁰- представляет собой неопределенность, то есть не имеет точного значения.

Однако на практике, при расчетах, его значение подстраивается под конкретные требования. И чаще всего в этих случаях оно равно единице. Чтобы лучше разобраться с темой нулевой степени, советуем посмотреть видео ниже.