Возведение в степень является одним из основных математических действий, без которых невозможны сложные расчеты. При этом отдельного рассмотрения заслуживает нулевая степень числа.

Возведение числа в нулевую степень

Известно, что при  x0 любое  x равно 1 (x0 = 1). Чтобы доказать это, нужно выяснить, откуда собственно взялся этот ноль? Для этого вспомним формулы сложения и вычитания степеней. Итак: 7= 72+1 = 72 × 71 = 7 × 7 × 7, ⇒ 73 = 79-6 = 7÷ 76, ⇒ 70 = 73-3 = 73 ÷ 73 = 1 Доказательство получено. Однако есть исключение из этого правила.

Парадокс нуля

Здесь все гораздо сложнее, но не настолько, чтобы не разобраться. Известно, что 0x = 0. Например: 04 = 0 × 0 × 0 × 0 = 0 Почему же мы часто встречаем выражение 00 = 1? На самом деле это не совсем верно. Возьмем функцию y = ƒ (x) = xx. Подберем значения по табл.1.

Таблица 1. Функция ƒ(x) = xx

x xx
1 1
0,9 0,909
0,8 0,836
0,7 0,779
0,6 0,736
0,5 0,707
0,4 0,693
0,3 0,697
0,2 0,725
0,1 0,794
0,01 0,955
0,001 0,993
Как видим, с определенного момента значение xрастет вместе с уменьшением x. В этом нет ничего сверхъестественного, это всего лишь пример действия формулы
Изобразим это на графике
Рис.1 График y = ƒ(x) = xx
Таким образом, делаем предположение, что это выражение является пределом. Выразить это можно так:
Проверим, вычислив это значение. Преобразуем основание выражения. Получаем:

xx = (eln x)x = ex ln x

В этом случае x → 0, а ln x → -∞ Получаем следующее выражение:
Пользуемся правилом Лопиталя:
Получаем:
Доказательство получено. Официальная позиция современной математики гласит, что выражение 00- представляет собой неопределенность, то есть не имеет точного значения. Однако на практике, при расчетах, его значение подстраивается под конкретные требования. И чаще всего в этих случаях оно равно единице. Чтобы лучше разобраться с темой нулевой степени, советуем посмотреть видео ниже.