Деление с остатком - алгоритмы и примеры решения для 5 класса

Общие сведения

Деление с остатком используется практически во всех дисциплинах с физико-математическим направлением. Операция позволяет записывать значения с выделением целой части. Одним из направлений является программирование. В этой дисциплине используются различные алгоритмы, работа которых основана на этом виде деления.

Следует отметить, что для выполнения этой операции существует определенная методика. Однако для ее реализации необходимы начальные знания. К ним относятся следующие:

1. Понятие о частном.
2. Правила делимости двух величин.

Операция частного состоит из трех элементов: делимого q, делителя p и их результата r. Выражение в математической форме имеет такой вид: q/p=r или q: p=r. Далее необходимо разобрать определение каждого компонента.

Делимое — числовое значение, которое нужно разделить на один из сомножителей. Делитель — один из множителей, на которые делится величина делимого. Результат операции называется частным двух или более чисел. Следует отметить, что деление классифицируется на два вида: без остатка и с его наличием.

В первом случае частное является целочисленным значением, а во втором — образуются две величины, а именно: целая часть и остаток. Последний записывается в скобках со знаком «плюс» и «минус». Например, 12 (+1) и 12 (-1). Первая величина эквивалентна 13, а вторая — 11. Затем следует разобрать правила делимости одного числа на другое.

Классификация числовых величин

Признаки делимости — отдельные критерии, при помощи которых можно сделать вывод о целочисленном делении одной величины на другую. Следует отметить, что числа классифицируются на два вида:

1. Простые.
2. Составные.

Для определения первых нужно воспользоваться тремя методами: специальными таблицами, средствами вычислительной техники и расчетным способом. В каждом учебнике по математике находятся в дополнениях таблица простых чисел. Кроме того, в интернете можно загрузить специальные программы, позволяющие определить принадлежность значения к простой величине.

Последний метод называется ручным, поскольку для определения принадлежности к этой группе необходимо воспользоваться признаками делимости. Отличительной особенностью простого значения от составного является возможность осуществления операции деления нацело только на единицу или само себя. Составные величины включают другие множители, отличные от единицы и эквивалентного значения.

Специалисты рекомендуют занести признаки делимости на специальные карточки, сделанные из картона. На них необходимо разборчиво написать все правила целочисленного деления двух чисел. Начинающие математики, которые стремятся добиться больших успехов в этой дисциплине, должны придумать примеры к каждому, как это сделано для семерки.

Следует отметить, что создание таких «тренажеров» тренируют память и аналитическое мышление. Далее следует перейти к правилам целочисленного частного или признакам делимости.

Правила целочисленного частного

В учебнике советского математика Виленкина Наума Яковлевича, одобренном Федеральными государственными образовательными стандартами (ФГОС), можно найти правила делимости нацело одного значения на другое. К ним относятся следующие:

1. На единицу и эквивалентное значение делится любая величина.
2. Только четные значения, последний разряд которых заканчивается на цифры 2, 4, 6, 8, 0, могут делиться на двойку.
3. Если сумма всех элементов разрядной сетки делится на тройку, то значит частное при делении на это значение будет целым.
4. На четверку можно разделить величину, у которой сумма разрядов единиц и десятков делится на четыре.
5. Условие деления на 5 — разряд единиц эквивалентен 0 или 5.
6. Чтобы разделить искомое значение на шесть, необходимо соблюдение сразу двух условий (второго и третьего).
7. Для деления величины, количество разрядов которой превышает 7, на семерку необходимо руководствоваться таким методом: разбить на группы-триады (по три), а затем просуммировать. Сумма должна делиться на 7. Если количество цифр не превышает 7, то нужно отсеять последний единичный элемент, и отнять от искомого числа удвоенный последний компонент. Результат должен делиться на 7.
8. Условием деления величины на восьмерку является одновременное выполнение второго и четвертого правил.
9. Чтобы разделить значение на 9, необходимо сложить все компоненты разрядной сетки. Результирующая величина при этом должна быть целочисленным значением.
10. Когда последний разряд равен нулю, тогда число делится на 10.

Однако седьмое правило может показаться не совсем понятным для начинающих математиков. В этом случае необходимо разобрать более подробно его реализацию на примере числа 754231897. Решение выполняется таким образом:

1. Разбить на триады начиная от единиц: 754 | 231 | 897.
2. Сложить элементы в группах: 18+6+24=48.
3. Результат, полученный на втором шаге, не делится на 7 по таблице умножения (49/7=7 и 56/7=8).

Если величина имеет меньшее количество разрядов (273), то формула определения записывается таким образом: 27−2*3=27−9=21. На основании полученного результата можно сделать вывод о том, что частное чисел 273 и 7 является целой величиной.

Определение принадлежности чисел

Не во всех случаях можно воспользоваться программным обеспечением, предварительно инсталлированным на телефон или компьютер. Для этого специалисты рекомендуют использовать методику определения принадлежности числа к группе простых или составных величин. Она имеет такой вид:

1. Написать исходную величину.
2. Найти ее множители, основываясь на правила делимости.

Однако для демонстрации работы алгоритма необходимо выполнить анализ для величины, эквивалентной 567. Реализация имеет следующий вид (номер шага равен делителю, кроме первого):

1. 567.
2. (-), т. к. 7 является нечетным значением.
3. 5+6+7=18 (+). Алгоритм прерывается, поскольку множитель найден.
4. 567 — составная величина.

Далее нахождение множителей можно не продолжать. Исключение составляют только задачи, в которых необходимо найти все делители. Теперь можно переходить непосредственно к алгоритму деления с остатком, поскольку базовых знаний уже достаточно для выполнения этой операции.

Методика деления с остатком

Результатом операции нахождения частного двух чисел может быть целочисленной или дробное значение. В основном реализация их алгоритмов совпадает. Следовательно, необходимо рассмотреть один из них. Рекомендуется подробно разобрать пример на деление без остатка для 5 класса. Методика имеет следующий вид:

1. Написать число и делитель: 542/2.
2. Взять старший разряд: 5.
3. Разделить его на делитель, выделив целую часть и остаток (записывается в скобках): 5/2=2 (+1). В результирующую графу записать 2.
4. Перемножить частное (2) и делитель (2), записав под старшей группой результат их произведения: 2*2=4.
5. От 5 отнять 4: 5−4=1.
6. Снести разряд десятков, поставив его рядом с 1: 14.
7. Разделить величину в шестом пункте на делитель: 14/2=7 (записать к частному).
8. Вынести последний элемент разрядной сетки, поделив его на 2: 2/2=1 (записать в графу результата).
9. Ответ: 271.
10. Выполнить проверку при помощи калькулятора: 271*2=542.

Можно составить задание, какое позволит применить этот алгоритм, но результат получится с остатком. Для этого необходимо решать задачу для нечетного числа и двойки, т. е. 541/2.

Нахождение частного осуществляется таким образом:

1. Выполнить все действия до седьмого пункта включительно.
2. Снести элемент единиц: 1. Он не делится на двойку. В этом случае нужно в графе результата записать 0. Получится величина «270».
3. Дописать остаток: 270 (+1).
4. Проверка: 2*270 (+1)=540+1=541. Числа совпадают.

Кроме того, эту методику также рекомендуется записать на отдельном листе бумаги. Она должна быть перед глазами, поскольку необходимо сформировать правильные действия учащегося при решении задач этого типа. Со временем ее можно будет убрать.

Пример решения

Специалисты рекомендуют также решать задачи на деление с остатком для 5 класса. Это связано с тем, что для лучшего результата недостаточно просто проходить школьный материал, а необходимо составлять различные задания. Одно из них имеет условие следующего вида:

1. Известен делитель и остаток: 3 и 2 соответственно.
2. Число-делимое состоит из трех разрядов, сумма которых эквивалентна 17.
3. Разряд сотен меньше десятков в 2 раза, а третий элемент меньше их суммы на 1.
4. Частное состоит из трех разрядов, десятки и единицы которого равны, а сотня на 1 меньше любого из них.
5. Необходимо найти делимое.

Математики рекомендуют решить задание самостоятельно, а затем сопоставить ответы. Оно решается по такой методике:

1. Составляются уравнения (t — первый старший разряд, s — десятки и u — единицы): s=2t, u=t+2t-1, t+2t+(t+2t-1)=17.
2. Корни последнего уравнения: t=3. Отсюда s=6 и u=8.
3. Искомое число: 368.

Если подставить величины, которые получились во втором пункте, то можно сделать вывод о правильном нахождении значения. Оно состоит из трех разрядов, т. е. 368. Сумма последних составляет 17, что удовлетворяет условию задачи (3+6+8=17). Компонент, находящийся в разрядной сетке на месте сотен, меньше элемента разряда десятков в два раза, т. е. 6/3=2. Последняя цифра вычисляется по формуле: сотни+десятки-единицы=3+6−8=1.

Однако для окончательной проверки нужно выполнить операцию деления 368/3. Ее результатом является величина, равная 122 (+2). Условие в четвертом пункте соблюдается, поскольку 2=2 и 1<2. Следовательно, задача решена правильно.

Таким образом, операция деления в столбик с остатком выполняется при помощи методики, для применения которой нужно знать признаки делимости одного значения на другое, а также виды чисел и их главные отличия (простого от сложного).