Десятичный логарифм в математике - свойства, условия и примеры вычислений

Производная десятичного логарифма определяется, как отношение в числителе которого стоит единица, а в знаменателе показатель. Для доказательства этого можно рассмотреть произвольное число, которое больше единицы. Пусть имеется следующая функция: t = logc p.

Её график определён при p больше нуля. Нужно найти производную по переменной p. По определению производной она ограничивается лимитом: t’ = lim t * ((p + Δ p) – t(p)) / (Δp) = = lim t ( log (p + Δ p) – log p / (Δp)). Используя свойства логарифмов это выражение можно преобразовать до вида: (1/p) * logc (1+ Δp / p)^p/Δp.

Воспользовавшись свойством формулу можно упростить и записать: t’ = 1/t * logc p = (1/t) * (1/ln p) = 1 / t * ln p. То есть получить рассматриваемую функцию. Тождественным доказательством будет и метод вынесения постоянной за знак дифференцирования: (logc p)’ = (ln p / ln c)’ = ((1 / ln c ) * ln p )’ = (1/ ln c) * (1/ p) = 1 / p ln c.

Интеграл функции можно записать выражением: ∫ ln x dx = x * ln x – x + C. Находят его способом интегрирования по частям. Этим методом выражение сводится к более простому виду.

Функцию десятичного логарифма можно записать как y = lg x. График имеет вид плавной возрастающей кривой, которую ещё называют логарифмикой. К основным характеристикам функции относят:

• Неупорядоченность.
• Область определения, лежащую в интервале от нуля до плюс бесконечности.
• Множество значений, принадлежащих области от минус бесконечности до плюс.
• Пересечение графика с осью абсцисс в точке (1; 0).
• Возрастание кривой на всей области определения.
• Отсутствие минимума и максимума.
• Знакопостоянство промежутков для значений ординаты больше нуля, принадлежащих области от единицы до плюс бесконечности и для ординаты меньше нуля от нуля до единицы.

Функция монотонная, то есть всё время она не убывает и не возрастает. Иными словами, она всегда неотрицательная или неположительная, но при этом всюду дифференцируемая. Производная для выражения находится с помощью формулы: (d/dx) lg x = lg e / x. Ось ординат обладает свойством вертикальной асимптотности, так как при лимите стремящимся к нулю логарифм по иксу будет равный минус бесконечность.

Примеры решения задач

При решении задач на сложение или вычитание логарифмов для быстрого вычисления нужно использовать знания, что десятичное выражение единицы всегда равняется нулю. А также то, что десятичный логарифм десятков, сотен, тысяч и подобных чисел будет иметь столько положительных единиц, сколько нулей содержит число. Например, lg 1000 = 3, lg 1 00000 = 5. В то же время логарифм дробных выражений наподобие 1/10, 1/100, то есть с нулями после единицы в делителе, в ответе будет иметь столько отрицательных цифр, сколько нулей содержится в знаменателе. Например, lg 0,001 = -3.

При решении тождеств, содержащих тригонометрические функции, поможет и сборник таблиц Брадиса. Это пособие, в котором собраны ответы для чаще всего встречающихся типовых выражений.

Следующие типы примеров наиболее часто предлагаются в школе для самостоятельного решения:

1. Нужно преобразовать заданное выражение до удобного вида и вычислить ответ. Пусть дано отношение: (2* lg 40 – lg 16) / (lg 50 – ½ * (lg 25). Для упрощения этого выражения нужно использовать свойство произведений и степеней. Исходную формулу можно привести к виду: (2 * (lg 4 + lg 10) - lg 4²) / lg 5 + lg 10 - (1/2) * lg 5². После нужно раскрыть скобки и выделить подобные слагаемые, при этом учесть, что lg10 = 1. Таким образом, выражение примет вид: (2 * lg 4 + 2 – 2 * lg 4) / lg 5 + 1 – 1/2 * (2 * lg 5) = 2 / ( lg 5 + 1 – lg 5) = 1 / 2 = 2. То есть сложная дробь превратилась в простую натуральную цифру.
2. Доказать справедливость или ошибочность линейного неравенства: 3 * lg 0,09 – 2 * lg 27 > -3. Левую часть уравнения можно представить в виде степенного многочлена: 3 * lg 0,09 – 2 * lg 27 = 3 * lg (9/10²) – 2 * lg 27 = 3 * lg (3/10)² – 2 * lg 3³ = 3 * 2 * lg (3/10) – 2 * 3 * lg 3 = 6 * lg (3/10) – 6 * lg 3. Используя свойство частного логарифма полученное выражение можно представить как 6 * (lg 3 * lg 10) – 6 * lg 3. Теперь нужно открыть скобки и привести подобные слагаемые: 6 * lg 3 – 6 * lg10 – 6*lg 3 = - 6. Подставив полученное значение в исходное неравенство можно утверждать что оно неверно.

3. Найти корень уравнения: lg (4x² - 16x + 144) = lg 2 x + lg(2 x+ 6). Используя свойства знак логарифма можно вынести за скобки: lg (4x² - 16x + 144) = lg (4x² + 12x). В правой и левой части стоит одинаковое действие – логарифмирование. Поэтому на него можно сократить. В итоге получится: 4x² - 16x + 144 = 4x² + 12x. После объединения подобных членов уравнение примет вид двоичного: -4x +144 = 0 или x = 144 / 4 = 36.

Но бывает так, что самостоятельно решить задачу довольно сложно из-за громоздкости записи уравнения. При этом не так сложно провести вычисления, как правильно выбрать алгоритм решения. Поэтому в таких случаях используют так называемые онлайн-калькуляторы.

Использование онлайн-калькулятора

Использовать сервисы предлагающие услуги по вычислению десятичного логарифма, довольно удобно. Всё, что требуется от пользователя, — это интернет-канал и браузер с поддержкой флеш-технологии. Доступ к онлайн-калькуляторам предоставляется бесплатно, при этом даже нет необходимости в регистрации или указании каких-либо данных.

Онлайн-расчётчики позволяют не только получить быстрый и правильный ответ вычисления выражения любой сложности, но и предоставляют подробное решение с пояснениями. Кроме того, на страницах таких сервисов содержится краткая теория с примерами. Так что проблем с понятием, откуда взялся ответ возникнуть не должно.

Программы, используемые для расчётов, написаны на Java и включают в свой алгоритм все необходимые формулы. Пользователь, загрузив сервис должен ввести условие задачи в специально предложенную формулу и нажать кнопку «Решение» или «Вычислить». После чего буквально через две три секунды появится ответ с поэтапным решением.

Такие сервисы будут полезны не только учащимся для проверки своих знаний, но и даже инженерам, проводящим сложные вычисления. Ведь самостоятельный расчёт требует повышенного внимания и скрупулёзности. При этом любая незначительная ошибка приведёт к неправильному ответу. В то же время появление ошибки при вычислении на онлайн-калькуляторе практически невозможно.

По мнению пользователей, из нескольких десятков существующих сайтов можно выделить тройку лидеров:

• Kontrolnaya-rabota.
• Umath.
• Allcalc.
• Nauchniestati.
• Allworks.

Приведённые онлайн-калькуляторы для десятичного логарифма имеют интуитивно понятный интерфейс. Используемые программы написаны российскими программистами и не содержат рекламного и вредоносного кода. Решив несколько задач с помощью этих порталов, пользователь научится самостоятельно вычислять любые логарифмические уравнения. То есть калькуляторы смогут не только подтянуть знания на нужный уровень, но и даже заменить репетитора по математике.