Дробно-рациональные неравенства - алгоритмы и примеры решения

Общие сведения

Дробно-рациональные неравенства — тождества, состоящие из числителя и знаменателя, которые представлены многочленами произвольной степени. Для их решения потребуются следующие знания:

1. Общие представления о неравенствах.
2. Понятие многочлена.
3. Формулы сокращенного умножения.
4. Определение диапазона при помощи метода интервалов.
5. Алгоритмы нахождения корней уравнений.
6. Работа с обыкновенными дробями.

Специалисты рекомендуют последовательно изучать каждый из пунктов, даже при условии, что тема является знакомой. Необходимо с самого начала пройти все необходимые темы, заполнив ими «пробелы». Начинать следует с общих понятий о неравенствах.

Неравенства и их классификация

Неравенство — это математическое выражение, состоящее из левой и правой частей, разделенных между собой символами логических операций, а именно: больше (>), меньше (<), больше или равно (>=) и меньше или равно (<=). Данные тождества классифицируются на 2 группы:

1. Рациональные.
2. Дробно-рациональные.

К первой группе относятся выражения, которые не содержат знаменателя с переменной. Если она присутствует, то оно относится ко второй. Примером является выражение вида: (t-4)/(t+4) > 0. Однако «(t-4)/4 > 0» относится к первой группе.

Неравенства также классифицируются по степеням. Их можно разделить на 4 вида:

1. Линейные.
2. Квадратичные.
3. Кубические.
4. Высших степеней.

Линейные имеют степень при переменной, равной единице, квадратные — двойке, кубические — тройке, а высшие формы — от четверки и выше. Кроме того, при решении неравенств нужно знать специальные обозначения и положения:

1. (t;s) — величина находится в интервале от t до s не включительно (круглые скобки с двух сторон).
2. [t;s] - значение переменной принадлежит интервалу от t до s включительно (квадратные скобки).
3. Скобки можно группировать.
4. U — объединение решений.
5. ∈ - символ принадлежности.
6. -inf и inf: бесконечное отрицательное и положительное числа соответственно.
7. Перед и после бесконечностей всегда идут только круглые скобки, а не квадратные.

Кроме того, неравенства можно разделить на строгие и нестрогие. Вторые отличаются от первых только добавлением знака равенства.

Примером простейшего строгого неравенства является выражение «t-4<0». Его решение записывается таким образом: t ∈ (-inf;4). Чтобы переделать его в нестрогое, нужно поменять знак «<" на «<=", т. е. t-4<=0. Его решением будет такой интервал: t ∈ (-inf;4].

Очень часто неравенства представляются в виде многочленов. Каждый ученик должен иметь общее представление об этом математическом объекте.

Понятие многочлена

Многочленом называется выражение, состоящее из нескольких математических операций и переменных. Примером тождества является 4t ² +5t+2 — квадратичный трехчлен. Он состоит из трех компонентов: 4t ² , 5t и 2. Многочлены классифицируются по степеням и количеству частей.

Кроме того, они бывают и простыми (линейными). Примером одного из них является выражение вида «3t+4». Для записи многочленов существует определенная формула: P (t)=A1t^n+A2t^(n-1)+…+An, где А1… Аn — коэффициенты, t — неизвестная и n — показатель степени при переменной.

Формулы сокращенного произведения

Формулы сокращенного умножения используются для упрощения различных математических выражений. Математики рекомендуют выписать наиболее используемые соотношения на отдельный лист бумаги и положить его перед глазами. Формулы выглядят таким образом:

1. Квадрат суммы: (t + v)^2 = t ² + 2tv + v ² .

   

2. Квадрат разности: (t — v)^2=t ² — 2tv + v ² .

3. Разность квадратов: t ² — v ² = (t — v)(t + v).

4. Куб суммы: (t + v)^3 = t ³ + 3t ² * v + 3tv ² + v ³ .

5. Куб разности: (t — v)^3 = t ³ — 3t ² * v + 3tv ² + v ³ .

6. Разность кубов: t ³ — v ³ = (t — v)(t ² + tv + v ² ).

Очень часто сокращенное умножение применяется при решении дробно-рациональных неравенств методом интервалов. Кроме того, их рекомендуется использовать при нахождении корней уравнений различных типов.

Метод интервалов

Метод интервалов основан на задании диапазона, на котором неравенство является истинным. Для нахождения решения нужно найти корни уравнения, а затем отметить их на числовой прямой. Однако это схематический способ. Его можно понять и при помощи логических отождествлений.

Для примера нужно решить строгое неравенство «3-t > 0». Необходимо обратить внимание на само математическое выражение. В нем следует заменить знак «>» на «=», а затем найти корень уравнения, т. е. t=3. После этого нужно отметить на числовой прямой точку «3». По условию (если перенести переменную в одну сторону, а известную — в другую) t<3.

Решение записывается в виде принадлежности переменной t такому интервалу, а именно: (-inf;3). Это означает, что неизвестная величина «t» может принимать значения от «минус бесконечности» до трех не включительно, поскольку тройка превращает неравенство в ложное тождество, т. е. 3−3<0 (нуль не может быть больше 0).

Однако не все неравенства имеют такой простой вид. Существуют и более сложные выражения. Чтобы уметь решать рациональные неравенства, необходимо разобрать уравнения, а также способы нахождения их корней.

Способы решения уравнений

Для решения уравнения необходимо выполнить операцию идентификации на основании классификации. Равенства с переменными можно разделить на 4 распространенных вида, а именно:

1. Простые (линейные).
2. Квадратные.
3. Кубические.
4. Высших степеней.

Первые являются наиболее простыми соотношениями. Они имеют вид: Qt+C=0, где t — неизвестная величина. Решать их нужно по такому алгоритму:

1. Написать уравнение: Qt+C=0.
2. Перенести переменные в одну, а константы — в другую сторону: Qt=-С.
3. Поделить правую часть на левую, записав ответ: t=-C/Q.

Следует отметить, что корни тождеств, представленных в виде квадратичной функции «Qt ² + Pt + C = 0», находятся по теореме Виета или через промежуточную величину. Последняя называется дискриминантом и обозначается литерой «D». Алгоритм решения уравнений выглядит таким образом:

1. Записать выражение: Qt ² + Pt + C = 0.

2. Проверить возможность целочисленного сокращения (если получается, то перейти в третий пункт. В противном случае — перейти к пятому шагу, пропуская последующие 3 и 4).

3. Сократить его на Q при условии, что коэффициенты не будут дробными величинами: t ² + P’t + C' = 0.

4. Найти корни по теореме Виета методом подбора, используя формулы: t1 + t2 = -P' и t1 * t2 = C'. Далее перейти в седьмой пункт.
5. Вычислить величину D по такой формуле: D = (-P)^2 — 4QC.
6. Найти значения переменной t, используя формулы такого вида: t1 = [-P — D^(½)]/(2Q) и t2 = [-P + D^(½)]/(2Q).
7. Выполнить проверку, подставив значения переменных в исходное выражение: Q (t1)^2 + P (t1) + C = 0 и Q (t2)^2 + P (t2) + C = 0.

Существуют неполные квадратные уравнения, т. е. у них может отсутствовать константа «С» или Pt. В этом случае их решение сводится к математическим преобразованиям с вынесением общего множителя за скобки.

Тождества с неизвестными в третьей и высших степенях решаются посредством понижения показателей до двойки или единицы. При этом можно применять замену, формулы сокращенного произведения, вынесение общего множителя и т. д.

Кроме того, уравнения любого типа могут объединяться в системы, т. е. иметь общие корни. Все переменные в них взаимосвязаны. На основании такой особенности можно выражать одну неизвестную через другую.

Для проверки результатов решения можно воспользоваться специальными сервисами. Они называются онлайн-калькуляторами.

Обыкновенные дроби

Обыкновенная дробь — число, состоящее из двух частей: числителя и знаменателя. Дробные выражения делятся на два вида: правильные и неправильные. У первых величина числителя меньше, чем значение знаменателя. У вторых — все наоборот.

Дроби обыкновенного вида обладают определенными свойствами. К ним относятся:

1. Отнимание величины, а затем ее прибавление к числителю или знаменателю, т. е. (Q+t-t)/W=Q/W.
2. Умножение (деление) числителя и знаменателя на равные величины: (Q*t)/(W*t)=Q/W.
3. Вынесение общего множителя в числителе и знаменателе, а затем сокращение на него: N[Q+M]/N[Q-M]=[Q+M]/[Q-M].
4. При возведении в квадрат или другую степень, отличную от нуля, величина дроби изменяется.

Последнее утверждение доказывается очень просто. Для этого необходимо взять произвольное дробное выражение «2/5». Далее возвести в квадрат обе его части, т. е. 4/25. Затем необходимо сравнить величины, конвертировав их в десятичные дроби, т. е. 2/5=0,4 и 4/25=0,16.

Из результатов вычислений видно, что величины отличаются между собой. На основании этого можно сделать вывод о правдивости четвертого утверждения. Далее необходимо перейти к методике решения неравенств.

Методика вычислений

Алгоритм решения дробно-рациональных выражений со знаками неравенства очень прост. Он имеет вид:

1. Записать неравенство: [(t — 2)^2] / [t ² — 4]>0.

2. Рассмотреть знаменатель: [t ² — 4]. Воспользоваться формулой сокращенного произведения: (t-2)(t+2).

3. Найти корни уравнения, превращающие его в нулевое значение: t1=-2 и t2=2.
4. Разобрать числитель: (t — 2)^2>0.
5. Диапазон, который может принимать переменная: t ∈ (-inf;2) U (2;inf).

Величина «t» может принимать любые значения, кроме двойки, которая превращает неравенство в ложное. Такой широкий диапазон связан со свойствами выражения, возведенного во вторую степень (отрицательное и положительное число в квадрате является положительным).

Таким образом, решение дробно-рациональных выражений в виде неравенств выполняется по определенной методике. Однако для ее применения нужно «обновить» знания в области таких направлений: метод интервалов, работа с обыкновенными дробями и вычисления корней уравнений.