Содержание:

Формулы

Первые упоминания о ФСУ мы встречаем во времена древнегреческих математиков. Так, тождества встречаются в работах Евклида, известного автора работ, посвященных геометрии. В его “Началах" есть практическое обоснование и доказательство одного из тождеств ФСУ. Вот так выглядят все ФСУ:
  1. a2 - b2 = (a + b)(a - b)
  2. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
  3. (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
  4. a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
  5. a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
  6. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
  7. (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Рассмотрим несколько примеров:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Важно! Будьте внимательны при запоминании формул. Рекомендуется выучить всю таблицу наизусть.
Первая формула Возьмем сначала первую формулу. Что такое (a + b)2 ? Это выражение (а+b), умноженное само на себя:

(а+b)(а+b)

Дальше весь вывод состоит, фактически, в простом раскрытии скобок:

(а + b)(а + b)= a2 + аb + аb + b2

Важно! Надо обратить внимание на то, что при раскрытии скобок мы перемножаем b на а (два раза), но записываем и в первом, и во втором случае как аb, так как от перемены мест множителей произведение не меняется.
Приглядевшись к тому , что у нас получилось, мы заметим, что аb встречается два раза. Теперь осуществим задачу, которая называется приведением подобных членов. Напомним, что подобные члены - это переменные, которые встречаются в одном и том же выражении несколько раз:

a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2

Первая формула выведена. Теперь вторая:

(a - b)2=(a - b)(a - b)

Также, как и в первый раз, мы раскрываем скобки:

(a - b)(a - b)=a2 - ab - ab + b2=a2 - 2ab + b2

Запомнить очень просто, как оказывается на практике. При раскрытии скобок видно, что отличие первой от второй формулы в одном знаке, перед 2аb:

(a + b)(a - b)=a2 + ab - ab - b2=a2 - b2

Выражения ab и -ab сокращаются и остается тождество, которое у нас получилось. По такому же принципу решаются и формулы для кубов.

Использование ФСУ

А сейчас, используя ФСУ (простейшие из них), мы выведем несколько широко известных и довольно часто применяемых неравенств:

a2 + b2 ≥ 2ab

Это неравенство получается из формулы (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Так как квадрат любого выражения НЕ может быть меньше нуля, то это выражение должно быть больше или равно 0:

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 ≥ 0

В неравенствах, как и в уравнениях мы можем прибавить к их обеим частям одно и то же число, и неравенство от этого не потеряет свой смысл. Например, если к верному неравенству 5 больше 3 прибавить число 10, то 5 больше или равно 3 превратится в 15 больше или равно 13, то есть останется верным. Так и в случае нашего доказательства можно прибавить к обеим частям 2аb, другими словами, перенести 2аb из левой части в правую с переменой знака. В левой части 2аb исчезнет, останется a2 + b2, в правой - к нулю прибавится 2аb и останется неравенство a2 + b2 ≥ 2ab При кажущейся простоте и очевидности вывода это неравенство широко известно и очень часто используется. А сейчас выведем еще одно неравенство, которое является прямым следствием предыдущего:

a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc

Это можно доказать следующим способом:

a2 + b2 ≥ 2ab

a2 + c2 ≥ 2ac

b2 + c2 ≥ 2bc

Сложение

Эти три неравенства мы можем сложить. Если сложить между собой левую и правую часть неравенства, то знак между ними останется прежним:

a2 + b2 ≥ 2ab

a2 + c2 ≥ 2ac

b2 + c2 ≥ 2bc

2a2 + 2b2 + 2c2 ≥ 2ab + 2ac + 2bc

Сокращение

Также мы имеем право сокращать неравенства, то есть делить обе его части на одно и то же положительное число, от этого оно не перестает быть справедливым:

a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc

В нашем неравенстве сокращается число 2, и остается неравенство, которое требовалось доказать.

Вывод новых алгебраических соотношений

Есть также еще одно, менее известное. Его нам кажется уместным здесь упомянуть как образец применения ФСУ для вывода новых алгебраических соотношений, а именно

a + b ≥ 1 ⇒ a4 + b4 ≥ 1/8

Довольно неочевидное следствие, особенно для неподготовленного человека. Возведем в квадрат обе части неравенства (при положительных значениях обеих частей мы имеем право это делать):

a2 + 2ab + b2 ≥ 1

a2 - 2ab + b2 ≥ 0

Складываем эти два неравенства почленно:

2a2 + 2b2 ≥ 1

И разделим обе части на 2:

a2+b2 ≥ 1/2

Возведем обе части в квадрат:

a4 + 2a2b2 + b4 ≥ 1/4

a4 - 2a2b2 + b4 ≥ 0

2a4 + 2b4 ≥ 1/4

Разделим обе части на 2 и получаем искомое неравенство:

a4 + b4 ≥ 1/8

ФСУ и бином Ньютона

Формула квадрата разности является частным случаем формулы бинома Ньютона. Исходная ситуация, в которой нам приходится применять бином Ньютона, и собственно формула, которая позволяет нам раскрывать n-ное количество скобок. То есть, в общем случае:

(а+b)n

Эта формула дает нам ответ на вопрос, чему равно произведение n-ного количества скобок (n - натуральная степень). Владея этим аппаратом, вы можете расписать выражение в виде некоторого количества слагаемых, которое получается в результате перемножения скобок такого типа n раз на себя.

Примеры решения

Теперь приведем несколько примеров на использование формул сокращенного умножения:
Итак, в этой статье мы ознакомились с историей формул сокращенного умножения, их применением, вывели основные тождества ФСУ. Этот важный аспект алгебры играет важную роль в преобразовании выражений, да и попросту экономит ваше время. Как запомнить все формулы и правильно применять другие варианты ФСУ на практике, смотрите в этом видео. >