Геометрическая прогрессия - определение, формулы и примеры с решениями
Тема “Геометрическая прогрессия” (ГП) изучается в самом начале 9 класса. Задания же на данную тематику могут встретиться как в ОГЭ, так и в ЕГЭ. Однако в школьной программе совершенно не предусмотрено повторение изученного теме после 9 класса. Из-за этого, школьники, не понявшие материал в 9 классе, могут не знать тему до самого ЕГЭ. Однако на самом деле, материал крайне прост в изучении, и сейчас мы это докажем.
Содержание:
Определение геометрической прогрессии
Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, в которой каждое последующая цифра, больше предыдущей в какое-то фиксированное количество раз. Так, конечная формула выглядит следующим образом:bn = b1 x qn-1
Важно сразу запомнить, что любая последовательность бесконечна, и для того, чтобы разобраться в теме, в первую очередь необходимо определиться с тем, что значит каждая из переменных:- b1- это самое первая цифра в ряду.
- n - это порядковый номер числа, которое нужно необходимо найти. Важно, что “n” может быть только натуральное число, то есть любое, кроме нуля.
- q - это знаменатель ГП, он является как раз показателем того, во сколько каждое предыдущее число меньше последующего.
b3 = 5 x 33-1
В данном случае “n” будет равен 3, так как в задании необходимо найти третий член. Как первое число b(1) мы взяли пять. Далее достаточно просто решить простейшее уравнение:b3 = 5 x 33-1
b3 = 5 x 33
b3 = 5 x 9
b3 = 45
В конечном итоге мы узнали, что третьим членом будет являться число 45. Сделать это проще в одной из специализированных программ по типу Microsoft Excel (табл.1).Таблица 1. Данные геометрической прогрессии

Сумма первых n членов прогрессии
Научившись находить n-ый член, можно переходить к изучению свойств суммы некоторого количества элементов. Суммой ГП называют сумму некоторого количества его первых цифр.S(b6) означает b1 + b2 + b3 + b4 + b5 + b6
Конечно, можно отдельно найти каждый член последовательного ряда ГП, и потом в столбик сложить полученные значения. Но гораздо проще будет сделать это с помощью специальной формулы. Всего существует 2 способа нахождения суммы. Первая формула нужна для вычисления суммы, зная первый член:\[ Sn= \frac{b_{-1}x(1-q^n)}{1-q} \]
Однако чаще в школьном курсе математики можно встретить формулу нахождения суммы по любому n-ому члену:\[ Sn= \frac{b_{n}xq-b_{1}}{q-1} \]
Чтобы проверить, работает ли способ, можно подставить значения из прошлой задачи. Тогда, соответственно, получится:\[ S_{3}=\frac{45x3-5}{3-1} \]
\[ S_{3}=\frac{130}{2} \]
\[ S_{3}=65 \]
Суммой первых 3 членов ГП будет равняться число 65. Чтобы проверить правильность вычислений, можно отдельно сложить b1, b2, b3. Получаем:\[ 5+15+45=65=\frac{45x3-5}{3-1} \]
Таким же образом можно испытать и обосновать формулу нахождения суммы по первому члену в числовом ряду.Нахождение первого члена
Исходя из формулы нахождения n-ого числа, можно легко вывести способ вычисления первого числа:b1 из bn=b1 x qn-1
Для нахождения первого члена необходимо использовать уравнение:\[ b_{1}=\frac{b_{n}}{q} \]
Используя все те же цифры, можно снова проверить, работает ли данный способ решения:\[ b_{1}=\frac{45}{3^3} \]
\[ b_{1}=\frac{45}{9} \]
\[ b_{1}=5 \]
Так как ответы сходятся, можно сделать вывод, что уравнение является рабочим.Убывающие прогрессии
Помимо возрастающих прогрессий, существуют и убывающие. Убывающей называют такую ГП, у которой q<1.Важно! Знаменатель ГП может быть и отрицательным числом, однако это не применяется на практике.Существует 2 простых варианта выяснить, как отличить и посчитать убывающую ГП. Во-первых заметить это можно, если начертить прогрессию на координатной плоскости (рис.1). Убывающая - должна изображаться линией, направленной в правый нижний угол.

Важно! Убывающий числовой ряд при написании отличаются лишь переменной q. В случае убывающей прогрессии важным условием является то, что “q” всегда будет отрицательной.Решив несколько шаблонных заданий, можно полностью изучить рассмотренную в статье тему. Материал является крайне простым для изучений, а те несколько баллов, которые вы получаете на правильном решении задачи, связанной с этой темой, возможно, помогут вам при поступлении в университет. В предложенном ниже видео смотрите еще больше примеров решения задач по формулам ГП.
Еще тесты
- Анатомия
- Английский язык
- Астрономия
- Биология
- Литература
- История
- Педсовет
- Естествознание
- Финансы и кредит
- Правоведение
- Товароведение
- Экономика
- Социология
- Маркетинг
- Обществознание
- Культурология
- Математика
- Философия
- Русский язык
- Психология
- Политология
- Делопроизводство
- Бухгалтерия
- ОБЖ
- Орфография
- География
- Биографии
- Физика
- Пунктуация
- Краткие содержания
- Химия
- Менеджмент
- Тест на тему Тест по теме Дыхательная система человека 7 вопросов
- Тест на тему Строение человека - анатомия внутренних органов 7 вопросов
- Тест на тему Гормоны - определение, виды, функции, роль в организме человека 5 вопросов
- Тест на тему Лейкоциты в крови - строение, где образуются и разрушаются, норма содержания 5 вопросов
- Тест на тему Одноклеточные организмы - строение , формы и признаки представителей 8 вопросов
- Тест на тему Бесполое размножение - виды, формы и биологическое значение процесса 9 вопросов
- Тест на тему Синтез АТФ - структура, функции и пути образования аденозинтрифосфорной кислоты 7 вопросов
- Тест на тему Биогеоценоз - определение, структура и свойства 5 вопросов
- Тест на тему Символизм в литературе - основные черты и представители направления 6 вопросов
- Тест на тему "У Лукоморья дуб зеленый" - анализ стихотворения Александра Сергеевича Пушкина 8 вопросов
- Тест на тему Родион Раскольников и Соня Мармеладова - история взаимоотношений в романе Ф. М. Достоевского "Преступление и наказание" 6 вопросов
- Тест на тему Семья Мелеховых в романе М. Шолохова "Тихий дон" 7 вопросов
- Тест на тему Отечественная война 1812 года - причины, основные сражения, итоги 7 вопросов
- Тест на тему Правление Ивана Грозного - внутренняя и внешняя политика 7 вопросов
- Тест на тему Образование СССР - причины, этапы становления, состав, итоги 6 вопросов
- Тест на тему Крещение руси князем Владимиром - причины, история, значение принятия христианства 6 вопросов
- Тест на тему Пищевая цепочка в природе - звенья, схемы и примеры цепей 5 вопросов
- Тест на тему Экологические факторы - классификация, примеры, общие закономерности воздействия 5 вопросов
- Тест на тему Биосфера - определение, состав, свойства, границы 5 вопросов
- Тест на тему Возникновение жизни на земле 6 вопросов
- Тест на тему Права и свободы человека и гражданина 5 вопросов
- Тест на тему Унитарное предприятие - виды, признаки, участники, особенности 7 вопросов
- Тест на тему Формы собственности - типы и виды и их характеристика 7 вопросов
- Тест на тему Предпринимательское право - понятие, принципы, предмет и объект, функции 5 вопросов
- Тест на тему Ликвидность предприятия - определение, виды, формула расчета 7 вопросов
- Тест на тему Процентная ставка - понятие, виды, методы расчета и начисления 5 вопросов
- Тест на тему Финансы - определние, сущность, основные функции, виды 7 вопросов
- Тест на тему Коммерческая деятельность - сущность и содержание 7 вопросов
- Тест на тему Статистическое наблюдение - виды, способы, последовательность этапов 6 вопросов
- Тест на тему Социальный контроль - понятие и функции, формы и методы, значение 5 вопросов
- Тест на тему Анкетирование - правила составления и виды вопросов, оформление результатов 5 вопросов
- Тест на тему Социальная группа — понятие, типы, критерии выделения 8 вопросов
- Тест на тему Деятельность человека - основные виды и характеристики 7 вопросов
- Тест на тему Воздушно-десантные войска (ВДВ) - история создания, подразделения, оснащение 7 вопросов
- Тест на тему Субъекты РФ - количество, виды, правовой статус 7 вопросов
- Тест на тему Социальные нормы - понятие, виды и характеристка, функции, примеры 6 вопросов
- Тест на тему Что такое угол 5 вопросов
- Тест на тему Деление в столбик — подробное описание алгоритма решения задач, примеры 10 вопросов
- Тест на тему Вычитание дробей - правила и примеры с решениями 5 вопросов
- Тест на тему Модуль числа - свойства, действия, как решать уравнения и неравенства с модулем 10 вопросов
- Тест на тему Ислам - история возникновения религии, основные положения 7 вопросов
- Тест на тему Мышление - определение, виды, функции, свойства 5 вопросов
- Тест на тему Что такое мораль, ее категории и функции 6 вопросов
- Тест на тему Буддизм - кратко о религии (история возникновения, основные положения, священные книги) 6 вопросов
- Тест на тему Безличные предложения в русском языке 8 вопросов
- Тест на тему Ударение в словах в русском языке - правила и проверка постановки 5 вопросов
- Тест на тему Морфемный разбор слова - правила выполнения с примерами 5 вопросов
- Тест на тему Сложноподчиненные предложения в русском языке 6 вопросов
- Тест на тему Мотивация - определение, виды и типы в психологии, менеджменте 5 вопросов
- Тест на тему Интеллект - понятие, признаки, как развивать, оценка 5 вопросов
- Тест на тему Социализация личности - понятие и сущность, агенты, примеры 5 вопросов
- Тест на тему Типы темперамента и их психологическая характеристика 5 вопросов
- Тест на тему Органы исполнительной власти РФ - понятие и правовой статус, структура и фунции 7 вопросов
- Тест на тему Европейский союз - история создания, цели, состав 5 вопросов
- Тест на тему Тоталитаризм - определение, характерные черты, плюсы и минусы идеологии 5 вопросов
- Тест на тему Политическая идеология - определение понятия, функции, классификация, особенности 5 вопросов
- Тест на тему Оборотные средства предприятия, их структура, учет и анализ 7 вопросов
- Тест на тему Бюджетная классификация - определение, структура 7 вопросов
- Тест на тему Калькуляция - основные понятия, примеры расчетов себестоимости 7 вопросов
- Тест на тему Бухгалтерский учет материально-производственных запасов на предприятии 8 вопросов
- Тест на тему Пистолет Макарова - шпаргалка по тактико-техническим характеристикам 9 вопросов
- Тест на тему Чрезвычайная ситуация - понятие, типы ЧС, причины возникновения, стадии развития 7 вопросов
- Тест на тему Вооруженные силы Российской Федерации — организационная структура и предназначение 7 вопросов
- Тест на тему ВМФ (Военно-Морской флот) России - структура, история, состав 7 вопросов
- Тест на тему Перу - географическое положение, климат и достопримечательности 9 вопросов
- Тест на тему Климатические пояса Земли - характеристика и особенности 8 вопросов
- Тест на тему Тайга - географическое положение, животный и растительный мир, особенности и характеристика природной зоны 7 вопросов
- Тест на тему Озеро - определение, классификация, признаки 6 вопросов
- Тест на тему Братья Гримм - биография, жизнь и творчество немецких писателей 10 вопросов
- Тест на тему Тамерлан (1336-1405) - биография, жизнь и завоевания великого полководца 10 вопросов
- Тест на тему Максим Горький (1868-1936) - биография, кратко самое важное, интересные факты из жизни писателя 9 вопросов
- Тест на тему Блок Александр Александрович (1880-1921) - биография, жизненный и творческий путь 11 вопросов
- Тест на тему "Ночь перед Рождеством" - краткое содержание повести Н. В. Гоголя 10 вопросов
- Тест на тему "Маленький Мук" - краткое содержание сказки Вильгельма Гауфа 10 вопросов
- Тест на тему "Дворянское гнездо" - краткое содержание романа И.С. Тургенева 8 вопросов
- Тест на тему "Бирюк" - краткое содержание рассказа И.С. Тургенева 10 вопросов
- Тест на тему Серная кислота - химические и физические свойства и реакции 8 вопросов
- Тест на тему Муравьиная кислота - формула, свойства, получение и применение 7 вопросов
- Тест на тему Сложные эфиры - характеристика, классификация и примеры соединений 8 вопросов
- Тест на тему Толуол - формула, свойства и применение химического вещества 8 вопросов
- Тест на тему Оценка персонала - виды, критерии и методы 7 вопросов
- Тест на тему Управление персоналом - задачи, функции, современные подходы 5 вопросов
- Тест на тему Менеджмент предприятий — сущность, виды, задачи и цели 7 вопросов
- Тест на тему Организационная структура предприятия — типы и предназначение 7 вопросов