Содержание:

Определение геометрической прогрессии

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, в которой каждое последующая цифра, больше предыдущей в какое-то фиксированное количество раз. Так, конечная формула выглядит следующим образом:

bn = b1 x qn-1

Важно сразу запомнить, что любая последовательность бесконечна, и для того, чтобы разобраться в теме, в первую очередь необходимо определиться с тем, что значит каждая из переменных:
  • b1- это самое первая цифра в ряду.
  • n - это порядковый номер числа, которое нужно необходимо найти. Важно, что “n” может быть только натуральное число, то есть любое, кроме нуля.
  • q - это знаменатель ГП, он является как раз показателем того, во сколько каждое предыдущее число меньше последующего.
Для лучшего понимания можно разобрать самый банальный пример:

b3 = 5 x 33-1

В данном случае “n” будет равен 3, так как в задании необходимо найти третий член. Как первое число b(1) мы взяли пять. Далее достаточно просто решить простейшее уравнение:

b3 = 5 x 33-1

b3 = 5 x 33

b3 = 5 x 9

b3 = 45

В конечном итоге мы узнали, что третьим членом будет являться число 45. Сделать это проще в одной из специализированных программ по типу Microsoft Excel (табл.1).

Таблица 1. Данные геометрической прогрессии

Сумма первых n членов прогрессии

Научившись находить n-ый член, можно переходить к изучению свойств суммы некоторого количества элементов. Суммой ГП называют сумму некоторого количества его первых цифр.

S(b6) означает b1 + b2 + b3 + b4 + b5 + b6

Конечно, можно отдельно найти каждый член последовательного ряда ГП, и потом в столбик сложить полученные значения. Но гораздо проще будет сделать это с помощью специальной формулы. Всего существует 2 способа нахождения суммы. Первая формула нужна для вычисления суммы, зная первый член:

\[ Sn= \frac{b_{-1}x(1-q^n)}{1-q} \]

Однако чаще в школьном курсе математики можно встретить формулу нахождения суммы по любому n-ому члену:

\[ Sn= \frac{b_{n}xq-b_{1}}{q-1} \]

Чтобы проверить, работает ли способ, можно подставить значения из прошлой задачи. Тогда, соответственно, получится:

\[ S_{3}=\frac{45x3-5}{3-1} \]

\[ S_{3}=\frac{130}{2} \]

\[ S_{3}=65 \]

Суммой первых 3 членов ГП будет равняться число 65. Чтобы проверить правильность вычислений, можно отдельно сложить b1, b2, b3. Получаем:

\[ 5+15+45=65=\frac{45x3-5}{3-1} \]

Таким же образом можно испытать и обосновать формулу нахождения суммы по первому члену в числовом ряду.

Нахождение первого члена

Исходя из формулы нахождения n-ого числа, можно легко вывести способ вычисления первого числа:

b1 из bn=b1 x qn-1

Для нахождения первого члена необходимо использовать уравнение:

\[ b_{1}=\frac{b_{n}}{q} \]

Используя все те же цифры, можно снова проверить, работает ли данный способ решения:

\[ b_{1}=\frac{45}{3^3} \]

\[ b_{1}=\frac{45}{9} \]

\[ b_{1}=5 \]

Так как ответы сходятся, можно сделать вывод, что уравнение является рабочим.

Убывающие прогрессии

Помимо возрастающих прогрессий, существуют и убывающие. Убывающей называют такую ГП, у которой q<1.
Важно! Знаменатель ГП может быть и отрицательным числом, однако это не применяется на практике.
Существует 2 простых варианта выяснить, как отличить и посчитать убывающую ГП. Во-первых заметить это можно, если начертить прогрессию на координатной плоскости (рис.1). Убывающая - должна изображаться линией, направленной в правый нижний угол.
Рис. 1. График убывающей прогрессии
Рис. 1. График убывающей прогрессии
Также можно составить таблицу характеристик, по которой будет заметно, что каждое последующее значения “x” будет меньше предыдущего.
Важно! Убывающий числовой ряд при написании отличаются лишь переменной q. В случае убывающей прогрессии важным условием является то, что “q” всегда будет отрицательной.
Решив несколько шаблонных заданий, можно полностью изучить рассмотренную в статье тему. Материал является крайне простым для изучений, а те несколько баллов, которые вы получаете на правильном решении задачи, связанной с этой темой, возможно, помогут вам при поступлении в университет. В предложенном ниже видео смотрите еще больше примеров решения задач по формулам ГП.