Многогранники - виды, свойства и формулы

Основные понятия

Определение многогранника включает в себя такое понятие, как геометрическое тело, созданное из плоских многоугольников. Их число конечное. От формы каждого из них напрямую зависят свойства итоговой фигуры. Их делят на 2 типа:

1. Выпуклые. Располагаются над плоскостью, которую можно провести через любой многоугольник, являющийся частью геометрического тела. В них все диагонали лежат внутри. Также тут все плоские углы в сумме дают 360 градусов.
2. Невыпуклые. Полностью или частично располагается над и под плоскостью, проведенной через выбранный многоугольник. Здесь некоторые диагонали могут располагаться снаружи.

Поскольку многогранники рассматриваются в трехмерном евклидовом пространстве, они относятся к стереометрии. А их многоугольники лежат в двумерной плоскости, что относится к планиметрии. Поэтому основные свойства и понятия формируются, включая в себя обе эти науки.

Параметры фигуры

Независимо от вида, классификации и типа , каждый многогранник имеет определенные параметры. Все они являются одинаковыми для разных фигур. К ним относятся:

• Грани. Это многоугольники, которые формируют основную фигуру;
• Ребра . Это стороны плоских геометрических тел, каждая из которых является смежной между двумя многоугольниками. В противном случае многогранник не существует, т. к. не имеет замкнутую форму;
• Вершины. Характеристика определяется числом граней. Чем их больше, тем, соответственно, больше вершин;
• Диагонали. Секущие линии, конечными точками которых являются 2 вершины, каждая из них относится к разным граням;
• Высоты. Это перпендикуляры, проведенные от одного основания к другому (в случае с призмой — от основания к вершине).

В случае с многогранниками часто используется такое понятие, как развертка . Ее обозначение включает в себя совокупность многоугольников, а также указание сторон и вершин. Чаще всего применяется в случае, когда необходимо составить модель из бумаги или иного подручного материала. Каждый элемент может быть отдельным, равно как следовать один за другим.

Для многогранников применяется теорема Эйлера. В ней участвует количество вершин (V), ребер ® и граней (G). Формула следующая : V — R + G = 2. Указанное равенство не рассматривается ни с какими другими геометрическими телами , даже если они лежат в трехмерном евклидовом пространстве.

Правильные многогранники

Правильные многогранники — фигуры, грани которых представляют собой многоугольники с равными углами и сторонами. Также они называются Платоновыми телами. Всего существует 5 соответствующих тел, подробные характеристики которых представлены в таблице.

Правильные многогранники изучались древними греками. Однако первые модели в орнаменте и по отдельности появились намного раньше. Например, археологами были найдены вырезанные каменные шары в Шотландии, которые датируются поздним неолитом (соответственно, за 1000 лет до жизни и деятельности Платона).

Призма и ее особенности

Призма — один из видов многогранников, включающий в себя многоугольники, расположенные в разных плоскостях. Но соединить их можно посредством параллельного переноса. У фигуры имеется основание и боковые ребра . Характерные особенности геометрического тела:

• Основания полностью идентичны друг другу, несмотря на то, что лежат в разных плоскостях;
• Основания параллельны друг другу;
• Боковые ребра равны и параллельны;
• Поверхность фигуры определяется суммой оснований и боковых граней (которых может быть неограниченное количество);
• Высота призмы определяется проведением перпендикулярной прямой из любого основания к другому;
• Площадь поверхности: S=Sбоковая + 2Sоснований;
• Объем призмы: V=S*h, где S — площадь основания, а h — высоты фигуры;
• Если основанием призмы является N -угольник, фигура считается N -угольной.

Геометрическое тело называют прямым, если каждое ребро лежит перпендикулярно основанию. Также они становятся высотами. Когда грани идентичны, многоугольник считается правильным, и его диагональное сечение образует параллелограмм.

Характеристики параллелепипеда

Параллелепипед — многогранник, основанием и гранями которого является параллелограмм. Фигура характеризуется как неправильная. Основные характеристики:

• Все грани, расположенные напротив , являются равными и параллельными;
• Если отсутствуют общие вершины, они называются противолежащими;
• Диагональ соединяет 2 вершины фигуры, расположенные в разных гранях;
• Все диагонали параллелепипеда имеют одно пересечение, точка которого делит их на 2 равные части;
• Пересечение диагоналей представляет собой центр симметрии.

Когда все грани параллелограмма являются прямоугольными, фигура характеризуется, как прямоугольная. Длина каждого ребра считается линейным размером. У такой фигуры есть три измерения. При этом справедлива формула d² = a² + b² + c². При расчетах руководствуются и другими. Для объема : V = abc, для площади многогранника: S=2·(ab+ bc +ac).

Пирамида и ее величины

Пирамида представляет собой многогранник и многоугольник. Особенности фигуры:

• Боковая поверхность равна сумме площадей граней;
• Высота — перпендикуляр от основания к вершине;
• Когда N — количество углов основания, пирамида называется N -угольной;
• Формула объема многогранника: V = 1/3·S·h;
• Формула площади всей поверхности: Sп = Sбоковых граней + Sоснования;
• Все сечения, включая диагональные, являются треугольниками.

Если пирамиду разделяет плоскость, параллельная нижней, она делит ее на две части. Причем верхняя пропорционально равна главной фигуре. Когда основанием является квадрат, геометрическое тело называется правильным. Гранями ее считаются равнобедренные треугольники.

Существует также такое понятие, как усеченная пирамида. Она получается только из правильной фигуры, если провести плоскость на противоположную от основания сторону, и убрать верхнюю часть. У данного тела отсутствует вершина, поскольку фактически она является квадратом , а не единичной точкой. Это не единственное отличие. К примеру, формулы, справедливые для классического формата, в данном случае неприемлемы.