Перпендикулярность плоскостей - определение, признаки и свойства

Поэтому так важно не только знать теоремы, но и уметь доказывать утверждение о расположении поверхностей в пространстве.
Общие сведения
Пожалуй, одним из главных понятий в математике является плоскость. Различные вычисления геометрических параметров связаны с ней. Согласно определению, плоскость не имеет ограничений. То есть это бесконечная поверхность, состоящая из множества точек. Все линии, проходящие через две и более точки, считаются принадлежащими ей. Поэтому в какой-то мере плоскость можно назвать геометрической фигурой.
Любую поверхность можно описать с помощью уравнения первой степени: Ax + By + Cz + D = 0. Латинскими буквами обозначают постоянные коэффициенты, которые не могут одновременно равняться нулю. В произвольном пространстве может находиться множество различных плоскостей. Они могут принимать три положения относительно друг друга:

- быть параллельными — не иметь одинаковых точек;
- совпадать — если координаты хотя бы трёх их точек совпадают;
- пересекаться по прямой — это поверхности, располагающиеся по отношению друг к другу под различным углом.
При этом если в базисе имеется прямая, то через неё может проходить неограниченное число незамкнутых поверхностей. Грани, не имеющие ограничений, обозначают на чертежах маленькими греческими буквами. Изображают их в виде произвольного размера параллелограмма или имеющей любую форму замкнутой линии, образующей область. Рассмотрение плоскости построено на изучении расположения точек и линий. Принадлежащие плоскости геометрические элементы записывают через символ «Є". Например, если вектор AB принадлежит поверхности γ, то математически это записывают так: AB Є γ.
Расстояние от точки до плоскости является наименьшей длиной между ней и элементами поверхности.
Определяется оно через перпендикуляр, опущенный из этой точки на плоскость. Прямая же может как лежать на поверхности, так и пересекать её. В первом случае геометрические объекты будут иметь как минимум две общие точки, а во втором — только одну. При рассмотрении темы особое значение имеет ненулевой вектор, располагающийся на линии, перпендикулярной этой поверхности. Такой отрезок также можно принять за направляющий вектор прямой, поэтому его называют нормальным вектором плоскости.
Аксиомы и теоремы
Вся теория изучения признаков, построения и свойств перпендикулярных плоскостей строится на различии положений линий и точек в пространстве. Занимается этим стереометрия. В науке есть пять основных теорем и аксиом, являющихся базисными для всего курса:

- В любом пространстве находится плоскость, в которой выполняются без исключения аксиомы планиметрии.
- Если взять произвольные три точки, не принадлежащие одной прямой линии, то через них может быть пропущена плоскость и только одна.
- По отношению к любой рассматриваемой плоскости существуют точки и прямые как принадлежащие ей, так и нет.
- Если через две точки, лежащие в плоскости, можно провести прямую, то можно утверждать, что она также будет принадлежать этой поверхности.
- Если две поверхности имеют общую точку, то местом их пересечения будет общая прямая.
Из последнего утверждения следует, что две пересекающиеся поверхности называются перпендикулярными в том случае, когда третья поверхность перпендикулярная прямой пересечения и проходит через них по перпендикулярным прямым. При построении таких плоскостей образуются две полуплоскости. Их общая граница формирует четыре двухгранных угла с общим ребром.

Двугранный угол измеряется своим линейным параметром. Для этого на ребре можно выбрать произвольную точку и провести через неё два к нему перпендикуляра. Получится четыре линейных угла: φ, 1800 — φ, φ, 1800 — φ. Углом между плоскостями называется наименьшим из указанных углов. Так как ∠ φ меньше либо равняется 180 градусам, то угол между поверхностями лежит в пределах от нуля до 90 градусов. Отсюда следует, что плоскости называются взаимно перпендикулярными, когда угол между ними составляет 90 градусов.
Это означает, что если на ребре L взять точку M и провести перпендикуляр к плоскости альфа и бета, то получится линейный угол ABM. Если его измерить или посчитать и он будет равняться 900, то можно утверждать, что пересекающиеся поверхности перпендикулярны.
Если начертить эту конструкцию в пространстве, то можно увидеть, что прямая L перпендикулярна стороне b, а она, в свою очередь, грани a. Иными словами, прямая b составляет с двумя пересекающими линиями, расположенными на плоскости альфа, угол 90 градусов. А это означает, что она перпендикулярна альфе. Аналогично можно сказать и про поверхность бета.
Признак перпендикулярности
Две плоскости являются перпендикулярными друг другу, если одна из них пересекает прямую, расположенную под ∠ 90 градусов к другой грани. Для наглядности доказательства признака нужно начертить рисунок. На нём изобразить две области — альфа и бета, перпендикулярно пересекающие друг друга.
Будем считать, что прямая, принадлежащая альфа, перпендикулярна бета. За начало этой линии можно принять точку B, а место, в котором грани проникают одна в другую, отрезок С. А также на полуплоскости бета нужно изобразить линию, берущую начало в точке D и пересекающуюся с прямой, относящейся к альфе в точке A. Отрезок BA лежит на полуплоскости альфа, то есть она проходит через перпендикуляр другой поверхности.

Доказать признак — значит, построить линейный угол и показать, что он не наклонный, а равняется строго 90 градусам. Можно констатировать, что противоположные бока поверхностей пересекаются по некой прямой AC: α n β = AC. Далее, отрезок AB перпендикулярен АС. Это можно утверждать исходя из того, что AB ┴ β .
Для построения линейного угла необходимо из некой точки построить два перпендикуляра к ребру. Посмотрев на рисунок, можно увидеть, что они уже проведены. Это отрезки, лежащие на полуплоскостях AB и AD. То есть на чертеже уже имеется линейный угол BAD, разворот которого равняется 900.
Прямая AB перпендикулярна к поверхности бета, а значит, она будет иметь прямой угол с любой линией или точкой, принадлежащей β. При этом отрезок AD не является исключением.
Отсюда следует, что линейный угол будет равняться 900, а значит, плоскости обладают взаимной перпендикулярностью. Это и нужно было доказать.
Следствие из критерия
Из доказанного признака вытекает важное следствие, которое и используется при решениях задач. Оно гласит, что плоскость, перпендикулярная к прямой, через которую проходят две рассматриваемые поверхности, будет составлять с каждой из них прямой угол.
Доказательство следствия удобно выполнять с помощью рисунка. Пусть имеется грань альфа и бета, которые пересекаются по прямой L.

Тогда будет существовать некая поверхность гамма, перпендикулярная этой линии. Нужно доказать, что гамма составляет прямой угол как с альфой, так и с бетой.
Если прямая перпендикулярна к поверхности, это означает то, что они имеют единственную общую точку. Пусть на чертеже она будет обозначена M. По условию L с плоскостью гамма составляет прямой угол. Причём L лежит на грани альфа. Отсюда следует, что альфа будет пересекать прямую, перпендикулярную к другой плоскости. А это значит, что они взаимно перпендикулярные: α ┴ γ.
Учитывая, что линия L принадлежит также и β, верно будет сказать, что плоскость бета проходит через ось, перпендикулярную к грани гамма. Значит, угол между бетой и гаммой составляет девяносто градусов. Следствие доказано.
Правило линейного угла
Эта закономерность позволяет сформулировать правило для линейного угла. Когда имеется фигура, состоящая из двух полуплоскостей и берущая начало из отрезка вместе с определённой областью пространства, при этом части плоскости ограничивают геометрическое тело, то она называется двугранным углом. Если угол находится между двумя перпендикулярами к ребру этой фигуры, построенными из её боковых поверхностей и одной точки ребра, то его называют линейным.
Плоскость же такого угла будет перпендикулярна любым элементам соответствующей ему фигуре, то есть ребру и граням. Пусть имеется двугранный угол, образованный полуплоскостями альфа и бета. Грани этого угла пересекаются по прямой L. Имеется некая третья плоскость угла, построенная из ребра. Образована она путём взятия L произвольной точки и проведения из неё двух перпендикуляров к альфа и бета. Нужно доказать, что она будет перпендикулярна L, α и β.
Рассуждать нужно следующим образом. Плоскость гамма составляет с L угол, равняющийся девяноста градусам, так как отрезок перпендикулярен двум пересекающимся отрезкам из плоскости гамма.

Поверхность альфа проходит через прямую L, перпендикулярную грани гамма. Значит, альфа и гамма пересекаются под ∠ 900. Полярная боковина бета проходит через перпендикуляр L к плоскости гамма. Отсюда следует, что они располагаются относительно друг друга под ∠ 90 градусов. Это и следовало доказать.
Из всего рассмотренного можно вывести ещё одно утверждение, характеризующее геометрию перпендикулярных плоскостей. Если в одной из них проведён отрезок, расположенный под ∠ 900 к общей линии пересечения, то этот отрезок будет составлять с другой плоскостью такой же угол.
Пусть даны две поверхности с линией пересечения L. На гране бета построена прямая B, перпендикулярная к линии пересечения, то есть линия B и альфа образуют прямой угол. Доказательство строится через свойства двугранного угла. Для его видимости нужно построить дополнительно угол, перпендикулярный L.
Тогда получаем, что линия B перпендикулярна А и L. То есть она составляет прямой угол с двумя прямыми, принадлежащим альфа, а это значит, что она также перпендикулярна α, что и требовалось подтвердить.
Примеры решения задач
На уроках учащимся для закрепления результата предлагается решить несколько типовых заданий, касающихся рассматриваемой темы. В своём большинстве они несложные и позволяют на практике воспользоваться полученными знаниями. Вот некоторые из них:

- Нужно выяснить, являются ли две плоскости перпендикулярными, если они заданы в трёхмерном измерении следующими уравнениями: x — 3y — 4 = 0 и x / (2 / 3) + (y / -2) + z / (4 / 5) = 1. Согласно правилу, если два вектора принадлежат двум поверхностям и при этом перпендикулярны друг другу, то грани также будут перпендикулярными. Поэтому необходимо найти координаты векторов и проверить их на выполнение условия. Из заданного координаты отрезков будут следующими: a = (1, -3, 0); b = (3 / 2, 1 / 2, 5 / 4). Теперь нужно найти скалярное произведение: (a x b) = 3 / 2 + 3 /2 + 0 * 5 / 4 = 3. Так как полученное число больше трёх, то условие не выполняется, вектора не перпендикулярны, а значит, и поверхности тоже.
-
В пространстве имеются четыре точки: A (-15 / 7, -7 / 8, 1); B (17 / 8, 5 / 16, 0); C (0, 0, 3 / 7); D (-1, 0, 0). Проверить перпендикулярность ABC и ABD. Для решения задачи нужно определить попарные координаты AB, AC, AD. После вычитания векторов получится: AB = (47/8, 19 / 16, -1), AC = (15/4, 7 / 8, -4 / 7), AD = (11 / 4, 7 / 8, -1). Следует найти нормальный вектор, образуемый векторным произведением AB на AD и AC: AB * AC = (11 / 56, — 11 /28, 11 / 16); AB * AD = (-5 / 16, 25 / 8, 15 / 8). Далее, нужно искать скалярное произведение. После выполнения действия получится ноль. Это указывает на то, что градусный угол между поверхностями будет 900.
Таким образом признаки и следствия перпендикулярности позволяют довольно быстро и точно определять расположение плоскостей в пространстве.
Еще тесты
- Анатомия
- Английский язык
- Астрономия
- Биология
- Литература
- История
- Педсовет
- Естествознание
- Финансы и кредит
- Правоведение
- Товароведение
- Экономика
- Социология
- Маркетинг
- Обществознание
- Культурология
- Математика
- Философия
- Русский язык
- Психология
- Политология
- Делопроизводство
- Бухгалтерия
- ОБЖ
- Орфография
- География
- Биографии
- Физика
- Пунктуация
- Краткие содержания
- Химия
- Менеджмент
- Тест на тему Тест по теме Дыхательная система человека 7 вопросов
- Тест на тему Строение человека - анатомия внутренних органов 7 вопросов
- Тест на тему Гормоны - определение, виды, функции, роль в организме человека 5 вопросов
- Тест на тему Лейкоциты в крови - строение, где образуются и разрушаются, норма содержания 5 вопросов
- Тест на тему Одноклеточные организмы - строение , формы и признаки представителей 8 вопросов
- Тест на тему Бесполое размножение - виды, формы и биологическое значение процесса 9 вопросов
- Тест на тему Синтез АТФ - структура, функции и пути образования аденозинтрифосфорной кислоты 7 вопросов
- Тест на тему Биогеоценоз - определение, структура и свойства 5 вопросов
- Тест на тему Символизм в литературе - основные черты и представители направления 6 вопросов
- Тест на тему "У Лукоморья дуб зеленый" - анализ стихотворения Александра Сергеевича Пушкина 8 вопросов
- Тест на тему Родион Раскольников и Соня Мармеладова - история взаимоотношений в романе Ф. М. Достоевского "Преступление и наказание" 6 вопросов
- Тест на тему Семья Мелеховых в романе М. Шолохова "Тихий дон" 7 вопросов
- Тест на тему Отечественная война 1812 года - причины, основные сражения, итоги 7 вопросов
- Тест на тему Правление Ивана Грозного - внутренняя и внешняя политика 7 вопросов
- Тест на тему Образование СССР - причины, этапы становления, состав, итоги 6 вопросов
- Тест на тему Крещение руси князем Владимиром - причины, история, значение принятия христианства 6 вопросов
- Тест на тему Пищевая цепочка в природе - звенья, схемы и примеры цепей 5 вопросов
- Тест на тему Экологические факторы - классификация, примеры, общие закономерности воздействия 5 вопросов
- Тест на тему Биосфера - определение, состав, свойства, границы 5 вопросов
- Тест на тему Возникновение жизни на земле 6 вопросов
- Тест на тему Права и свободы человека и гражданина 5 вопросов
- Тест на тему Унитарное предприятие - виды, признаки, участники, особенности 7 вопросов
- Тест на тему Формы собственности - типы и виды и их характеристика 7 вопросов
- Тест на тему Предпринимательское право - понятие, принципы, предмет и объект, функции 5 вопросов
- Тест на тему Ликвидность предприятия - определение, виды, формула расчета 7 вопросов
- Тест на тему Процентная ставка - понятие, виды, методы расчета и начисления 5 вопросов
- Тест на тему Финансы - определние, сущность, основные функции, виды 7 вопросов
- Тест на тему Коммерческая деятельность - сущность и содержание 7 вопросов
- Тест на тему Статистическое наблюдение - виды, способы, последовательность этапов 6 вопросов
- Тест на тему Социальный контроль - понятие и функции, формы и методы, значение 5 вопросов
- Тест на тему Анкетирование - правила составления и виды вопросов, оформление результатов 5 вопросов
- Тест на тему Социальная группа — понятие, типы, критерии выделения 8 вопросов
- Тест на тему Деятельность человека - основные виды и характеристики 7 вопросов
- Тест на тему Воздушно-десантные войска (ВДВ) - история создания, подразделения, оснащение 7 вопросов
- Тест на тему Субъекты РФ - количество, виды, правовой статус 7 вопросов
- Тест на тему Социальные нормы - понятие, виды и характеристка, функции, примеры 6 вопросов
- Тест на тему Что такое угол 5 вопросов
- Тест на тему Деление в столбик — подробное описание алгоритма решения задач, примеры 10 вопросов
- Тест на тему Вычитание дробей - правила и примеры с решениями 5 вопросов
- Тест на тему Модуль числа - свойства, действия, как решать уравнения и неравенства с модулем 10 вопросов
- Тест на тему Ислам - история возникновения религии, основные положения 7 вопросов
- Тест на тему Мышление - определение, виды, функции, свойства 5 вопросов
- Тест на тему Что такое мораль, ее категории и функции 6 вопросов
- Тест на тему Буддизм - кратко о религии (история возникновения, основные положения, священные книги) 6 вопросов
- Тест на тему Безличные предложения в русском языке 8 вопросов
- Тест на тему Ударение в словах в русском языке - правила и проверка постановки 5 вопросов
- Тест на тему Морфемный разбор слова - правила выполнения с примерами 5 вопросов
- Тест на тему Сложноподчиненные предложения в русском языке 6 вопросов
- Тест на тему Мотивация - определение, виды и типы в психологии, менеджменте 5 вопросов
- Тест на тему Интеллект - понятие, признаки, как развивать, оценка 5 вопросов
- Тест на тему Социализация личности - понятие и сущность, агенты, примеры 5 вопросов
- Тест на тему Типы темперамента и их психологическая характеристика 5 вопросов
- Тест на тему Органы исполнительной власти РФ - понятие и правовой статус, структура и фунции 7 вопросов
- Тест на тему Европейский союз - история создания, цели, состав 5 вопросов
- Тест на тему Тоталитаризм - определение, характерные черты, плюсы и минусы идеологии 5 вопросов
- Тест на тему Политическая идеология - определение понятия, функции, классификация, особенности 5 вопросов
- Тест на тему Оборотные средства предприятия, их структура, учет и анализ 7 вопросов
- Тест на тему Бюджетная классификация - определение, структура 7 вопросов
- Тест на тему Калькуляция - основные понятия, примеры расчетов себестоимости 7 вопросов
- Тест на тему Бухгалтерский учет материально-производственных запасов на предприятии 8 вопросов
- Тест на тему Пистолет Макарова - шпаргалка по тактико-техническим характеристикам 9 вопросов
- Тест на тему Чрезвычайная ситуация - понятие, типы ЧС, причины возникновения, стадии развития 7 вопросов
- Тест на тему Вооруженные силы Российской Федерации — организационная структура и предназначение 7 вопросов
- Тест на тему ВМФ (Военно-Морской флот) России - структура, история, состав 7 вопросов
- Тест на тему Перу - географическое положение, климат и достопримечательности 9 вопросов
- Тест на тему Климатические пояса Земли - характеристика и особенности 8 вопросов
- Тест на тему Тайга - географическое положение, животный и растительный мир, особенности и характеристика природной зоны 7 вопросов
- Тест на тему Озеро - определение, классификация, признаки 6 вопросов
- Тест на тему Братья Гримм - биография, жизнь и творчество немецких писателей 10 вопросов
- Тест на тему Тамерлан (1336-1405) - биография, жизнь и завоевания великого полководца 10 вопросов
- Тест на тему Максим Горький (1868-1936) - биография, кратко самое важное, интересные факты из жизни писателя 9 вопросов
- Тест на тему Блок Александр Александрович (1880-1921) - биография, жизненный и творческий путь 11 вопросов
- Тест на тему "Ночь перед Рождеством" - краткое содержание повести Н. В. Гоголя 10 вопросов
- Тест на тему "Маленький Мук" - краткое содержание сказки Вильгельма Гауфа 10 вопросов
- Тест на тему "Дворянское гнездо" - краткое содержание романа И.С. Тургенева 8 вопросов
- Тест на тему "Бирюк" - краткое содержание рассказа И.С. Тургенева 10 вопросов
- Тест на тему Серная кислота - химические и физические свойства и реакции 8 вопросов
- Тест на тему Муравьиная кислота - формула, свойства, получение и применение 7 вопросов
- Тест на тему Сложные эфиры - характеристика, классификация и примеры соединений 8 вопросов
- Тест на тему Толуол - формула, свойства и применение химического вещества 8 вопросов
- Тест на тему Оценка персонала - виды, критерии и методы 7 вопросов
- Тест на тему Управление персоналом - задачи, функции, современные подходы 5 вопросов
- Тест на тему Менеджмент предприятий — сущность, виды, задачи и цели 7 вопросов
- Тест на тему Организационная структура предприятия — типы и предназначение 7 вопросов