Перпендикулярность плоскостей - определение, признаки и свойства

Поэтому так важно не только знать теоремы, но и уметь доказывать утверждение о расположении поверхностей в пространстве.

Общие сведения

Пожалуй, одним из главных понятий в математике является плоскость. Различные вычисления геометрических параметров связаны с ней. Согласно определению, плоскость не имеет ограничений. То есть это бесконечная поверхность, состоящая из множества точек. Все линии, проходящие через две и более точки, считаются принадлежащими ей. Поэтому в какой-то мере плоскость можно назвать геометрической фигурой.

Любую поверхность можно описать с помощью уравнения первой степени: Ax + By + Cz + D = 0. Латинскими буквами обозначают постоянные коэффициенты, которые не могут одновременно равняться нулю. В произвольном пространстве может находиться множество различных плоскостей. Они могут принимать три положения относительно друг друга:

1. быть параллельными — не иметь одинаковых точек;
2. совпадать — если координаты хотя бы трёх их точек совпадают;
3. пересекаться по прямой — это поверхности, располагающиеся по отношению друг к другу под различным углом.

При этом если в базисе имеется прямая, то через неё может проходить неограниченное число незамкнутых поверхностей. Грани, не имеющие ограничений, обозначают на чертежах маленькими греческими буквами. Изображают их в виде произвольного размера параллелограмма или имеющей любую форму замкнутой линии, образующей область. Рассмотрение плоскости построено на изучении расположения точек и линий. Принадлежащие плоскости геометрические элементы записывают через символ «Є". Например, если вектор AB принадлежит поверхности γ, то математически это записывают так: AB Є γ.

Расстояние от точки до плоскости является наименьшей длиной между ней и элементами поверхности.

Определяется оно через перпендикуляр, опущенный из этой точки на плоскость. Прямая же может как лежать на поверхности, так и пересекать её. В первом случае геометрические объекты будут иметь как минимум две общие точки, а во втором — только одну. При рассмотрении темы особое значение имеет ненулевой вектор, располагающийся на линии, перпендикулярной этой поверхности. Такой отрезок также можно принять за направляющий вектор прямой, поэтому его называют нормальным вектором плоскости.

Аксиомы и теоремы

Вся теория изучения признаков, построения и свойств перпендикулярных плоскостей строится на различии положений линий и точек в пространстве. Занимается этим стереометрия. В науке есть пять основных теорем и аксиом, являющихся базисными для всего курса:

1. В любом пространстве находится плоскость, в которой выполняются без исключения аксиомы планиметрии.
2. Если взять произвольные три точки, не принадлежащие одной прямой линии, то через них может быть пропущена плоскость и только одна.
3. По отношению к любой рассматриваемой плоскости существуют точки и прямые как принадлежащие ей, так и нет.
4. Если через две точки, лежащие в плоскости, можно провести прямую, то можно утверждать, что она также будет принадлежать этой поверхности.
5. Если две поверхности имеют общую точку, то местом их пересечения будет общая прямая.

Из последнего утверждения следует, что две пересекающиеся поверхности называются перпендикулярными в том случае, когда третья поверхность перпендикулярная прямой пересечения и проходит через них по перпендикулярным прямым. При построении таких плоскостей образуются две полуплоскости. Их общая граница формирует четыре двухгранных угла с общим ребром.

Двугранный угол измеряется своим линейным параметром. Для этого на ребре можно выбрать произвольную точку и провести через неё два к нему перпендикуляра. Получится четыре линейных угла: φ, 180⁰ — φ, φ, 180⁰ — φ. Углом между плоскостями называется наименьшим из указанных углов. Так как ∠ φ меньше либо равняется 180 градусам, то угол между поверхностями лежит в пределах от нуля до 90 градусов. Отсюда следует, что плоскости называются взаимно перпендикулярными, когда угол между ними составляет 90 градусов.

Это означает, что если на ребре L взять точку M и провести перпендикуляр к плоскости альфа и бета, то получится линейный угол ABM. Если его измерить или посчитать и он будет равняться 90⁰, то можно утверждать, что пересекающиеся поверхности перпендикулярны.

Если начертить эту конструкцию в пространстве, то можно увидеть, что прямая L перпендикулярна стороне b, а она, в свою очередь, грани a. Иными словами, прямая b составляет с двумя пересекающими линиями, расположенными на плоскости альфа, угол 90 градусов. А это означает, что она перпендикулярна альфе. Аналогично можно сказать и про поверхность бета.

Признак перпендикулярности

Две плоскости являются перпендикулярными друг другу, если одна из них пересекает прямую, расположенную под ∠ 90 градусов к другой грани. Для наглядности доказательства признака нужно начертить рисунок. На нём изобразить две области — альфа и бета, перпендикулярно пересекающие друг друга.

Будем считать, что прямая, принадлежащая альфа, перпендикулярна бета. За начало этой линии можно принять точку B, а место, в котором грани проникают одна в другую, отрезок С. А также на полуплоскости бета нужно изобразить линию, берущую начало в точке D и пересекающуюся с прямой, относящейся к альфе в точке A. Отрезок BA лежит на полуплоскости альфа, то есть она проходит через перпендикуляр другой поверхности.

Доказать признак — значит, построить линейный угол и показать, что он не наклонный, а равняется строго 90 градусам. Можно констатировать, что противоположные бока поверхностей пересекаются по некой прямой AC: α n β = AC. Далее, отрезок AB перпендикулярен АС. Это можно утверждать исходя из того, что AB ┴ β .

Для построения линейного угла необходимо из некой точки построить два перпендикуляра к ребру. Посмотрев на рисунок, можно увидеть, что они уже проведены. Это отрезки, лежащие на полуплоскостях AB и AD. То есть на чертеже уже имеется линейный угол BAD, разворот которого равняется 90⁰.

Прямая AB перпендикулярна к поверхности бета, а значит, она будет иметь прямой угол с любой линией или точкой, принадлежащей β. При этом отрезок AD не является исключением.

Отсюда следует, что линейный угол будет равняться 90⁰, а значит, плоскости обладают взаимной перпендикулярностью. Это и нужно было доказать.

Следствие из критерия

Из доказанного признака вытекает важное следствие, которое и используется при решениях задач. Оно гласит, что плоскость, перпендикулярная к прямой, через которую проходят две рассматриваемые поверхности, будет составлять с каждой из них прямой угол.

Доказательство следствия удобно выполнять с помощью рисунка. Пусть имеется грань альфа и бета, которые пересекаются по прямой L.

Тогда будет существовать некая поверхность гамма, перпендикулярная этой линии. Нужно доказать, что гамма составляет прямой угол как с альфой, так и с бетой.

Если прямая перпендикулярна к поверхности, это означает то, что они имеют единственную общую точку. Пусть на чертеже она будет обозначена M. По условию L с плоскостью гамма составляет прямой угол. Причём L лежит на грани альфа. Отсюда следует, что альфа будет пересекать прямую, перпендикулярную к другой плоскости. А это значит, что они взаимно перпендикулярные: α ┴ γ.

Учитывая, что линия L принадлежит также и β, верно будет сказать, что плоскость бета проходит через ось, перпендикулярную к грани гамма. Значит, угол между бетой и гаммой составляет девяносто градусов. Следствие доказано.

Правило линейного угла

Эта закономерность позволяет сформулировать правило для линейного угла. Когда имеется фигура, состоящая из двух полуплоскостей и берущая начало из отрезка вместе с определённой областью пространства, при этом части плоскости ограничивают геометрическое тело, то она называется двугранным углом. Если угол находится между двумя перпендикулярами к ребру этой фигуры, построенными из её боковых поверхностей и одной точки ребра, то его называют линейным.

Плоскость же такого угла будет перпендикулярна любым элементам соответствующей ему фигуре, то есть ребру и граням. Пусть имеется двугранный угол, образованный полуплоскостями альфа и бета. Грани этого угла пересекаются по прямой L. Имеется некая третья плоскость угла, построенная из ребра. Образована она путём взятия L произвольной точки и проведения из неё двух перпендикуляров к альфа и бета. Нужно доказать, что она будет перпендикулярна L, α и β.

Рассуждать нужно следующим образом. Плоскость гамма составляет с L угол, равняющийся девяноста градусам, так как отрезок перпендикулярен двум пересекающимся отрезкам из плоскости гамма.

Поверхность альфа проходит через прямую L, перпендикулярную грани гамма. Значит, альфа и гамма пересекаются под ∠ 90⁰. Полярная боковина бета проходит через перпендикуляр L к плоскости гамма. Отсюда следует, что они располагаются относительно друг друга под ∠ 90 градусов. Это и следовало доказать.

Из всего рассмотренного можно вывести ещё одно утверждение, характеризующее геометрию перпендикулярных плоскостей. Если в одной из них проведён отрезок, расположенный под ∠ 90⁰ к общей линии пересечения, то этот отрезок будет составлять с другой плоскостью такой же угол.

Пусть даны две поверхности с линией пересечения L. На гране бета построена прямая B, перпендикулярная к линии пересечения, то есть линия B и альфа образуют прямой угол. Доказательство строится через свойства двугранного угла. Для его видимости нужно построить дополнительно угол, перпендикулярный L.

Тогда получаем, что линия B перпендикулярна А и L. То есть она составляет прямой угол с двумя прямыми, принадлежащим альфа, а это значит, что она также перпендикулярна α, что и требовалось подтвердить.

Примеры решения задач

На уроках учащимся для закрепления результата предлагается решить несколько типовых заданий, касающихся рассматриваемой темы. В своём большинстве они несложные и позволяют на практике воспользоваться полученными знаниями. Вот некоторые из них:

1. Нужно выяснить, являются ли две плоскости перпендикулярными, если они заданы в трёхмерном измерении следующими уравнениями: x — 3y — 4 = 0 и x / (2 / 3) + (y / -2) + z / (4 / 5) = 1. Согласно правилу, если два вектора принадлежат двум поверхностям и при этом перпендикулярны друг другу, то грани также будут перпендикулярными. Поэтому необходимо найти координаты векторов и проверить их на выполнение условия. Из заданного координаты отрезков будут следующими: a = (1, -3, 0); b = (3 / 2, 1 / 2, 5 / 4). Теперь нужно найти скалярное произведение: (a x b) = 3 / 2 + 3 /2 + 0 * 5 / 4 = 3. Так как полученное число больше трёх, то условие не выполняется, вектора не перпендикулярны, а значит, и поверхности тоже.

2. В пространстве имеются четыре точки: A (-15 / 7, -7 / 8, 1); B (17 / 8, 5 / 16, 0); C (0, 0, 3 / 7); D (-1, 0, 0). Проверить перпендикулярность ABC и ABD. Для решения задачи нужно определить попарные координаты AB, AC, AD. После вычитания векторов получится: AB = (47/8, 19 / 16, -1), AC = (15/4, 7 / 8, -4 / 7), AD = (11 / 4, 7 / 8, -1). Следует найти нормальный вектор, образуемый векторным произведением AB на AD и AC: AB * AC = (11 / 56, — 11 /28, 11 / 16); AB * AD = (-5 / 16, 25 / 8, 15 / 8). Далее, нужно искать скалярное произведение. После выполнения действия получится ноль. Это указывает на то, что градусный угол между поверхностями будет 90⁰.

Таким образом признаки и следствия перпендикулярности позволяют довольно быстро и точно определять расположение плоскостей в пространстве.