Окружность - определение, свойства и формулы вычисления площади

Человек, интересующийся «чему равна площадь окружности» явно не представляет объекта любопытства. Поясним почему. 

Речь идет о геометрическом месте точек, равноудаленных от одной, называемой центром (обозначается обычно латинским «O»). Отрезок удаления – радиус («r», «R»). Иными словами – это линия. На такой параметр имеет право претендовать не больше, чем, скажем, прямая.

Круг – это множество точек, ограниченное окружностью. Так же абсурдно будет сказать «длина круга».

Важно! Неправильно говорить «площадь окружности», правильно говорить «площадь круга» или «длина окружности». У окружности не может быть площади, у круга не может быть длины.

В декартовых координатах для аналитической геометрии фигуры выражаются уравнением:

(x - a)² + (y - b)² = r²

При a = b = 0, r = 2:

Длина окружности

Она же периметр круга, что очевидно из определений фигур. Вычисляется по формуле:

С = 2πr = πD, D = 2r

«D» также может писаться как «d». Это диаметр – отрезок, соединяющий пару крайних точек кривой и проходящий через центр.

π ≈ 3, 14

Греческая «пи». Бесконечное иррациональное число. Служит для связи радиуса (диаметра) с прочими параметрами круглых фигур. 

Происхождением до поры до времени лучше не интересоваться. Примите как должное. Удобно брать значение 3 для простоты расчетов.

Длина дуги окружности

Имеется в виду часть кривой, соединяющая пару точек.

Выделенная углом α, равна:

Как найти площадь круга

Этот показатель, в отличие от расстояния, выражается в квадратных величинах (м², см² и т. п.).

Через радиус

S = πr²

Через диаметр

Подставив D/2 вместо r, получим:

Через длину окружности

где C = 2πr = πD.

Площадь кругового сектора

Под сектором понимается область, ограниченная углом с вершиной в центре и соответствующей ему дугой.

Площадь кругового сегмента

Круговой сегмент – область, заключенная между дугой и хордой. На рисунке сегмент выделен желтым цветом.

h – высота сегмента.

Нахождение площади сектора круга можно выполнить по формуле:

Или так (если сегмент не полукруг, а γ выражена в градусах):

S_тр – площадь треугольника, образованного хордой и радиусами. Можно определить из:

Сфера и шар

Образуются вращением окружности и круга соответственно. Последние являются проходящими через центр сечениями.

Объем шара:

Таким образом, чтобы сказать о шарике почти все, достаточно измерить диаметр. Штангенциркулем, например.

Решение задачи

Рассчитайте длину окружности диаметром 4 см и найдите площадь образованного ею круга.

Решение:

Интернет изобилует онлайн калькуляторами для всех перечисленных фигур. На все случаи жизни.

Но, как ясно из материала, вычислить несложно любые параметры. И не обязательно лазить по сети. Применение специальных инструментов оправдано, если намечается большой объем вычислений.