Содержание:

Равносторонний треугольник

Треугольник с равными сторонами

Каждый школьник, в каком бы классе он ни учился, знает, что собой представляет треугольник. Он является самой простой замкнутой фигурой на плоскости и в пространстве, поскольку образован тремя отрезками (четырьмя ограничены следующие по сложности за ним фигуры: прямоугольник, квадрат, параллелограмм и т. д. ).

Состоит он из трех сторон, которые определяют 3 его угла (отсюда и название геометрического объекта). Для определения значений углов в градусах следует при решении задач использовать теорему о равенстве их суммы — 180. При этом неважно, к какому типу относится сама фигура (равнобедренный, прямоугольный и т. д. ), теорема остается справедливой всегда.

Исходя из названия, равносторонний треугольник — плоская фигура, все 3 стороны которой равны между собой. Для нее являются справедливыми следующие свойства:

Все 3 угла равны между собой и составляют 60 градусов

  1. Все 3 угла равны между собой и составляют 60 градусов, поэтому его также называют равноугольным. Это утверждение справедливо в обратную сторону: если все углы треугольника составляют 60 градусов, он является равносторонним.
  2. Медиана, биссектриса и высота совпадают друг с другом, то есть любая из этих линий будет делить угол пополам, противоположную сторону на 2 равные части и будет перпендикулярна ей одновременно.
  3. Наличие трех осей симметрии. Все они совпадают с соответствующими медианами, биссектрисами, высотами. Оси пересекаются в точке, которая является геометрическим и массовым центром фигуры. Повороты на 0, 120, 240 и 360 градусов вокруг этой точки треугольника будут переводить его самого в себя, то есть являются операциями симметрии.
  4. Любые 2 рассматриваемых треугольника являются подобными. Этот вывод следует из равенства их трех углов.

Длина высоты и ее частей

Прежде чем приводить формулы площади равностороннего треугольника, следует выяснить, какую длину имеют его биссектрисы, высоты или медианы. Пусть эта величина будет обозначаться латинской буквой h, а сторона фигуры обозначается a. Поскольку проведенная высота из любого угла делит его на 2 прямоугольных треугольника, этот факт можно использовать для вычисления величины h. Проще всего применить определение какой-либо тригонометрической функции, например, синуса:

sin (60) = h/a.

Согласно определению, синусом угла называется отношения противолежащего катета (h) к гипотенузе (a). Поскольку значения функции sin (60) является табличной величиной, получается следующее выражение для h:

h = 30,5 /2*a.

Из формулы следует, что высота h составляет приблизительно 87% от длины стороны a.

Для получения полной информации о свойствах биссектрис, медиан и высот треугольника, нужно определить, на какие части делит их точка пересечения. Следует ввести некоторые обозначения:

  • A, B, C — вершины равноугольного треугольника;
  • Q — точка пересечения биссектрис, медиан и высот фигуры;
  • P — середины стороны BC, на которую опущена высота AP.

Свойства равностороннего треугольника

Треугольник PQB является прямоугольным. Прямым углом будет QPB. Поскольку угол QBP разделен биссектрисой на 2 одинаковые части, он составляет 30 градусов. Катет QP лежит против этого угла, поэтому будет иметь длину в 2 раза меньшую, чем гипотенуза BQ. Нетрудно увидеть, что сумма длин BQ и QP равна высоте h. Эти рассуждения позволяют получить следующие формулы:

  • QP = ½*BQ = 1/3*h = 30,5 /6*a = r;
  • BQ = 2*QP = 2/3*h = 30,5 /3*a = R.

Здесь введены новые буквы r и R для обозначения длин QP и BQ, соответственно.

Формулы площади

Чему равна площадь равностороннего треугольника можно определить с использованием нескольких формул. Для этого привлекаются в том числе понятия вписанной и описанной окружности.

Через величины a или h

Площадь абсолютно любого треугольника может быть определена как произведение его высоты на длину основания, которое следует поделить пополам. Если записать это выражение для равноугольного треугольника, можно получить следующие формулы:

  • S = ½*a*h;
  • S = 30,5 /4*a 2 ;
  • S = 30,5 /3*h 2 .

Площадь равностороннего треугольника

Для получения этих выражений была использована формула связи между длинами высоты h и основания a. Уравнения справедливы для любого треугольника с равными сторонами. Для прямоугольного или равнобедренного эти выражения уже не подходят.

Формулы через длины h и a для площади S говорят, что для однозначного определения геометрической характеристики достаточно знать лишь один параметр треугольника, имеющий размерность длины.

Через радиусы r или R

Чтобы определить площадь, достаточно узнать любой линейный параметр. Это необязательно может быть сторона или высота, но также радиусы вписанной и описанной окружностей.

Вписанной называется окружность, которая лежит внутри фигуры и касается всех ее сторон. В случае равностороннего треугольника ее центр находится в точке пересечения медиан (высот, биссектрис), то есть в точке Q. Ее радиус r равен отрезку QP и составляет:

r = 30,5 /6*a.

Выразив из этого равенства сторону a и подставив ее в формулу для площади S через a, можно получить следующее выражение:

S = 3*30,5 *r 2 .

Центр вписанной окружности является для равностороннего треугольника центром описанной вокруг него. Ею принято называть в геометрии фигуру, которая проходит через все вершины многоугольника. Поскольку ее центр лежит в точке Q, радиус R будет равен длине отрезка QB. Формула для него уже известна:

R = 30,5 /3*a.

Аналогичным образом, выражая из этого равенства величину a, и подставляя ее в формулу для S, можно получить следующее выражение:

S = 3*30,5/4*R 2 .

Это равенство можно было также получить, если вспомнить, что радиус описанной окружности R в 2 раза больше радиуса r.

Примеры решения задач

Выведенные формулы можно с легкостью применять для решения разнообразных задач по геометрии. Для понимания, как их следует использовать, следует рассмотреть несколько примеров.

Описанная и вписанная окружности

Дан некоторый равноугольный треугольник. Известно, что разница между радиусами описанной и вписанной окружностей составляет 3 см. Следует найти площадь фигуры.

Ученики решают задачи

На первый взгляд может показаться, что нахождение решения этой задачи требует проведения некоторых промежуточных вычислений, но это не так. Если вспомнить, что радиус описанной окружности R ровно в 2 раза больше величины r, то их разница является не чем иным, как самим радиусом вписанной окружности r. Для получения ответа на задачу следует всего-навсего воспользоваться известной формулой и вычислить S:

S = 3*30,5 *r 2 = 46,765 см 2 .

Тетраэдр и его поверхность

Тетраэдр является объемной фигурой, которая ограничена четырьмя гранями, являющимися равноугольными треугольниками. Необходимо определить площадь поверхности этой геометрической фигуры, если известно, что ее объем составляет 100 см 3 .

Чтобы посчитать необходимую площадь, следует найти эту величину всего лишь для одного равностороннего треугольника, а затем полученное число умножить на 4. Из курса стереометрии известно, что объем тетраэдра рассчитывается по следующей формуле:

V = 20,5 /12*a 3 .

Тетраэдр является объемной фигурой

Отсюда можно получить длину стороны a:

a = (12*V/20,5)^(1/3).

Подставляя значение объема тетраэдра из условия задачи, можно рассчитать a = 9,467 см. Это значение округлено до третьего знака после запятой.

Теперь можно применить формулу для расчета площади S через a:

S = 30,5/4*a 2 = 38,81 см 2 .

Получилась площадь одной грани тетраэдра. Поскольку объемная фигура состоит из четырех одинаковых треугольников, то площадь его поверхности St составит:

St = 4*S = 155,24 см 2 .

Таким образом, высокая симметрия равностороннего треугольника позволяет рассчитывать его площадь, зная всего один линейный параметр фигуры. Чаще всего таковым является высота, сторона основания или радиусы вписанной и описанной окружностей.