Площадь треугольника по двум сторонам - доказательство теоремы и вывод формулы

Поиск площади

Найти площадь такого треугольника по двум сторонам не составит труда. Если это катеты, их надо перемножить и полученный результат разделить на 2. Если дана гипотенуза, придётся прибегнуть к помощи теоремы Пифагора и, используя её, сначала найти недостающий катет. Однако не всегда по условию рассматриваются частные случаи фигур: чем сложнее становится задачи, тем реже они встречаются. И при рассмотрении произвольных многоугольников обычно прибегают к теореме о площади через синус угла.

Прежде чем перейти к применению метода вычисления площади треугольника через синус, нужно сформулировать соответствующую теорему. Она звучит так: «Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними». Если записать это в формульном виде, то выглядеть будет как S = a * b * sin ©, где a и b — это 2 стороны треугольника. Из формулы видно, какие данные нужно знать, чтобы вычислить площадь:

1. Две стороны.
2. Размерность угла между ними.

Сумма всех углов равна 180 градусов, это позволит, найти третий путём вычитания от 180 2 известных. Также может пригодиться определение косинуса и синуса. Косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, в то время как синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

Используя эти определения, можно найти недостающую сторону, если по условию задачи она не дана сразу.

Доказательство теоремы

Теорема остаётся просто предположением, пока не будет доказана, поэтому самое время перейти к доказательству. Площадь прямоугольного треугольника можно найти, как произведение катетов, делённое на 2. Если он таковым не является, это не помешает использовать этот факт для доказательства, но для начала нужно ввести общие обозначения.

• A, B, C — вершины. При указании углов будут иметься ввиду углы при них.
• a, b, c — стороны, лежащие напротив соответствующих вершин.

Очевидно, что в любом треугольнике будет хотя бы 2 острых угла, градусная мера которых меньше 90. Доказать утверждение можно от обратного. Если только один из них острый, 2 остальных должны быть равны или больше 90 градусам, то есть быть прямыми или тупыми. Тогда их сумма равна или больше 180 градусов. Что противоречит тому, что сумма всех трёх равна 180.

Вывод — предположение было неверное, следственно в любом треугольнике обязательно есть хотя бы 2 острых угла.

Следующий шаг — опустить высоту из неострого угла. Используя это дополнительное построение, можно получить 2 прямоугольных треугольника, у которых одна сторона (высота) является общей. Теперь можно найти площадь изначальной фигуры, как сумму двух полученных треугольников. Получается формула для нахождения площади — S = 0.5*a*h. Где h — высота, a — сторона, на которую она была опущена.

Теперь можно применить определение синуса и найти высоту — h = c*sin (b). Где h — проведённая ранее высота, c — одна из сторон, sin (b) — синус угла, примыкающего к основанию, на которое была опущена высота.

Полученное значение высоты нужно подставить в изначальную формулу и получить выражение: S = 0.5*a*c*sin (b). Таким образом, площадь равна половине произведения сторон на синус угла между ними. Что и требовалось доказать.