Равнобедренная трапеция - свойства, признаки и формулы

Равнобедренная трапеция, её ещё называют равнобокой, имеет равные боковые стороны. Кроме этого, у нее в арсенале есть еще множество интересных и полезных свойств, которые можно с легкостью применять на практике или при решении математических задач.

Определение, признаки и элементы трапеции

Трапецией в геометрии принято называть любой четырехугольник, у которого есть две параллельные друг другу стороны, при том что продолжения других двух сторон пересекаются.

Определение же равнобедренной трапеции идет от того, что у нее боковые стороны эквиваленты по длине.

Свойства равнобедренной трапеции

Существует всего несколько основных свойств, присущих именно данной фигуре. Сейчас мы рассмотрим каждое из них:

1. Прямая, которая проходит через середину оснований такой трапеции, является ее осью симметрии, а также она перпендикулярна ее основаниям.
2. Углы при основаниях трапеции равны.
3. У равнобедренной трапеции также равны и длины диагоналей. Если диагонали перпендикулярны, тогда высота трапеции будет равна сумме основания, деленной на 2.
4. Диагональ разбивает фигуру на 2 треугольника.
5. Биссектрисы углов, принадлежащих одной и той же боковой стороне, всегда перпендикулярны друг другу.
6. Если мы опустим высоту на большее из оснований трапеции, то получим в итоге 2 отрезка АЕ и ЕВ: 

Первый отрезок АЕ будет равен сумме оснований, деленной на 2, а второй отрезок ЕВ - разности, разделенной на 2:

Периметр равнобедренной трапеции

Эту величину найти очень просто. Простейшей формулой будет сложение всех ее сторон. Однако иногда составители задач не дают нам информацию обо всех из сторон.

В таком случае нам следует в первую очередь найти все стороны фигуры, а затем уже приступать к их сложению.

Как найти стороны трапеции?

Существует множество различных способов решения данной задачи, однако мы предложим только некоторые из них.

В первую очередь можно найти стороны с помощью средней линии:

Есть альтернатива, если вам известны высота и угол при большем основании:

Средняя линия

Средней линией в трапеции называется параллельный основаниям отрезок, который делит боковые стороны фигуры на равные части. 

У нее есть множество интересных свойств и теорем с нетрудным доказательством, таких как, например, решение задач на подобие, однако мы на них останавливаться не будем.

Высота трапеции

Высотой трапеции называется самый короткий по длине отрезок, который продолжается ровно от одного основания до другого. Он выполняет своеобразную вспомогательную роль в задачах вплоть до 10 класса с неизвестными сторонами и в тех задачах, где нужно дополнить фигуру до прямоугольника, например.

Для нахождения длины этого отрезка нам необходимо знать оба основания (a и b), а также боковую сторону c. Также полезно было бы знать угол при большем основании α. Формулы здесь довольно простые и не нуждаются в доказательстве.

Диагональ трапеции

Эта линия просто идет от одного угла трапеции к другому, причем эти углы противоположны. В равнобедренной трапеции довольно приятным фактом является то, что диагонали в ней равны друг другу.

А каким образом можно найти длину диагонали? Есть один очень простой способ. Мы можем сделать это, зная все три величины: боковую сторону и каждое из оснований:

Площадь равнобедренной трапеции

Самой простой формулой является полусумма оснований, умноженная на высоту. Она подходит к любым трапециям.

Для второй формулы нужно знать все стороны трапеции. Это по сути усложненная версия первой, но подойдет она в том случае, если вы не знаете высоту.

Это самые базовые формулы, поэтому очень часто используются в различных задачах.

Вписанная и описанные окружности

Интересно, что вписать в трапецию окружность можно только при определенном условии. И это условие выполняется, если мы попарно сложим противоположные стороны нашего четырехугольника, и эти суммы окажутся равны. 

Найти радиус этой окружности не составит труда. Нужно просто разделить высоту пополам.

А вот с описанной окружностью все не так гладко. Есть различные полезные формулы. Например, если диагональ составляет с основанием прямой угол, то диаметр описанной окружности будет равен противоположному основанию трапеции.

Теперь разберемся с формулой нахождения радиуса. К слову, она здесь не очень простая. Сначала найдем p — полупериметр ∆DBC, а затем просто применим его в следующей формуле:

Математика бесспорно является матерью всех современных наук. Она по праву занимает свой престол и управляет абсолютно всеми мировыми законами. 

Одной из наиболее интересных подразделений математики принято считать именно геометрию. Ее фигуры также подчиняются математическим правилам и формулам, поэтому она необходима при различных сложных расчетах.