Средняя линия трапеции - свойства, теоремы и задачи

Серединный отрезок

Трапеция — фигура (четырехугольник), что состоит из четырех сторон, две из которых лежат на параллельных прямых, а остальные нет. Параллельные — верхнее и нижнее основание, 2 другие имеют название боковых сторон. Из этого следует, что четырехугольник состоит из двух оснований.

Средняя линия — отрезок, который соединяет середины боков фигуры и обозначается буквой m. Интересно, что если в треугольнике таких отрезков можно провести 3, то в таком четырёхугольнике исключительно одну.

Свойство и формулы

Серединная линия равняется половине сумм длины двух оснований. Это определение является теоремой, доказательство и для того чтобы его сформулировать, необходимо обратить внимание на свойство срединного отрезка в треугольнике.

Доказать теорему просто. Для этого в трапеции проводят серединный отрезок так, чтобы он опускался с верхней точки фигуры и пересекался с продленным нижним основанием. Такая линия делит четырёхугольник на два треугольника. Причем средняя линия фигуры также принадлежит треугольнику и выполняет те же функции. Она равна половине нижней стороны, которая состоит из двух отрезков, равных основаниям трапеции.

Свойство такого отрезка — в четырехугольнике он параллелен основаниям. Учитывая эти данные, их можно использовать как признак при решениях различных заданий для выявления этого понятия.

Формула для нахождения записывается так:

m = (a + b) / 2, где a, b — обозначение длины оснований.

Тригонометрия углов применима в формуле:

• m = a — h (ctga +ctg b)/ 2;
• m = b — h (ctga +ctg b)/ 2.

Полусумма оснований трапеции вычисляется через диагонали и их угол пересечения и высоту. Итак, для этого находится:

• m = d 1 d ² /2 h * sina;
• m = d 1 d 2 /2 h * sinb.

Углы а, b находятся при нижнем основании, а линия h является высотой, проведенной к этому отрезку.

Формула средней линии трапеции через площадь и высоту записывается так:

m = S / h.

Кроме этого, такой отрезок делит фигуру на две части и имеет место соотношение их площадей, которое выражается в виде:

S 1 /S 2 =3a+b/a+3b, где основания a<b.

Все эти формулы используются для решения задач и доказывания определённых утверждений.

Примеры заданий

Серединный отрезок трапеции равен 15 дм, а одно из оснований на 6 дм длиннее от другого. Определить длину параллельных сторон в трапеции.

Чтобы найти нужные стороны, нужно припустить, что на одну приходится х дм, соответственно на другую — (х+6) дм. Учитывая свойство серединного отрезка в этой фигуре, следует, что m = a + b /2.

m =2х+6/2=15, от сюда следует, что х=12 дм.

В результате a =12 дм, b =18 дм.

Следующее задание, где требуется искать стороны, что лежат на параллельных прямых. При этом дано их соотношения 4:7 средняя линия равна 55 дм.

Итак, пусть k — коэффициент пропорциональности, основания относятся как 4 k :7 k. Получается уравнение (4k +7k)/2=55. Отсюда следует, что k =10, то есть на нужные отрезки приходится по 40 и 70 дм.

Таким образом, средняя линия треугольника и трапеции имеет одинаковое свойство. Темы между собой очень похожи. Следовательно, средняя линия трапеции равна половине сумм двух оснований.