Теорема косинусов для треугольника

Содержание:

Геометрическая фигура
Теорема косинусов
Пример решения задачи

Геометрическая фигура

Прежде чем рассматривать теорему косинусов для треугольника и формулу, которая математически ее выражает, следует познакомиться с самим геометрическим объектом подробнее.

Треугольник представляет собой плоскую фигуру, которая состоит из двух типов элементов:

трех отрезков, являющихся сторонами;
трех вершин, образованных на пересечении отрезков и определяющих углы фигуры.

Если две стороны треугольника равны между собой и отличаются от третьей, его называют равнобедренным. Если все имеют одинаковую длину, речь идет о равностороннем объекте. Важным свойством любого треугольника является равенство суммы его трех углов 180°. Этот факт справедлив для всех типов фигуры на плоскости.

Важные линии

Для описания характеристик объекта в геометрии используют специальные линии. Основными из них являются:

биссектриса — прямая, выходящая из произвольной вершины и делящая ее угол на 2 равные части;
высота — перпендикуляр, который начинается на произвольной вершине и с противоположной стороной образует прямой угол;
медиана — линия, которая делит на 2 одинаковые по площади части треугольник, пересекает противоположную сторону фигуры ровно посередине.

Для равносторонней фигуры все 3 типа линий совпадают друг с другом, для равнобедренного треугольника только для угла, образованного равными сторонами, они являются одинаковыми.

Основные законы

О треугольнике человечеству известно все, поскольку это самая простая геометрическая фигура. Кроме того, до настоящего времени дошли некоторые работы греческих мыслителей и даже древних египтян, которые были посвящены рассмотрению ее свойств. В общем случае можно назвать 3 основные теоремы, которые в полной мере описывают главные характеристики треугольника. К ним относятся:

Равенство площади фигуры половине произведения высоты на длину стороны, на которую она падает — ее принято называть основанием. Помимо этой формулы, существует еще одно выражение, которое позволяет получить тот же результат, но с использованием длин трех сторон и без проведения дополнительных геометрических построений.
Теорема синусов.
Закон косинусов.

Эти 3 теоремы и соответствующие им математические выражения являются независимыми и применяются для решения многих практических проблем.

Теорема косинусов

Она также звучит как закон косинусов для треугольника и представляет собой обобщение теоремы Пифагора на фигуру произвольного типа. Ее формулировка связывает 3 стороны и угол в единое равенство. Закон косинусов заключается в следующем: квадрат произвольной стороны треугольника равен сумме квадратов двух оставшихся его сторон за вычетом удвоенного произведения их длин, которые умножены на косинус угла между ними.

Чтобы записать соответствующее математическое выражение, следует ввести некоторые обозначения. Пусть в фигуре ABC сторона, которая лежит напротив угла C, то есть AB = c, по аналогии, BC = a и AC=b. Углы при вершинах A, B и C удобно обозначать малыми греческими буквами α, β и γ, соответственно. Тогда формула теоремы косинусов запишется в следующем математическом виде:

c² = a² + b² — 2*a*b*cos (γ).

Зная 3 любых элемента фигуры, можно вычислить все остальные ее характеристики. При этом хотя бы одна из известных величин должна быть линейным параметром. Это утверждение доказать несложно, если представить 2 подобных треугольника, которые имеют попарно равные углы, но разную длину сторон (одна фигура является миниатюрной копией другой).

Иными словами, знание трех углов не является достаточным условием для определения свойств треугольника.

Историческая справка

Практически во всех языках мира теорема носит название закона косинусов и не имеет конкретного автора. Однако, во французском языке она носит имя персидского математика Аль-Каши, жившего в конце XIV — начале XV веков. Согласно историческому анализу, именно с теориями этого философа связана современная формулировка теоремы.

Взаимоотношением между сторонами треугольника человечество интересовалось с давних времен. В труде греческого философа Евклида, который называется «Элементы» и датируется III веком до н. э., появляется впервые некое подобие рассматриваемого закона. Однако Евклиду не были известны тригонометрические функции, поэтому в своем труде он отдельно рассматривал тупоугольные и остроугольные фигуры и приводил для их сторон соответствующие равенства через известные длины, например, высоту.

В начале X века, когда в мире правили Средние века, арабский математик и астроном Аль-Баттани использовал работы Евклида для сферической геометрии. Его достижения сделали возможным проведения некоторых космических расчетов, например, вычисление расстояния от Земли до Солнца.

Первые таблицы тригонометрических функций синуса и косинуса появились приблизительно в XV веке. Эти достижения в математике позволили Аль-Каши, математику из школы Самарканда, переформулировать закон косинусов в удобном для использования виде. Впоследствии француз Франсуа Виет независимо от Аль-Каши получил то же самое математическое выражение для сторон треугольника с использованием тригонометрических функций.

Начиная с конца XVII столетия, когда швейцарец Леонард Эйлер ввел в математику новую нотацию, теорема Аль-Каши приобрела современную форму.

Способы доказательства

Кратко следует отметить, что существуют несколько способов доказательства теоремы. Среди них можно перечислить следующие:

через разложение площадей многоугольников;
с использованием теоремы Пифагора, свойств высоты и формулы косинуса в треугольнике;
применяя окружность и ее геометрические свойства;
с помощью векторов и их скалярного произведения.

Последний способ доказательства теоремы косинусов является самым простым и носит общий характер. Его может реализовать каждый школьник, который умеет вычитать вектора друг из друга и знает, как рассчитывается их скалярное произведение.

Применение для разных видов треугольников

Закон косинусов служит для определения неизвестных длин сторон либо углов в треугольнике. Однако общая математическая формулировка имеет ряд частных случаев в зависимости от типа фигуры, к которой ее применяют.

Для равнобедренного треугольника, у которого стороны a и b равны, нахождение c сведется к вычислению следующего равенства:

c = a*(2*(1- cos (γ)))^0,5.

В случае равностороннего треугольника все стороны равны a = b = c. Все углы также являются одинаковыми и соответствуют 60°(180°/3). Для такой фигуры нет смысла в использовании теоремы, поскольку в ней всегда существует лишь одна неизвестная — сторона a.

Прямоугольный треугольник по отношению к теореме косинусов является специальным случаем. Благодаря этой фигуре появились понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса как функций, отражающих взаимоотношения между катетами и гипотенузой.

Каждый школьник знает, что возведенная длина гипотенузы в квадрат эквивалентна сумме квадратов длин двух других сторон, называемых катетами. Однако, мало кто понимает, что это математическое равенство является не чем иным, как частным случаем закона косинусов. Показать это несложно, если записать изучаемую теорему для гипотенузы c. Тогда получается следующее равенство:

c² = a² + b² — 2*a*b*cos (90 °).

Если обратится к таблице тригонометрических функций, в ней видно, что косинус прямого угла равен нулю. В результате вычитаемое в правой части равенства обращается в ноль, и равенство сводится к типичной теореме Пифагора.

Пример решения задачи

Известно, что стороны треугольника равны 6 см, 8 см и 10 см. Необходимо найти площадь этой фигуры.

Для решения задачи можно воспользоваться ресурсами интернета, которые предлагают множество сайтов, где с использованием онлайн-калькуляторов можно по известным данным найти нужную величину. Тем не менее представляет интерес решить эту задачу с использованием теоремы косинусов.

Площадь любого треугольника может быть вычислена так:

S = ½*a*h.

Здесь h — высота, проведенная к a. Известные стороны a = 6 см, b = 8 см, c = 10 см. Чтобы найти высоту h следует сначала рассчитать угол между a и c. Для этого можно применить закон косинусов:

β = arccos ((a² + c² — b²)/(2*a*c)) = arccos ((6² + 10² — 8²)/(2*6*10)) = 53,13 °.

Теперь, если рассмотреть треугольник, образованный высотой h, стороной c и частью стороны a, можно увидеть, что он является прямоугольным (c — гипотенуза). В нем h может быть найдена через синус угла β:

h = c*sin (β) = 10* sin (53,13 °) = 8 см.

Длина высоты h равна таковой для стороны b. Это означает, что исходный треугольник являлся прямоугольным (можно проверить через теорему Пифагора). Его площадь составляет:

S = ½*a*h = ½*a*b = ½*6*8 = 24 см².

Таким образом, теорема косинусов является универсальным инструментом для решения геометрических задач с треугольниками. С помощью нее по трем известным параметрам можно найти все остальные характеристики фигуры, включая ее площадь.