Уравнение биссектрисы в треугольнике - формула, свойства и решение задач

Прямая на плоскости
Задачи по геометрии могут относиться к одному из двух принципиально отличающихся случаев. Это следующие:
- На плоскости, где достаточно двух координат для описания любых геометрических объектов.
- В трехмерном пространстве, где любая точка имеет три координаты.
Когда рассматривают треугольники и их элементы, то в ряде ситуаций речь идет именно о двумерном пространстве. В нем всякая прямая линия может быть выражена в виде нескольких математических форм или уравнений. Чаще всего используются следующие типы:
- Общий. Он также называется универсальным. Прямая представляет собой следующую математическую запись: A*x + B*y + C = 0. Здесь A, B, C — числовые коэффициенты, x и y — переменные, являющиеся координатами. Сразу нужно отметить, что эта форма представления прямой используется для составления уравнения биссектрисы угла. Для удобства геометрического изображения общую форму записи часто представляют в виде y = f (x). Нужно понимать, что указанной форме в пространстве соответствует не прямая, а плоскость.
- Канонический или уравнение в отрезках. Имеет оно такой вид: y/p + x/q = 1. Здесь p, q — это координаты, в которых прямая пересекает оси y и x, соответственно, поэтому удобно ее изображать в координатной системе.
- Векторный. Это один из важных типов представления прямой как на плоскости, так и в пространстве. По сути, он является исходным представлением, из которого можно получить все остальные. Математически он записывается так: (x, y) = (x0, y0) + α*(v1, v2). Где (x0, y0) — координаты произвольной точки, которая лежит на прямой, (v1, v2) — направляющий вектор, он параллелен заданной прямой, α — произвольное число, параметр.
- Параметрический. Этот тип представляет собой систему уравнений, которую удобно использовать во время преобразования одного вида прямой в другой. Представляет он собой следующую математическую запись: x = x0 + α*v1; y = y0 + α*v2. Несложно понять, что, выражая параметр α, можно получить уравнения общего вида и в отрезках. Объединяя же систему уравнений в одно выражение, получается векторная форма записи прямой.
Делящая пополам угол линия
Каждый школьник, который знаком с азами геометрии, знает, что прямая, делящая на две равные части произвольный угол, называется биссектрисой. Этот элемент присутствует для любой фигуры, которая в своем составе содержит какой-либо угол.
Другое определение биссектрисы гласит, что она представляет собой геометрическое расположение точек, которые равноудалены от соответствующих сторон углового объекта. Например, если имеется угол dac, то любая из точек биссектрисы находится на одинаковом расстоянии как от отрезка da, так и от отрезка ac.
Способы построения
В классах общеобразовательных школ рассматривают два основных способа построения биссектрисы. Это следующие:
- С помощью транспортира. Для этого следует измерить заданный угол в градусах, разделить его пополам. Полученное значение отметить в виде точки. Затем соединить вершину угла и поставленную точку внутри него. Получится искомый элемент.
- С использованием циркуля и линейки. Эти инструменты еще проще применять для построения биссектрисы, чем транспортир. Сначала необходимо установить в вершину угла ножку циркуля и отметить дугами пересечение окружности со сторонами. Затем, в точки пересечения поставить ножку циркуля и провести две окружности. Соединив две точки их пересечения одной прямой, можно получить биссектрису.
Имеется еще один метод, который позволяет просто начертить изучаемый линейный элемент. Для его использования нужна линейка со шкалой. С помощью нее следует от вершины угла отмерить два одинаковых отрезка любой длины. Затем соединить концы этих отрезкой, получится равнобедренный треугольник.
В нем любая биссектриса также является высотой и медианой. Поэтому, разделив его ровно пополам линейкой, и соединив полученную точку с вершиной, можно получить требуемую линию.
Основные свойства
Чтобы найти по координатам вершин длину биссектрисы треугольника, следует знать некоторые свойства этого геометрического объекта. Главным из них является существование двух линий, которые делят пополам исходный угол. Нужно понимать, что угол бывает не только внутренний, но и внешний. По сути, оба типа образуются при пересечении двух прямых. Нетрудно доказать, что биссектрисы каждого из них пересекаются всегда под углом 90 °.
Еще одним важным свойством является тот факт, что пересекаются в одной точке биссектрисы треугольника. Она представляет собой центр вписанной в фигуру окружности. Чтобы это доказать, следует вспомнить, что каждая точка биссектрисы равноудалена от соответствующих сторон угла.
Пусть имеется треугольник ABC. У него две биссектрисы пересекаются в точке O. Пусть это будут линии для углов A и B. Расстояние от O до AC должно быть равно таковому от O до AB. С другой стороны, расстояния от O до AB и до BC также одинаковые. Поэтому дистанции от O до BC и до AB также равны, а значит, точка O лежит на биссектрисе угла C и центром вписанной окружности является.
В треугольнике рассматриваемый геометрический элемент используется часто для решения задач благодаря применению так называемой теоремы биссектрис. Чтобы ее сформулировать максимально простым языком, следует представить, что имеется треугольник произвольного типа ABC. В нем проведена биссектриса AD, где точка D лежит на прямой BC. Тогда справедливо следующее выражение:
DB/DC = AB/AC.
Это равенство не является очевидным, однако, оно было известно еще древнегреческим мыслителям. Эту теорему в несколько иной форме можно встретить в знаменитом труде по геометрии Евклида, который называется «Элементы». Доказательство равенства несложно провести с использованием небольших дополнительных построений и применением признаков подобия треугольников.
Наконец, отрезок биссектрисы, который заключен между вершиной и противоположной стороной треугольника, имеет определенную длину. Вычислить ее можно с использованием следующего равенства:
L (A) = 2/(b+c)*(b*c*p*(p-a))^0,5.
Это равенство прописано для угла A треугольника ABC, в котором противоположная A сторона имеет длину a. Стороны AB и AC имеют длины c и b, соответственно. Буквой p обозначен полупериметр фигуры.
Важно понимать, если нарисовать прямоугольный параллелепипед (или иную фигуру) в пространстве, и построить биссектрису для его граней, она будет представлять собой не прямую, а плоскость.
Уравнение биссектрисы треугольника
Когда известно, как математически записывать выражения для прямых, и что такое биссектриса, и какими свойствами она обладает, можно переходить к непосредственному нахождению ее уравнения.
В общем случае задача решается в результате применения следующей последовательности действий (существуют онлайн-ресурсы, позволяющие решить данную проблему):
- Сначала требуется определить уравнения двух сторон угла по их координатам. Это легко сделать в векторной форме, а затем, преобразовать ее в выражение общего типа.
- Далее, необходимо найти уравнение биссектрис первого координатного угла, прировняв расстояния от ее точек до соответствующей стороны. Рабочая формула имеет вид: |A1*x + B1*y + C|/(A1 2 + B1 2 )^0,5 = |A2*x + B2*y + C|/(A2 2 + B2 2 )^0,5. Следует обратить внимание на наличие двух различных решений этого равенства, поскольку в числителе стоит модульное выражение. Два полученных уравнения говорят о наличии взаимно перпендикулярных биссектрис для углов треугольника внутреннего и внешнего.
- Для внутреннего угла искомое уравнение можно найти, если определить точку пересечения соответствующей прямой с противоположной исходному углу стороной треугольника. Та точка, сумма расстояний от которой до концов отрезка будет равна длине стороны, принадлежит искомой биссектрисе.
Пример решения задачи
Пусть, треугольник задан координатами A (1, -1), B (0, -2), C (3,0). Следует уравнение биссектрисы найти для угла B и ее длину вычислить.
Сначала нужно написать уравнения прямых для сторон AB и CB, получается:
- AB: (x, y) = (1, -1) + α*(-1, -1) ==> y — x + 2 = 0;
- CB: (x, y) = (3, 0) + α*(-3, -2) ==> 3*y — 2*x + 6 = 0.
Составить уравнения биссектрис можно так:
| y — x + 2 |/(2)^0,5 = | 3*y — 2*x + 6 |/(13)^0,5.
Решение этого уравнения приводит к следующим двум выражениям для взаимно перпендикулярных биссектрис:
- y*(6−3*3 0,5) + x*(3*3 0,5 −4)+12−6*3 0,5 = 0;
- y*(3*3 0,5+6) -x*(4+3*30,5)+12+6*3 0,5 = 0.
Чтобы определить, какая из двух прямых является искомой для треугольника заданного, следует точку пересечения каждой из них со стороной AC найти. Уравнение для AC имеет вид:
x = 2*y + 3.
Подставляя его в каждое из выражений для биссектрис, можно получить две точки пересечения:
- D1 = (-0,2515;-1,6258);
- D2 = (1,556;-0,722).
При этом длина основания AC составляет 2,236 единицы через единичный вектор. Расстояние от точек D1 и D2 до A, C равно:
- D1A = 1,4; D1C = 3,635;
- D2A = 0,621; D2C = 1,614.
Видно, что точка пересечения второй прямой D2 лежит между A и C, поэтому соответствующее ей уравнение биссектрисы является ответом на задачу. Ее длину можно вычислить по формуле для модуля вектора BD2:
BD2 = 2,014 единицы.
Таким образом, для определения в треугольнике биссектрисы уравнения по координатам следует уметь находить векторную форму выражений для прямой по координатам двух точек. Также нужно знать свойства делящей пополам угол линии.
Все тесты
- Астрономия
- Биология
- Окружающий мир
- Психология
- Пунктуация
- Орфография
- Фонетический разбор
- Информатика
- Экономика
- Сочинения
- Карьера
- Биографии
- Физика
- Алгебра
- ОБЖ
- Геометрия
- Подготовка к ЕГЭ
- Химия
- География
- История
- Литература
- Краткие содержания
- Русский язык
- Обществознание
- Математика
- Правоведение
- Тест на тему Тест: Чем занимается орнитолог? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Основные признаки паукообразных 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Характеристика гомологичных и аналогичных органов растений 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Биология как наука это? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что вы знаете о классе ресничные черви? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что вы знаете о ленточных червях? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что вы знаете о семействе лилейных? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Как происходит питание грибов? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Строение и жизненный цикл печеночного сосальщика 5 вопросов
- Тест на тему Значение поведения в жизни организмов 5 вопросов
- Тест на тему Нейрогуморальная регуляция процессов жизнедеятельности организма 5 вопросов
- Тест на тему Раздражимость – свойство живых организмов 5 вопросов
- Тест на тему Основные закономерности изменчивости 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Значение двигательной активности для здоровья человека 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Организм как единое целое 5 вопросов
- Тест на тему Основные способы движения животных 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Искусственные экосистемы - что это и для чего нужны 5 вопросов
- Тест на тему История развития органического мира 5 вопросов
- Тест на тему Личная гигиена и здоровье человека 5 вопросов
- Тест на тему Виды и особенности двоякодышащих рыб 5 вопросов
- Тест на тему В чем разница между плазмолизом и деплазмолизом? 5 вопросов
- Тест на тему Виды и особенности насекомоядных животных 5 вопросов
- Тест на тему Типы и описание работы механорецепторов 5 вопросов
- Тест на тему Методы и значение селекции микроорганизмов 5 вопросов
- Тест на тему Строение и особенности кровеносной системы 5 вопросов
- Тест на тему Строение и функционирование кровеносной системы рыб 5 вопросов
- Тест на тему Признаки и связь генотипа и фенотипа 5 вопросов
- Тест на тему Описание процессов ассимиляции и диссимиляции 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что вы знаете про борецкую роспись? 5 вопросов
- Тест на тему Пресный водоем как природное сообщество 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Природное сообщество луга 5 вопросов
- Тест на тему Лесное природное сообщество 5 вопросов
- Тест на тему Лесные зоны в России 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Сообщение про манула для школьников 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Сообщение о волчьем лыке по окружающему миру 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Сообщение про грача для учеников 2 класса 5 вопросов
- Тест на тему Описание выдры для детей 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Рассказ про герань по окружающему миру 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Описание и свойства шиповника — доклад для 2 класса 5 вопросов
- Тест на тему Сообщение о планете Юпитер для детей 5 вопросов
- Тест на тему Правила поведения на лугу для детей 5 вопросов
- Тест на тему Доклад о снежном барсе для учеников 2 класса 5 вопросов
- Тест на тему Доклад о работе скорой помощи для детей 5 вопросов
- Тест на тему Организм человека - доклад по окружающему миру 5 вопросов
- Тест на тему Части термометра - доклад для 2 класса 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что загрязняет воздух - доклад по окружающему миру 5 вопросов
- Тест на тему Правила поведения в общественном транспорте для детей 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Сообщение про скворца для учеников 2 класса 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Описание лебедя — сообщение для 4 класса 5 вопросов
- Тест на тему Рассказ про шмеля по окружающему миру 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Описание и свойства фикуса - доклад для 2 класса 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Описание и применение можжевельника — доклад для 2 класса 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Доклад про гладиолус по окружающему миру 5 вопросов
- Тест на тему Сообщение для 3 класса о Нидерландах 5 вопросов
- Тест на тему Доклад на тему: «Население и культура Австрии» 5 вопросов
- Тест на тему Медуница - описание для детей 5 вопросов
- Тест на тему Кукушка: описание птицы для детей 5 вопросов
- Тест на тему Доклад о панде для учеников 2 класса 5 вопросов
- Тест на тему Лось: описание животного 5 вопросов
- Тест на тему Известные достопримечательности мира 5 вопросов
- Тест на тему Страны Центральной Европы и их столицы 5 вопросов
- Тест на тему Возрождение Руси после ордынского ига 5 вопросов
- Тест на тему Особенности экономики Челябинской области 5 вопросов
- Тест на тему Особенности экономики Кировской области 5 вопросов
- Тест на тему Путешествие по разным материкам Земли 5 вопросов
- Тест на тему Наши подземные богатства 5 вопросов
- Тест на тему Модель цепи питания, схемы и описание 5 вопросов
- Тест на тему 10 интересных фактов о домашних животных 5 вопросов
- Тест на тему Откуда на Земле берется лед 5 вопросов
- Тест на тему Ледяной дождь – что это такое и где его можно увидеть 5 вопросов
- Тест на тему Интересные факты о городе Родос для детей 5 вопросов
- Тест на тему В каких цветах собаки видят наш мир? 5 вопросов
- Тест на тему Свойства и развитие высших психических функций человека 5 вопросов
- Тест на тему Классификация поведенческих реакций человека 5 вопросов
- Тест на тему Чем интроверты отличаются от экстравертов? 5 вопросов
- Тест на тему Обзор методов профилактики стресса 5 вопросов
- Тест на тему Симптомы и методы борьбы с апатией 5 вопросов
- Тест на тему Что такое ненасильственное, или экологичное общение: методика Розенберга 5 вопросов
- Тест на тему «Подскажите пожалуйста» – выделяется запятыми или нет 5 вопросов
- Тест на тему «Интересно» – выделяется запятыми или нет? 5 вопросов
- Тест на тему «При необходимости» – выделяется запятыми или нет? 5 вопросов
- Тест на тему «По возможности» – выделяется запятыми или нет? 5 вопросов
- Тест на тему «На мой взгляд» – выделяется запятыми или нет? 5 вопросов
- Тест на тему “Собственно”: выделяется запятыми или нет? 5 вопросов
- Тест на тему «В отличие от»: запятая нужна или нет? 5 вопросов
- Тест на тему «Естественно»: выделяется запятыми или нет? 5 вопросов
- Тест на тему «Вследствие» – выделяется запятыми или нет? 5 вопросов
- Тест на тему «На данный момент» – выделяется запятыми или нет? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: «ПодрОсли» или «подрАсли» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ПослЕ» или «послИ» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ПравилО» или «правилА» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «МалЕнький» или «малИнький» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ВЕди» или «вИди» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: «Несчастье» или «не счастье» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ИзгибаТЬся» или «изгибаТся» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ВЕлико» или «вИлико» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «КАртина» или «кОртина» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «КомнАта» или «комнОта» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ОбидЕться» или «обидИться» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «МОрозов» или «мАрозов» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Овраг» или «Авраг» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: «ГлаСный» или «глаСТный» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ОпредЕлить» или «опредИлить» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «СерДЦе» или «серЦе» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «КОльцо» или «кАльцо» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «АВтобус» или «аФтобус» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «КроССворд» или «кроСворд» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «АВтомобиль» или «аФтомобиль» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ПечЁнка» или «печОнка» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Дед Мороз» или «дед Мороз» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «НачИнающих» или «начЕнающих» - как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ПрАшло» или «прОшло» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ПИсать» или «пЕсать» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ЦелЕй» или «целИй» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «СледУЮщую» или «следУщую» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ПОшло» или «пАшло» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Осеннюю» или «осенюю» – как правильно пишется 5 вопросов
- Тест на тему «РаССтраивайся» или «раСтраивайся» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «УчаСТвующих» или «учаВствующих» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Вырастать» или «выростать» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Затем» или «за тем» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Всерьез» или «в серьез» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Те же» или «теже» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «РаСтаять» или «раССтаять» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ПозвОню» или «позвАню» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ЗадаННых» или «задаНых» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Не рАскрыта» или «не рОскрыта» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ПЕтляющий» или «пИтляющий» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ПрЕдать» или «прИдать» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «УвАжать» или «увОжать» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему СГС, ПГС, СИС: виды сказуемых и как их отличать 5 вопросов
- Тест на тему Правописание суффиксов -н- и -нн- в кратких причастиях 5 вопросов
- Тест на тему Правописание суффиксов -ива, -ева в глаголах 5 вопросов
- Тест на тему Правописание суффиксов -ем, -им в причастиях 5 вопросов
- Тест на тему «УвидИшь» или «увидЕшь» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: «Случай» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Удобнее» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Надолго» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Локтя» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Откупорить» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Стоящий» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Ненадолго» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Деланный» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Бальмонт» – как правильно ставить ударение 5 вопросов
- Тест на тему «Ударный» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему Правовое регулирование в информационной сфере 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Информационные ресурсы и сервисы Интернета 5 вопросов
- Тест на тему Создание и редактирование мультимедийной презентации 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Создание и редактирование текстовых документов на компьютере 5 вопросов
- Тест на тему Сжатое изложение на тему «Испытания ждут дружбу всегда» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: «Философия истории в романе Л. Н. Толстого “Война и мир”» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: «Великая Отечественная война в моей семье» 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Сочинение ЕГЭ на тему: «Борьба с фашизмом была, может быть, первой в истории человечества всемирной заботой» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: «Репортаж с новостройки» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: «Романтика в нашей жизни» 5 вопросов
- Тест на тему Образ Луки в пьесе «На дне» М. Горького 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: «Смысл названия пьесы “Гроза”» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: «Жизненные принципы Чацкого и Молчалина» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: «Мое отношение к Петру Гриневу» 5 вопросов
- Тест на тему Смысл эпиграфа к поэме «Мцыри» М. Лермонтова 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: «Блокада Ленинграда» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: «Интерьер моего класса» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: «Описание смиренной, но опрятной обители» 5 вопросов
- Тест на тему Как соседи относились к Дубровскому в одноименном романе Пушкина? 5 вопросов
- Тест на тему Отношение Кирсанова и Базарова к аристократии 5 вопросов
- Тест на тему Философия и жизненные принципы Сатина 5 вопросов
- Тест на тему Анализ романа “Преступление и наказание” Ф. Достоевского 5 вопросов
- Тест на тему Анализ комедии “Ревизор” Н. Гоголя 5 вопросов
- Тест на тему «Почему мне понравился роман “Дубровский”» 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в рассказе “Детство Темы” Н. Гарина-Михайловского 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в сказке “Снежная королева” Х. К. Андерсена 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в повести “Муму” И. Тургенева 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: «Один день из жизни Ильи Обломова» И. Гончарова 5 вопросов
- Тест на тему Болезнь и смерть отца Владимира Дубровского - краткий пересказ 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: “Почему Чацкий уехал из Москвы на 3 года?” 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в повести “Дети подземелья” В. Короленко 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Биография Чарльза Диккенса: детство, книги, личная жизнь 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Биография поэтессы Надежды Тэффи 5 вопросов
- Тест на тему Тест:Иван Шмелев: биография русского писателя, оказавшегося в эмиграции 5 вопросов
- Тест на тему Биография писателя Василия Белова 5 вопросов
- Тест на тему Биография австрийского композитора Йозефа Гайдна 5 вопросов
- Тест на тему Нерон: тиран и убийца или настоящий император? 5 вопросов
- Тест на тему Биография советского поэта Р. Гамзатова 5 вопросов
- Тест на тему Биография советского писателя и поэта В. Шаламова 5 вопросов
- Тест на тему Биография российского государственного деятеля П. Столыпина 5 вопросов
- Тест на тему Биография русского поэта В. Хлебникова 5 вопросов
- Тест на тему Биография инженера-изобретателя М. Калашникова 5 вопросов
- Тест на тему Биография поэта и писателя Вальтера Скотта 5 вопросов
- Тест на тему Биография башкирского поэта и писателя Мустая Карима 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что вы знаете об усеченной пирамиде? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Как хорошо вы знаете теорему о сумме углов треугольника? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что такое высота треугольника и как ее вычислить 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что такое радиус шара и как его найти 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Как правильно решать математические задачи на ЕГЭ 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что делать с неиспользованными черновиками на ЕГЭ? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Сочинение ЕГЭ на тему: «Письмо солдату от школьника» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение ЕГЭ на тему: «Какие человеческие качества для вас наиболее ценны?» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение ЕГЭ на тему: «Изменить себя и изменить себя - в чем разница?» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение ЕГЭ на тему: «Что может привести человека в отчаяние?» 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Минимальное количество баллов ЕГЭ 2023 по всем предметам 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Все средства художественной выразительности для ЕГЭ 2023 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Сочинение ЕГЭ на тему: «Честь и совесть: как связаны эти понятия?» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение ЕГЭ на тему: «Можно ли прожить без мечты?» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение ЕГЭ на тему: «Нужно ли стремиться понять себя?» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение ЕГЭ на тему: «Природа и культура в жизни человека» 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Сочинение ЕГЭ на тему: «Семья, общество и Отечество в жизни человека» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение ЕГЭ на тему: «Духовно-нравственные ориентиры в жизни человека» 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Сочинение ЕГЭ на тему: «Какие средства не оправдывает никакая цель?» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение ЕГЭ на тему: «Способен ли робкий человек совершить смелый поступок?» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение ЕГЭ на тему: «Какую жизненную цель можно назвать благородной?» 5 вопросов
- Тест на тему Аргументы и тезисы к сочинению ЕГЭ 2023 по русскому языку на тему: «Природа и человек» 5 вопросов
- Тест на тему Аргументы из литературы к сочинению ЕГЭ 2023 на тему: «Любовь» 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Структура сочинения на ЕГЭ по русскому языку 2023 года 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Типичные ошибки школьников при написании ЕГЭ по русскому языку 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Сочинение ЕГЭ на тему: «Как война влияет на человека» 5 вопросов
- Тест на тему Аргументы для итогового сочинения по роману «Капитанская дочка» А.С. Пушкина 5 вопросов
- Тест на тему Аргументы для итогового сочинения по роману «Война и мир» Л. Н. Толстого 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Каково географическое расположение Крыма? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Какие климатические пояса в Австралии? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Внутренние воды Северной Америки 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что включают в себя агроклиматические ресурсы? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Какие моря есть в бассейне Северного Ледовитого океана? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что вы знаете о Восточно-Сибирском море? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что вы знаете об Охотском море? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Какие океаны и моря омывают берега Африки 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Топ-10 самых необычных животных-эндемиков Австралии 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что такое астероиды и когда они появились 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Население российского Поволжья: численность, этносы, традиции 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Полезные ископаемые Египта и особенности рельефа 5 вопросов
- Тест на тему Список портов, которые относятся к Северному Ледовитому океану 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Почва как особое природное образование 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Атмосфера и человек - влияние и взаимодействие 5 вопросов
- Тест на тему Литосфера и человек - изучение оболочки Земли 5 вопросов
- Тест на тему Мировой транспорт, его роль в размещении и развитии мирового хозяйства 5 вопросов
- Тест на тему Хозяйство Дальнего Востока - характеристика и особенности 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Географическое положение, население и особенности природы Дальнего Востока 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Размещение населения по территории нашей страны 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Районы Евразии - деление и характеристика 5 вопросов
- Тест на тему 10 распространенных растений в тропических лесах 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Формы и особенности рельефа зоны лесов 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Условные обозначения полезных ископаемых на карте 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Какие животные обитают во влажных тропических лесах 5 вопросов
- Тест на тему Герои космоса - доклад по географии 5 вопросов
- Тест на тему Земная кора: что это, строение и состав 5 вопросов
- Тест на тему Виды и характеристика вулканов нашей планеты 5 вопросов
- Тест на тему Список крупнейших городов Восточной Сибири 5 вопросов
- Тест на тему Характеристика растений Северной Америки 5 вопросов
- Тест на тему Основные течения Северного ледовитого океана 5 вопросов
- Тест на тему География гор Хибинов: расположение, рельеф, вершины 5 вопросов
- Тест на тему Рельеф и полезные ископаемые Балтийского щита 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Зачем Петр 1 подписал указ о единонаследии 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Когда и кем был подписан Бахчисарайский мир? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Колониальный захват Африки в 19-20 веках 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что вы знаете о теории официальной народности 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что вы знаете о петровском обществе? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что вы знаете про Башкирское восстание? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что вы знаете про внешнюю политику России в 1725 -1762 годах? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Экономическое развитие в 2000-е годы 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Политическая жизнь России в начале XXI века 5 вопросов
- Тест на тему Геополитическое положение России, её внешняя политика в 90-е гг. 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Национальная политика: Сопротивление имперским амбициям СССР 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Демократизация политической системы в СССР 5 вопросов
- Тест на тему Экономическая политика Б.Н. Ельцина и его команды 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Северо-Западная Русь Между Востоком и Западом 5 вопросов
- Тест на тему Римская империя в период правления императора Константина 5 вопросов
- Тест на тему Тест: История Черниговского княжества: основные события, экономика, культура 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Краткая история Великого княжества Смоленского 5 вопросов
- Тест на тему Период бироновщины в истории России 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Как Русь освободилась от ордынского ига 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Как было организовано общество в Древней Руси 5 вопросов
- Тест на тему Как жило племя радимичей в Древней Руси 5 вопросов
- Тест на тему Биография Всеволода Большое гнездо и годы правления 5 вопросов
- Тест на тему История русско-польской войны: причины, ход, итоги 5 вопросов
- Тест на тему Годы правления князя Василия 3 Ивановича 5 вопросов
- Тест на тему Как жили крестьяне при Петре 1? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: История вхождения Украины в состав России в 17 веке 5 вопросов
- Тест на тему Принятие Новоторгового устава в 1667 году: суть и значение 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Как был подписан вечный мир России с Польшей в 1686 году 5 вопросов
- Тест на тему Суть и условия Андрусовского перемирия России и Речи Пополотой 5 вопросов
- Тест на тему Краткая история Киевской Руси в период 9-12 века 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Основные занятия и быт древних славян 5 вопросов
- Тест на тему Суть и условия Белградского мира с Турцией 5 вопросов
- Тест на тему Как жили племена полян в Древней Руси 5 вопросов
- Тест на тему Суть и последствия акта о супрематии в Англии в 1534 году 5 вопросов
- Тест на тему Биография Ивана 2 Красного и основные события во время княжения 5 вопросов
- Тест на тему Детали Угличского дела (убийства царевича Дмитрия) 5 вопросов
- Тест на тему Участие батареи Раевского в Бородинском сражении 5 вопросов
- Тест на тему История битвы при Нейзби: предпосылки, ход, итоги 5 вопросов
- Тест на тему История Великого шелкового пути между Азией и Средиземноморьем 5 вопросов
- Тест на тему Период иконоборчества: сущность, предпосылки и хронология 5 вопросов
- Тест на тему Поход женщин на Версаль 5–6 октября 1789 5 вопросов
- Тест на тему Краткая история Карлукского каганата 5 вопросов
- Тест на тему История Великой Булгарии: от образования до распада 5 вопросов
- Тест на тему История зарождения демократии в Афинах 5 вопросов
- Тест на тему Главные события в истории Древнего мира 5 вопросов
- Тест на тему История образования славянских государств 5 вопросов
- Тест на тему Как было образовано Нововавилонское царство 5 вопросов
- Тест на тему История Людовика 18 - короля в изгнании 5 вопросов
- Тест на тему Правление и казнь короля Людовика 16 5 вопросов
- Тест на тему Как речь Уинстона Черчилля в Фултоне положила начало Холодной войны 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Как М. Шолохов создал "Тихий Дон"? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Анализ поэмы «Василий Теркин» А. Твардовского 5 вопросов
- Тест на тему Новаторские идеи А. П. Чехова в драматургии 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев рассказа “Лапти” И. Бунина 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в поэме “Русские женщины ” Н.А. Некрасова 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в рассказе “Цифры” И. Бунина 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Образы героев повести “Отрочество” Л.Н. Толстого 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в повести “Нос” Н.В. Гоголя 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в рассказе “Изумруд” А.И. Куприна 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Образы героев баллады “Василий Шибанов” А. Толстого 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Образы героев рассказа “Размазня” А.П. Чехова 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Образы героев в рассказе “Русский характер” А.Н. Толстого 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Образы героев в рассказе “В прекрасном и яростном мире” А. Платонова 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Образы героев рассказа “Каштанка” А.П. Чехова 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Образы героев в сказке “Премудрый пискарь” М. Е. Салтыкова-Щедрина 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Образы героев в рассказе “Человек на часах” Н.С. Лескова 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Образы героев в рассказе «Толстый и тонкий» А. П. Чехова 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Образы героев в рассказе «Злоумышленник» А. П. Чехова 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в балладе «Лесной царь» В. Жуковского 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Образы героев в повести «Майская ночь, или Утопленница» Н.В. Гоголя 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Образы героев в романе «Таинственный остров» Жюля Верна 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Образы героев в рассказе «Налим» А.П. Чехова 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в рассказа «Чудик» В. Шукшина 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в поэме «Железная дорога» Н. Некрасова 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Образы героев в сказке «Алиса в Стране чудес» Льюиса Кэрролла 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Образы героев в рассказе «Критики» В. Шукшина 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Образы героев в романе «Слепой музыкант» В. Короленко 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Характеристика Кутузова из романа «Война и мир» Л. Толстого 5 вопросов
- Тест на тему Образ Ромео в пьесе «Ромео и Джульетта» У. Шекспира 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в рассказе «Пересолил» А. Чехова 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Анализ повести «Очарованный странник» Н. Лескова 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Образы героев рассказа “Как я ловил человечков” Б. Житкова 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в сказке “Карлик Нос” Вильгельма Гауфа 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Образы героев в сказке “Городок в табакерке” В. Одоевского 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения “Воспоминания в царском Селе” А. Пушкина 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения “А вы могли бы?” В. Маяковского 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в "Темных аллеях" И. Бунина 5 вопросов
- Тест на тему Персонажи романа "Дон Кихот" Мигеля де Сервантеса 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев повести В. Распутина "Прощание с Матёрой" 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев повести “Заколдованное место” Н.В. Гоголя 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в рассказе “Лошадиная фамилия” А.П. Чехова 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в сказе “Хозяйка Медной горы” П. Бажова 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев повести “Черная курица, или Подземные жители” А. Погорельского 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в романе “Робинзон Крузо” Даниэля Дефо 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в поэме “Руслан и Людмила” А.С. Пушкина 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев рассказа “Хирургия” А.П. Чехова 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в романе “Дети капитана Гранта” Жюля Верна 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в рассказе “Васюткино озеро” В. Астафьева 5 вопросов
- Тест на тему Аргументы для итогового сочинения по рассказу «Улыбка» Р. Брэдбери 5 вопросов
- Тест на тему Аргументы для итогового сочинения по рассказу «Чудесный доктор» А. Куприна 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что изучает наука морфология? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что изучает наука фонетика? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: что изучает наука морфемика? 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Свод правил речевого этикета для детей 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что такое однородные и неоднородные определения 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что такое полные и неполные предложения? 5 вопросов
- Тест на тему Понятие и примеры жаргонизмов в русском языке 5 вопросов
- Тест на тему Как выполнить орфографический разбор слова 5 вопросов
- Тест на тему Правописание падежных окончаний у существительных 5 вопросов
- Тест на тему Сколько шипящих букв в русском алфавите? 5 вопросов
- Тест на тему Правописание гласных -ова-/-ева- в суффиксах глаголов 5 вопросов
- Тест на тему Что такое условное наклонение глагола и как его определить 5 вопросов
- Тест на тему План и примеры морфологического анализа глагола 5 вопросов
- Тест на тему Когда ставится тире в бессоюзном сложном предложении 5 вопросов
- Тест на тему В каких случаях употребляются отрицательные частицы НЕ и НИ 5 вопросов
- Тест на тему Как делать морфологический разбор частицы 5 вопросов
- Тест на тему Виды и примеры придаточных предложений 5 вопросов
- Тест на тему Как проверить парные согласные в корне слова 5 вопросов
- Тест на тему Что такое непарные согласные звуки: виды, примеры 5 вопросов
- Тест на тему Раздельное и дефисное написание частиц 5 вопросов
- Тест на тему Что такое формообразующие частицы и зачем они нужны 5 вопросов
- Тест на тему Правописание сложных союзов также, тоже, чтобы 5 вопросов
- Тест на тему Культура учебно-научного общения 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Синтаксический и пунктуационный разборы сложного предложения с различными видами связи 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Синтаксический и пунктуационный разбор бессоюзного сложного предложения 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что такое синтаксическая синонимия и для чего она нужна 5 вопросов
- Тест на тему Пунктуационные нормы современного русского языка 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Жанры публицистического стиля речи и их особенности 5 вопросов
- Тест на тему Значение, виды, примеры фразеологизмов в русском языке 5 вопросов
- Тест на тему Список и оттенки значений модальных частиц в русском языке 5 вопросов
- Тест на тему Изменяемые и неизменяемые формы глаголов в русском языке 5 вопросов
- Тест на тему Виды фонетических средств выразительности в русском языке 5 вопросов
- Тест на тему Способы словообразования имен прилагательных 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Что вы знаете о социальной дифференциации 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Борьба с международным терроризмом 5 вопросов
- Тест на тему Что такое наследство и как его получить 5 вопросов
- Тест на тему Какими правами и обязанностями обладают налогоплательщики 5 вопросов
- Тест на тему Правовое регулирование в сфере образования 5 вопросов
- Тест на тему Тест: Семья в России под защитой закона и государства 5 вопросов
- Тест на тему Какие банковские и страховые услуги есть для граждан 5 вопросов
- Тест на тему Особенности общения подростков со сверстниками 5 вопросов