Содержание:

Решение различных видов функций

Фактически данное задание может быть решено двумя различными способами:
  • Первый способ состоит в банальном решении каждой из функций путем подстановки различных переменных, и на основе этого составлении таблицы координат;
  • Вторым методом является запоминание уравнений по строению и их примерных изображений.
Важно! Решение данного задания вторым способом на деле не только более надежно, но и сэкономит большое количество времени, которое в дальнейшем можно спокойно потратить на решение более сложных заданий.
Всю подробную информацию о графиках классических функций и их внешнем виде можно найти в данной статье ниже по тексту.

Линейные

Линейные - являются первыми функциями, которые проходятся в школьном курсе математики. Получается, что они представляют собой обычные прямые линии.

Пример: y=4x, y=3x-7, y=5-6x

Для того чтобы построить график линейной функции по правилам математики, достаточно всего двух точек. В первую очередь для примера возьмем уравнение y=-2x+1. Нужно взять 2 не сильно отдаленных друг от друг числа, в нашем случае это будут 2 и -2. Далее нужно построить таблицу: в графу “x” вставить числа, которые мы придумали, а в графу “y” вставить результаты получившихся уравнений (табл.1).

Таблица 1. Координаты точек y=-2x+1

x -2 2
y -5 -3
В конечном итоге после построения точек необходимо соединить их прямой линией (рис.1).
Рис. 1. Изображение формулы y=-2x+1
Рис. 1. Изображение формулы y=-2x+1

Квадратичные

В функциях такого типа обязательным параметром является возведение x во вторую степень. В общем виде формула выражается уравнением:

\[ y\;=\;ax^2+b \]

Одной из особенностей такого выражения является невозможность появления в третьей и четвертой четверти без дополнительных коэффициентов . В зависимости от наличия дополнительных действий сложения и вычитания, график может быть повернут как вверх, так и вниз. Однако в любом случае он будет представлять собой дугу, которая в математике называется параболой. Также стоит обратить внимание, что самой нижней точке параболы является так называемая вершина. Находится же она с помощью специальной формулы:

\[ x=\frac{-b}{2a} \]

Подставив x в формулу параболы, находим значение координаты y. Для того чтобы построить такой график, необходимо знать как минимум 5 точек - координаты вершины параболы и по 2 точки на каждой из двух дуг. В частном случае, когда а=1, а b=0, имеем формулу y=x2. В этом случае вершину находить нет необходимости, так как она будет находиться в точке отсчета (0; 0) (рис.2).
Рис. 2. Изображение формулы y=x2
Рис. 2. Изображение формулы y=x2

Кубические и гиперболы

Кубическими называют уравнения, в которых имеется переменная в третьей степени, чаще всего x3.

\[ \;y=ax^3+b \]

При том, что по внешнему виду формула похожа на квадратичную функцию, на деле они имеют совершенно разное строение. В случае квадратичной любое число, даже отрицательное, при возведении во вторую степень становится положительным. Благодаря этому график и имеет симметричную форму, а также всегда только плюсовые значения. В третьей же степени отрицательные числа, соответственно, могут после всех действий становиться меньше нуля, из-за чего кубический график выглядит следующим образом (рис.3).
Рис. 3. Изображение кубической формулы
Рис. 3. Изображение кубической формулы
Формулы гипербол имеют выражения, в которых любое число делится на x. В общем виде формула выглядит следующим образом: ​\( y=\frac аx+b \)​​. Изображение ее так же, как большинства схожих заданий, строится с помощью 4 точек (риc.4).
Рис. 4. Гиперболические значения y=x3
Рис. 4. Гиперболические значения ​​\( y=\frac аx+b \)​

Подкоренные выражения

В общем виде данные уравнения выражаются как ​\( y=a\sqrt x+b \)​. Особенность графиков данного вида заключается в полном отсутствии каких-либо значений в третьей и четвертой четвертях координатной плоскости.
Важно! Такой феномен можно наблюдать благодаря тому, что под корнем не может быть отрицательное число (рис.5).
Рис. 5. Изображение подкоренного выражения
Рис. 5. Изображение подкоренного выражения

Тригонометрические функции и их особенности

Отдельной темой представлены тригонометрические графики. Так, фактически уравнения синуса и косинуса являются четными, непрерывными волнами. На рис.6 функция y = sin x изображена синим цветом, а y = cos x - красным.
Рис. 6. График функций y = sin x и y = cos x
Рис. 6. График функций y = sin x и y = cos x
Период такой функции, то есть момент, за который функция проходит полный круг и возвращается в исходную точку, равен ​\( 2\mathrm\pi \)​. Тангенс и котангенс также имеют свои графики и по сути являются линиями пересечения выражений синуса и косинуса. На рисунке 7, что представлен ниже, график y = tg x синего цвета, а функции y = ctg x, соответственно, красного.
Рис. 7. Графики функций y = tg x и y = ctg x
Рис. 7. Графики функций y = tg x и y = ctg x
Выучив все виды функций, можно легко увеличить средний балл за абсолютно любой тест порой на целых 3-4 единицы. Это может повлиять не просто на итоговую оценку, а даже на поступление в университет.