Как перевести десятичную дробь в обыкновенную

Содержание:

Как сокращать дроби
Как превратить десятичную дробь в обычную?
Самое трудное (для тех, кому не все равно)

Преобразование десятичных дробей в обыкновенные – навык нужный: в жизни нам приходится “переводить” проценты – в рубли, пропорции кулинарных рецептов – в граммы и миллилитры. Но прежде чем познакомиться с парой полезных алгоритмов по “превращению дробей”, вспомним, как сокращаются простые дроби. Нам это пригодится.

Как сокращать дроби

Сократить дробь – значит разделить числитель и знаменатель на одно и то же (максимально возможное!) число. Иногда это число очевидно, иногда – нет. Например: в дроби оба числа делятся на 5. Разделим: 5 : 5 = 1, 10 : 5 = 2, следовательно: = \( \frac{1}{2} \). \( \frac{15}{50} \)= \( \frac{3}{10} \)(разделили все на 5) \( \frac{45}{81} \)= \( \frac{5}{9} \)(сократили на 9) Можно эту процедуру провести в несколько шагов: \( \frac{24}{108} \)= \( \frac{8}{36} \)= \( \frac{2}{9} \)(сначала на 3, потом на 4, а всего на 12).

Важно! Делить числитель и знаменатель надо до тех пор, пока общие делители не закончатся, то есть пока дробь не станет несократимой.

В нашем случае знаменатель всегда будет кратен 10-и: 10, 100, 1000, 10000 и так далее. Значит, общие делители для обоих “этажей” будут те, на которые делятся эти круглые числа: 2, 4, чаще всего – 5, ну и 8, 10, 20, 25, 50 и далее. Если сразу не отыщете нужное, набирайте их постепенно. Например: как сократить дробь \( \frac{750}{1000} \)?

Разделим 750 и 1000 на 10 – получим \( \frac{75}{100} \).
Теперь, конечно же, на 5 – получится \( \frac{15}{20} \).
Наконец, последний раз на 5 – вышло \( \frac{3}{4} \). Больше делить не на что.

Итого: \( \frac{750}{1000} \)= \( \frac{75}{100} \) = \( \frac{15}{20} \) = \( \frac{3}{4} \). Можно было сразу сократить на 250 (10 × 5 × 5 = 250). Вот теперь можно переходить к главному.

Как превратить десятичную дробь в обычную?

Десятичные дроби (ДД) записываются в строчку: целая часть – до запятой, дробная – после запятой. Например, 3,45 или 0,299. Обыкновенные (ОД) пишут “в два этажа”: вверху – числитель, внизу – знаменатель. Целую часть – перед дробью. Например: \( \frac{4}{5} \), \( \frac{25}{70} \), 3\( \frac{2}{7} \). Есть два основных пути перевода десятичной дроби в обычную и их варианты.

Первый способ – механический

Попробуем 0,05 превратить в \( \frac{1}{20} \):

Запишем в числитель значимые цифры ДД (без нулей слева и запятых), а в знаменатель – единицу: \( \frac{5}{1} \).
Добавим к единице столько нулей, сколько знаков после запятой в исходном числе 0,05, то есть два: \( \frac{5}{100} \).
Сократим получившуюся ОД на 5, получим \( \frac{1}{20} \).

Результат решения: 0,05 = \( \frac{5}{100} \) = \( \frac{1}{20} \). ДД с целой частью, например 3,075, преобразуем так:

Запишем в числитель все цифры без запятой: \( \frac{3075}{} \).
В знаменатель – “1” и столько “0”, сколько знаков после запятой в числе 3,075 – три: \( \frac{3075}{1000} \).
Сократим на 25: \( \frac{3075}{1000} \)= \( \frac{123}{40} \) (можно постепенно, два раза по 5).
Если далее следуют еще какие-то вычисления, можно оставить ее в таком виде. Если нет, превратим неправильную дробь в правильную, выделив целую часть, 123 : 40 = 3 (и 3 в остатке). Значит - \( \frac{123}{40} \) = 3\( \frac{3}{40} \)

Ход преобразований: 3,075 = \( \frac{3075}{1000} \) = \( \frac{123}{40} \) = 3\( \frac{3}{40} \). Или так:

Оставляем целое ДД “за кадром” и займемся только дробным компонентом: 3,075 – это 3 + 0,075:
- 3 пока не трогаем;
- 0,075 переводим в ОД: \( \frac{75}{1000} \)
  .
Сокращаем полученную дробь на 25: \( \frac{75}{1000} \) = \( \frac{3}{40} \).
Возвращаем целую часть на свое место, соединяем: 3,075 = 3\( \frac{3}{40} \).

Вся последовательность: 3,075 → 0,075 = \( \frac{75}{1000} \) = \( \frac{3}{40} \) → 3\( \frac{3}{40} \).

Второй способ – “на слух”

Этот подход более естественный. Каждый легко запишет под диктовку:

восемь/девятых – \( \frac{8}{9} \);
одиннадцать/тридцатых – \( \frac{11}{30} \);
сто две/триста семнадцатых – \( \frac{102}{317} \).

Также можно выразить и десятичную дробь, например, 0,45:

0, 45 – это (слушаем!) сорок пять/сотых – \( \frac{45}{100} \);
Теперь сократим на 5: \( \frac{45}{100} \) = \( \frac{9}{20} \).

В итоге получаем: 0,45 = \( \frac{45}{100} \) = \( \frac{9}{20} \). Целое, если оно есть, можно “отложить на потом” и вернуть в конце вычислений. Пусть требуется выразить 14,408 в виде ОД:

14 целых не трогаем. Превращаем: 0,408 = \( \frac{408}{1000} \).
Сокращаем на 8: \( \frac{408}{1000} \) = \( \frac{51}{125} \).
Соединяем целую и дробную части.

Ход решения: 14, 408 = 14\( \frac{408}{1000} \) = 14\( \frac{51}{125} \).

Важно! Если перед десятичной дробью был знак “минус”, то он сохраняется и перед обыкновенной дробью. Например: -2,25 = -2= -2.

Еще несколько примеров:

1, 08 – одна целая, восемь сотых – 1\( \frac{8}{100} \) = 1\( \frac{2}{25} \) (дробную составляющую уменьшили в 4 раза);
5,0125 – пять целых, сто двадцать пять/десятитысячных – 5\( \frac{125}{1000} \) = 5\( \frac{1}{80} \) (сократили на 125);
0,648 – шестьсот сорок восемь тысячных – \( \frac{648}{1000} \) = \( \frac{81}{125} \) (разделили все на 8).

Самое трудное (для тех, кому не все равно)

Что делать, если нужно преобразовать периодическую десятичную дробь? Не вдаваясь в дремучие подробности, познакомимся с надежным алгоритмом. Итак, требуется выразить 1,(6) в виде ОД. Пусть обычная дробь – это x, который должен получиться из 1,(6). x = 1,(6) - умножим обе части равенства на 10 10 x = 16,(6) - вычтем из обеих частей x (или 1,(6) – ведь это одно и то же) 10 x - x = 16,(6) - 1,(6) 9 x = 15 x = \( \frac{15}{9} \) Таким образом, 1,(6) = \( \frac{15}{9} \). Попробуйте разделить 15 на 9, и убедитесь, что получится 1,66666 – и так до бесконечности. Если усложнить: 0,1(23) нужно представить в виде \( \frac{a}{b} \). Пусть \( \frac{a}{b} \) – это x, то есть: x = 0,1(23) - умножим обе части равенства на 1000 1000 x = 123,(23) - вычтем из обеих частей 10 x, другими словами, 1,(23) 990 x = 122 x = \( \frac{122}{990} \) = \( \frac{61}{495} \)/ Значит - 0,1(23) = \( \frac{61}{495} \).

Важно! В этом примере пришлось умножить части уравнения не на 10, а на 1000, вычесть не х, а 10х. Это нужно для того, чтобы легче было искать разность периодов: из 123,(23) удобно вычитать 1,(23). Подходящие коэффициенты придется подбирать в каждом отдельном случае. Но общий ход решения остается постоянным.

Конечно, для проведения подобных вычислений можно обратиться к онлайн-калькулятору. Но, согласитесь, иметь в арсенале знаний оригинальный эффектный прием – особое удовольствие. Еще больше примеров для полного понимания этой темы смотрите в предложенном видео.