Линейная функция - свойства, формула и примеры построения графика

Общие сведения

В математике существует определение линейной функции, которое частично ее характеризует. Однако этого недостаточно для построения графика и дальнейшего исследования. На основании определений формулируются теоремы. Последние необходимо доказывать, а полученный результат применять для решения различных задач.

Функцией называется зависимость одной величины от другой, которая может быть выражена простым или сложным законом. Зависимая величина называется значением функции. Аргументом является любое значение независимой переменной, но при условии, что в результате подстановки она не обращает функцию в неопределенность.

Простым примером может быть выражение z = 1 / p (гипербола). Величина p может принимать любые значения, кроме 0. Примером линейной функции является тождество z = 4 * v. Следует отметить, что v может принимать любые значения. Если v = 0, то на графике следует отметить точку в центре координат (v = 0; z = 4 * 0 = 0).

После небольшого вступления необходимо разобрать прямоугольную систему координат, так как в ней нужно выполнять построение функции линейной зависимости.

Декартова система координат

Для построения графиков функций применяется специальный инструмент. Он называется координатной системой или плоскостью. Пользуется высокой популярностью прямоугольная декартова система координат (рис. 1), состоящая из двух осей. Последние пересекаются под прямым углом. Горизонтальная называется осью абсцисс, а вертикальная — ординат. Значения последней зависят от первой, хотя их можно поменять местами. Чтобы не было путаницы, нужно придерживаться первого варианта.

Рисунок 1. Декартова прямоугольная система координат на плоскости (ДПСКП).

Ось ординат часто обозначают OY, а абсцисс — OX. Точкой их пересечения считается О. Названия осей можно изменить. Кроме того, подобную операцию можно осуществить и с их центром. Например, его можно обозначить G, O', O1 и т. д. Этот прием используется для решения задач с несколькими системами. Например, одна из них находится в другой, то есть применяется для решения упражнений на повороты и подобия фигур.

Прямоугольная система разделена на четыре четверти. Если функция находится в первой (I), то она является положительной. Координаты также имеют свой знак (положительный или отрицательный). Эту особенность следует учитывать для решения задач. Например, пусть дана абсцисса t и ордината v. Специалисты рекомендуют разобрать свойства четвертей, используя такие обозначения и свойства знаков:

1. I: t > 0 и v > 0.
2. II: t < 0 и v > 0.
3. III: t < 0 и v < 0.
4. IV: t > 0 и v < 0.

Очень важно правильно находить координаты заданной точки. Для этого нужно опустить два перпендикуляра на оси абсцисс и ординат соответственно. Далее следует указать значения в круглых скобках. Координата независимой переменной указывается на первой позиции. Например, на рисунке 1 точка имеет координаты (3/2), однако принято использовать разделитель «;». В этом случае запись будет выглядеть таким образом: (3;2). Математики также рекомендуют учитывать масштаб осей.

Прямая пропорциональность и коэффициент

В математических дисциплинах существует понятие прямой и обратной пропорциональности. Его применяют для описания характера зависимости одной величины от другой. Этот способ является наиболее простым, поскольку в качестве коэффициента пропорциональности выступает определенное число.

Формула линейной функции записывается следующим образом: y = k * x + b. В этом тождестве следует обратить внимание на угловой коэффициент.

Аналитической моделью прямой пропорциональности в геометрии является прямая, а в физике — пучок света. В математике применяются линейные и нелинейные функции. Если проводить аналогию, то y = k * х относится к первой группе. Свободный член b может принимать любые значения. Расположение прямой линии зависит от k и b. Если последний равен 0, то график проходит через начало координат (точку пересечения осей). Кроме того, от k зависит угол наклона f, который измеряется в градусах:

1. k > 0: 0 < f < 90.
2. k < 0: f > 90.
3. k = 0: график параллелен оси абсцисс, поскольку у = 0 * х + b = b.

В первом случае угол f является острым, то есть он меньше 90 градусов, а во втором — тупым. Если к = 0, то, выполнив необходимые математические преобразования, можно сделать вывод о том, что он параллелен оси OX. Важным элементом, который применяется для построения графика, считается предварительное исследование искомой функции.

Элементы исследования функции

Исследование функции применяется для анализа (объяснения) ее свойств и построения графика с учетом характерных особенностей. Операцию следует выполнять строго по алгоритму. В некоторых случаях допускается опускать отдельные элементы, которые не нужны по условию задачи. Необходимо выяснить характер поведения функции. Анализируется она по такому перечню: поиск области определения и допустимых значений, нулей и знаковых промежутков, периодичности, монотонности и экстремумов. Также проводится анализ на четность.

Далее строится график с учетом результатов исследования, на основании которых можно построить даже приближенное графическое представление. Перед тем как приступить к исследованию, необходимо разобрать правила записи интервалов в математике. Этот момент является очень важным, поскольку от него зависит правильность построения и анализа функции. Существует такая международная форма их записи:

1. Жесткая граница [] обозначает, что число включено в заданный интервал.
2. Другой тип границ обозначается скобками (). Его суть заключается в том, что число не принадлежит промежутку.
3. Предусматривается возможность комбинирования двух типов границ.
4. При объединении интервалов применяется символ U.
5. Перед бесконечностью всегда следует ставить круглую скобку.
6. Распространенные обозначения бесконечности имеют такой вид: inf, бесконечность или ∞.
7. Комбинацию промежутков следует производить по возрастанию.

Нужно разобрать несколько примеров. Промежуток вида [2;5) означает, что в интервал входят следующие числа: 2, 3 и 4. Следует отметить, что бесконечность может быть положительной и отрицательной. В первом случае перед значком не указывается знак +, хотя при желании это можно сделать, поскольку эта форма записи не считается ошибкой. Отрицательная большая величина обозначается -inf, -бесконечность или -∞. Далее следует подробно рассмотреть область определения и понятие о допустимых значениях.

Области определения

Область определения функции — допустимый интервал значений, которые принимает ее аргумент. Иными словами, это значения независимой переменной, при подстановке которых выражение продолжает существовать и не считается неопределенностью. Простой пример: p = 1 / s. Это выражение является неопределенностью только при значении s = 0, поскольку на 0 делить нельзя. Обозначать область определения следует таким образом: D(имя функции). Для функции p = 1 / s запись производится в таком виде: D(p) = (-∞;0) U (0; ∞).

Следующим элементом является область допустимых значений функции (E(p)), которая представляет промежуток значений выражения на заданном интервале. Однако не следует путать эти два термина, поскольку вычисляются они по разным алгоритмам. Если D(p) записывается некоторым промежутком аргумента, то поиск E(p) сводится к определению точек экстремума и дальнейшей проверке их соответствия искомому интервалу.

Нулевые значения и знаковые интервалы

Нулями функции вида у = k * х + b называются все значения зависимой и независимой величин, при которых график пересекается с осями прямоугольной системы координат. Выполняется операция нахождения нулей по таким формулам:

1. OY (при х = 0): у = k * 0 + b = b.
2. OX (у = 0): х = - b / k.

Интервалом знакопостоянства называется совокупность определенных промежутков, на которых функция меняет знак на противоположный. Для этого применяется частичное исследование:

1. Указание интервала D(z).
2. Определение точек пересечения с ОХ.
3. Построение отдельной оси ОХ и отложение на ней точек разрыва и нулей.

У линейной зависимости нет точек разрыва, поскольку ее геометрической интерпретацией является прямая. Промежутки знакового поведения указываются таким образом:

1. Положительные: z(p) > 0 ->. Интервал, на котором область значений является только положительной.
2. Отрицательные: z(p) < 0 ->. Интервал отрицательных значений.

На ОХ следует обозначать только значения, которые входят в D(z). Все остальные нужно отсеивать, поскольку они являются ложными.

Характер периодичности и четности

Периодичность функции изучается в старших классах на алгебре. У этого термина есть соответствующее определение: периодической называется функция, поведение которой повторяется через определенный период. Линейная зависимость не считается периодичной, поскольку у нее отсутствуют интервалы сменного знакопостоянства. Для проверки необходимо применить такую формулу: z(p + T) = z(p - T). Подставляется некоторое значение периода, и анализируется поведение функции.

Чтобы проверить четность, нужно применить другую формулу: z(p) = z(-p). Для реализации проверки нужно подставить сначала положительное значение аргумента, а затем отрицательное. Далее следует сравнить ответы. Если равенство соблюдается, то можно сделать вывод о четности искомого тождества. Для определения нечетности существует другая формула: -z(p) = z(-p). Однако бывают случаи, когда ни одно из равенств не выполняется. Тогда математики говорят, что искомая функция не является четной и нечетной.

Монотонность, минимум и максимум

Монотонностью функции называется ее способность к возрастанию или убыванию на всей области допустимых значений. Для определения этого параметра существует элементарный алгоритм:

1. Определить первую производную и приравнять ее к 0.
2. Решить уравнение в первом пункте относительно аргумента.
3. Найти интервалы знакопостоянства.

Для поиска минимального и максимального значений (экстремумов) на необходимом промежутке или всей числовой оси нужно применить такую инструкцию:

1. Сопоставление D(z) отрезку, на котором следует найти экстремумы. Последний из них должен входить в D(z).
2. Взять производную исходной функции.
3. Найти стационарные точки. Для этого следует приравнять производную к 0 и решить уравнение.
4. Подставить результаты решения в первоначальную функцию.
5. Определить MIN и MAX.

Математики рекомендуют учитывать каждую точку. Кроме того, необходимо отсеять ложные корни. Для этого следует подставить полученные значения переменной в уравнение, а затем произвести расчеты. Должно быть соответствие левой и правой частей.

Свойства зависимости

Перед тем как решать задачи, нужно обратить внимание на свойства линейной функции. Существуют два положения, которые зависят от коэффициента k. При k > 0 функция обладает такими свойствами:

1. Графиком является прямая линия.
2. D(y) = (-∞;∞).
3. При отрицательных значениях аргумента значение функции эквивалентно отрицательной величине. Если независимая переменная — положительная величина, то и зависимая принимает только положительные значения. В этом моменте ключевую роль играет величина сдвига влево или вправо b.
4. Возрастает на E(у).
5. Отсутствие экстремумов.
6. Непрерывная и нечетная.
7. Период отсутствует.

Если угловой коэффициент меньше нуля (k < 0), а аргумент тоже является отрицательным числом, тогда зависимая переменная всегда будет больше 0, кроме отрицательных значений b < = - k * (-x). Для построения графика можно использовать онлайн-сервисы. Они также создают таблицы зависимости одной величины от другой.

Таким образом, графиком линейной функции является прямая, характер которой следует исследовать по определенному алгоритму. При этом необходимо руководствоваться основными свойствами.