Математическое ожидание случайной величины - свойства, формула и примеры нахождения

Краткое описание

Чтобы понять смысл условного математического ожидания случайной величины, необходимо изучить ряд правил, а также ознакомится с примерами, дабы в будущем можно было избежать грубых ошибок. Одной из важнейших числовых характеристик дискретной величины является матожидание. Для изучения всех нюансов необходимо ввести понятие системы случайных процессов. Если представить значение в виде графика, то итоговое ожидание будет выступать в виде некоторого центра массы, изображённой на графике фигуры. Для решения классической задачи можно задействовать следующую формулу: Е (х) = Х1О1 + Х1О2 + … + Х n О n.

Расшифровка формулы выглядит следующим образом:

• Е (х) — это точное значение матожидания величины Х.
• Ха — показатель величины случайного типа при конкретном исходе а.
• О — вероятность исхода а.
• n — количество возможных вариантов исходов.

В теории вероятности специалистам удалось доказать, что среднее значение постоянной величины даже после многочисленных испытаний всё равно будет стремиться к матожиданию. В некоторых случаях результат может быть отрицательный. А это значит, что если количество итоговых испытаний слишком велико, то среднее значение обязательно будет равно матожиданию (прогноз среднего значения). Для более тщательного изучения темы специалисты рекомендуют использовать следствие (теорема с небольшим доказательством, которое следует из другой теоремы).

Гораздо проще разобраться в этой теме в том случае, если изучить наглядный пример. Если человек несколько раз бросит самый обычный шестигранный игральный кубик, и будет записывать все выпавшие значения, то при большом количестве испытаний можно получить число 3,5. Аналогичный результат будет достигнут и в том случае, если просчитать матожидание. Подсчёт выглядит следующим образом:

• Р1 = Р2 … = Р6 = 1/6. Это число указывает на вероятность выпадения одной из граней игрального кубика и все они равны, так как у качественного кубика вероятность выпадения каждой грани абсолютно одинаковая.
• Ха = а — формула указывает на то число, которое может выпасть на кубике.
• n = 6 — точное число граней кубика либо количество вариантов.

Правильный подход позволяет составить закон распределения случайных магнитуд выигрыша. Классическая формула математического ожидания часто используется для качественной оценки рентабельности какой-либо деятельности. Этот математический подход также используется на рынке ФОРЕКС при прогнозировании реальной суммы дохода какой-либо торговой стратегии опытных трейдеров.

Основы теории

Для случайной непрерывной величины незаменимая механическая интерпретация матожидания всегда сохраняет основное своё правило: центр массы соответствует единичной массе, которая непрерывным образом распределена на оси абсцисс g (a). В отличие от распространённой независимой величины, у которой итоговый аргумент функции х может меняться скачкообразно, у непрерывной величины аргумент таким колебаниям не подвержен.

Чтобы отыскать матожидание и дисперсию непрерывной случайной величины, обязательно нужно найти определённые интегралы. Если по условиям задачи была дана функция плотности величины непрерывного типа, то она обязательно входит в подынтегральное выражение. Когда дана функция распределения вероятностей, тогда обязательно нужно найти функцию плотности. Количество испытаний константы равно самой константе.

Арифметическое среднее всех задействованных значений непрерывной величины называется её матожиданием, что тоже нужно запомнить. Величина интеграла называется дисперсией непрерывной случайной величины.

Среднее квадратичное произведение непрерывной величины всегда определяется специалистами как арифметическое значение квадратного корня из дисперсии. Только тщательное изучение всех правил поможет решать все поставленные математические задачи без допущения ошибок.

Ключевые особенности дисперсии

За дисперсию принято понимать средний квадрат отклонений полученных значений признака от среднего арифметического числа. Для обозначения используется одна заглавная латинская буква D.

Для правильного расчёта дисперсии необходимо посчитать разность между имеющимся числом и средним арифметическим, чтобы в итоге возвести результат в квадрат. Значений получится столько, сколько может быть реальных исходов у рассматриваемого события. После этого остаётся только просуммировать все полученные данные и разделить на количество элементов в последовательности. Если максимальное количество исходов приравнивается к 5, тогда делить нужно именно на эту цифру.

У дисперсии также есть свойства, которые обязательно нужно знать, чтобы решать различные математические задачи. К примеру:

• при увеличении случайной величины в Х раз, тогда дисперсия увеличится в Х раз;
• дисперсия никогда не бывает меньше нуля и не зависит от сдвига значений в большую или меньшую сторону.

К примеру: нужно представить, что был проведён 21 эксперимент и в итоге 7 разных исходов. Первым делом нужно рассчитать среднее арифметическое: сумма элементов равняется 21. Эту цифру нужно разделить на 7. В результате получится цифра 3. После этого из каждого числа исходной последовательности нужно вычесть 3. Каждое значение возводят в квадрат, а результат слаживают вместе. Если всё сделать правильно, то в итоге можно получить 12. На финальном этапе остаётся разделить число на количество элементов.

Зависимость итога от количества экспериментов

Эксперты утверждают, что при правильном расчёте дисперсии в знаменателе может стоять одно из двух предложенных чисел: N или N -1. На точное число проведённых экспериментов указывает запись N. Если итоговое количество испытаний измеряется сотнями, то в знаменателе должно стоять только N. Ну а если единицами, то N -1. Учёные решили провести весьма символическую границу между этими двумя показателями, так как на сегодняшний день она достигает цифры 30. Если же количество экспериментов не достигло этой отметки, то делить сумму нужно только на N-1, а если больше — то на N.

Многочисленные свойства математического ожидания очень важны для правильного решения поставленных задач. Для изучения этой темы необходимо знать, что собой представляет квадратическое отклонение. Для обозначения этого термина используются буквы sd, либо греческая строчная «сигма». Квадратическое отклонение отображает то, насколько именно отклоняются значения от центрального признака. Если в основе лежит нахождение нужного значения, тогда следует постараться правильно рассчитать квадратный корень из дисперсии.

Можно построить график равномерного распределения, чтобы непосредственно на нём увидеть реальную величину среднего квадратного отклонения. Для этих целей необходимо выполнить несколько несложных заданий. Нужно взять половину изображения справа и слева от моды (центральное значение), дабы постараться провести перпендикуляр к горизонтальной оси так, чтобы площади получившихся фигур были абсолютно равными.

Размер отрезка между серединой распределения и получившейся проекцией на горизонтальную ось и будет самое обычное среднее квадратичное отклонение.

Актуальность применения медианы и моды

Математики склонны утверждать, что средние величины представляют собой своего рода отвлечённую величину. Отвлекаясь от определённых величин каждого варианта, эти числа отлично отображают общее положение, которое присуще всей совокупности единиц. В некоторых случаях можно наблюдать, что величина не имеет какого-либо равенства ни с одним из конкретных вариантов распространённых вариантов.

К примеру: среднее число членов одной семьи приравнивается к 4,85. Этот показатель был получен на основе исчисления соответствующей совокупности данных. Число не имеет ничего общего с определённым составом конкретной семьи, так как дробного числа членов семьи быть не может. В этом случае принято понимать за основу показатель средней величины состава семьи. Возле дробного числа группируются реальные варианты.

Когда стоит задача определить какую-либо абстрактную величину, тогда можно смело задействовать величины конкретных вариантов, содержащихся в рассматриваемой совокупности величин. Именно эти величины занимают определённое место в ранжированном ряду индивидуальных значений признака. Такими величинами чаще всего являются медиана, а также мода. Мода — это самая распространённая величина, которую принято обозначать символами Мо.

Мода как величина в прерывистом ряду всегда определяется на примере выявления самого большого процента мужчин, которые носят одинаковый размер обуви. После несложных математических действий можно понять, что большинство мужчин носят обувь 40 размера. А это значит, что Мо = 40, модой является сорок первый размер обуви.

А вот когда необходимо отыскать достоверную медиану, то первым делом нужно постараться найти один из центральных вариантов рассматриваемой совокупности. На примере изучаемого варианта за основу будет взят эксперимент, в котором участвовали 100 человек: 100:2 = 50. После этого по накопленным частотам выполняют определение достоверной величины пятидесятого ряда. Если следовать накопленной частотности, то полученная цифра будет находиться между 41 и 69 позициями. Это значит, что 50-й член ряда имеет величину 40 (Ме = 40-й размер обуви).

Доступное программное обеспечение

Из всех перечисленных правил и формул можно сделать вывод, что используемое математическое ожидание обозначается самым простым образом, но в этой теме нужно хорошо разбираться. Правильные расчёты дисперсии и математического ожидания — это не самая простая задача, с арифметической точки зрения.

Чтобы не тратить драгоценное время на поиски решения можно воспользоваться специальной онлайн-калькулятор, которая активно используется в высших учебных заведениях. Это программное обеспечение носит название R. В ней предусмотрено наличие специальных функций, которые позволяют рассчитать значения для многих понятий из статистики и теории вероятности.

К примеру: пользователь может указать конкретный вектор значений. Это делается следующим образом: vector <— c (1,5,2…). Как только нужно будет посчитать какие-либо значения для этого вектора, следует вписать функцию и задать его в качестве аргумента. Для поиска дисперсии необходимо отыскать функцию var. После этого остаётся только нажать «ввод» и результат отобразится на экране.

Из всей описанной информации можно сделать вывод, что математическое ожидание и дисперсия — это классические понятия, которые широко распространены в теории вероятности. Без изучения этой темы учащемуся будет сложно что-либо рассчитать и получить желаемый результат. В базовом курсе лекций в высших учебных заведениях эти два понятия рассматриваются уже в первый месяц изучения теории вероятности. Непонимание этих простейших понятий и неспособность решать элементарные задачи чревато тем, что многие студенты попросту начинают отставать от учебной программы. А это заканчивается плохими оценками по результатам сессии.