Наибольший общий делитель - правила, алгоритмы и примеры нахождения НОД

Понятие НОД

Определение, что такое НОД в математике, звучит следующим образом: наибольший делитель, общий для чисел a и b, есть такое наибольшее число, на которое описанные значения смогут разделиться без остатка.

Для наилучшего понимания того, как найти НОД двух чисел, вместо указанных переменных достаточно подставлять простые числа, например, 12 и 9. То есть самым наименьшим делимым числом для 12 и 9 является то, которое позволяет найти решение без остатка.

Задача по нахождению НОД может решаться тремя способами. Каждый из них применяется в зависимости от того, насколько быстро требуется найти необходимый показатель:

1. Первый метод схож с алгоритмом Евклида для нахождения НОД. Он достаточно трудоемкий и канонический. Необходимо искать все возможные делители, а через них — наибольший делитель, являющийся общим для значений. Если выписывать все показатели, на которые поделятся 12 и 9, наибольшим окажется 3.
2. Второй способ предполагает разложение пары чисел на простые множители и перемножение наибольших из них между собой.
3. Суть следующего способа: компоненты, которые подлежат поиску наибольшего общего делителя, начинают раскладывать на простые множители. Это значит, что из разложения первого нужно вычеркнуть множители, какие не попадают во второе значение. Остальные показатели в первом разложении перемножаются и оказываются НОД.

Лучше всего рассматривать применение указанных методов через определенный класс задач, которые помогают при дальнейшем изучении теорем, касающихся дробей. Формулы для указанной темы очень доступны для понимания ученикам и учителям.

Метод разложения

Суть второй методики заключается в разложении на простые множители и перемножении общих из них. В качестве примера можно рассмотреть представление НОД для показателей 18 и 24:

1. Оба параметра раскладываются на множители — 24 на 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а 18 на 1, 2, 3, 6, 9, 18. Происходит поиск общих значений.
2. Необходимо перемножать между собой общие множители. Если есть риск запутаться, то стоит подчеркивать общие значения.
3. В результате поиска соотношений выделяют в качестве общих значений 2 и 3. После перемножения они дают число 6. Именно это линейное число и считается наибольшим объединенным делителем.

Способ является достаточно простым. Однако из-за некоторого объема операций можно оказаться в сложной ситуации с поиском общих делителей, поэтому следует рассмотреть еще один способ.

Вычеркивание показателей

Для третьей методики характерно вычеркивание из разложения тех показателей, которые не проходят во второе число. Есть такие виды НОД, которые могут сильно отличаться, но все равно позволяют найти нужный показатель. Например, нужно найти наибольший делитель для значений 28 и 16:

1. Сначала раскладывают оба параметра на простые множители. Для 28 таковыми считаются 1, 2, 4, 7, 14, 28, для 16 это 1, 2, 4, 8,16.
2. Из разложения первого объекта по формуле следует вычеркнуть показатель 7, так как он не входит в группу делителей второго.
3. После перемножения наибольшим делителем оказывается 4. Проверка в виде деления на него 28 и 16 показывает, что именно он и является нужным НОДом.

Аналогично можно отыскать для других значений, например, 100 и 40. После разложения из первого перечеркивается лишняя пятерка. Перемножение дает 20, который после поверки оказывается наибольшим делителем.

Несколько значений

Несмотря на кажущуюся сложность, доказать, что возможно найти НОД для нескольких чисел без помощи онлайн-калькуляторов, вполне реально. Значения, подлежащие поиску, необходимо разложить на множители. После чего ищется произведение общих простейших множителей.

Есть такие числа как 18, 24 и 36. Разложение 18 дает такие коэффициенты как 1, 2, 3, 6, 9 и 18. Затем 24 и 36 необходимо править по аналогичному методу. Если составить таблицу, то можно найти следующие общие показатели в виде 2 и 3. Они считаются общими для всех трех чисел.

Перемножив между собой, получается делимое число 6. Оно также подходит под разложение 18, 24 и 36, а также считается наибольшим общим делителем для всех трех параметров. Аналогичный принцип срабатывает и для четырех и более чисел, когда потребуется найти делитель на любом уровне сложности вплоть до максимального.

Наименьшее общее кратное

Помимо НОД, существует еще и наименьшее общее кратное, или НОК. Если сказать по-другому, то таковым свойством можно считать число, которое без остатка будет разделяться на число a и число b.

Как и для НОД, поиск НОК может осуществляться тремя похожими с предшествующими способами. Каждым из них можно воспользоваться в зависимости от ситуации и удобства решения задания:

• Первый метод достаточно простой и распространенный. Необходимо записать кратные первых чисел, после чего подобрать такое число, чтобы оно являлось общим для всех и наименьшим.
• Также возможно раскладывать кратные на простые натуральные множители. В этом случае переписываются множители из первого разложения и прибавляются недостающие во второе. Получаемые значения перемножают между собой и получают НОК.
• Особняком стоит третий метод, который работает при соблюдении определенных условий. Одним из них является то, что НОК ищут для двух чисел, и на предыдущих этапах был найден наибольший общий делитель.

На последнем методе стоит остановиться несколько подробнее. Он является не только сравнительно менее громоздким, но и обладает определенным преимуществом в виде уже найденного НОД и более простого алгоритма решения.

Совмещение делителей

Такая методика характерна для тех примеров, в которых требуется единовременное нахождение НОД и НОК двух чисел. Например, необходимо отыскать для чисел 24 и 12 НОК и НОК. Действовать нужно в следующем порядке:

• Первым делом нужно найти НОД. Для этого надлежит раскладывать оба числа, отыскать общий показатель 12.
• После этого 24 и 12 перемножаются между собой. Результатом становится 288.
• Полученное число требуется разделять на НОД от 24 и 12. Полученный ответ 24 говорит о том, что именно оно является наименьшим общим кратным для 24 и 12.

Сходный механизм действует и при поиске НОК и НОД исходя из другой пары чисел. В каждом примере необходимо сначала отыскать наибольший делитель, перемножить два числа и получить наименьшее кратное.

Что касается решения с помощью интернет-ресурсов, то на сегодняшний день имеется много онлайн-калькуляторов и программ, которые дают возможность сравнительно быстро найти НОД и НОК и подсказать грамотные пути решения.

Нахождение наибольшего делителя и НОК является не только распространенной, но и сравнительно трудной задачей для учеников средней школы. Ведь если не рассмотреть подробно такую тему, то дальнейшее изучение дробей, которые включают в себя числитель и знаменатель, окажется практически невозможным.

Важно грамотно использовать ресурсы на специальных математических сайтах, где могут подробно и понятно объяснить разложение дробей и нахождение общих делителей. Бояться ошибиться в такой теме не стоит, поскольку при правильном подходе она пройдет достаточно быстро, а вычисление различных по уровню сложности примеров не составит особых сложностей.