Обратная матрица - способы, условия и примеры вычислений

Определение и обозначение
Матрица имеет форму прямоугольной таблицы. Она включает в себя N строки и M столбцы. Все они заполнены числами. Их количество задаёт размеры. Таблица обязательно заключается в круглые скобки.

Во многих учебниках матрицу обозначают заглавными буквами латинского алфавита. Если она содержит n строки и m столбцы, то во время решения размер прописывают как n * m. Когда в строке все элементы приравниваются к нулевому значению, матрицу называют нулевой. Если хотя бы один из компонентов имеет положительный результат, то строка ненулевая.
При вычислении используют следующие диагонали:
- главная (она проводится из левого верхнего угла в правый);
- побочная (она проводится из левого нижнего угла в верхнюю правую сторону).
След матрицы — это сумма данных диагональных элементов. Для обозначения используют символы trA. Благодаря использованию простых алгебраических вариантов вычислений, можно упростить решение и быстро найти нужное значение.
Описание теорем
В линейной алгебре используется терминология. Для изучения информации и правильного решения примеров необходимо изучить расшифровку и определение:

- Теорема 4.1. Когда происходит транспонирование, то определитель остаётся неизменным. Здесь строки и столбцы определителя являются равноправными.
- Теорема 4.2. Если выполнить перестановку двух строк или столбцов, то определитель сохранит абсолютную величину. Но происходит изменение знака на противоположный. Когда определитель имеет два одинаковых столбца или строки, то его приравнивают к нулю.
- Теорема 4.3. Для вычисления разных определителей используют одну формулу. Коэффициент и степень остаются неизменными. В этой теореме общий множитель разрешается выносить за знак определителя.
Если во время вычисления элементы двух строк пропорциональные, то значение равняется нулю. Определитель не будет изменяться, если транспонировать элементы строки и добавлять значения второй, умножать на произвольное число Х.
Для вычисления используют такое понятие как ранг. Это число «r», которое присутствует в матрице A. Здесь имеется минор или минус порядка со значением выше нуля. Рангом матрицы может называться только самый высокий порядок, а также общее значение. Это должно быть положительное и целое число. Для нулевой матрицы ранг приравнивается к нулю. Для его вычисления и нахождения можно воспользоваться онлайн-калькулятором.
Минор и алгебраическое дополнение
Для вычисления может потребоваться нахождение и определение n-ого порядка. Чтобы найти минор, необходимо выделить в матрице определённый элемент и вычеркнуть строки и столбцы, на пересечении которых располагается элемент. После вычисления получается определитель первого порядка. Его называют минором.
Миноры и алгебраические дополнения применяются в приложениях алгебры и в самой науке. Для этого используют основополагающую теорему, которая помогает определить правильный способ для вычисления определителей. По этой формуле можно вычислить разложение определителя по конкретной строке. По аналогичному утверждению определяют и другие неизвестные в остальных столбах, выполняют поиск неизвестной. Это одно из главных условий для точного исчисления.

Чтобы решить уравнение, необходимо разложить определитель по любой строке или столбцу по теореме нахождения элемента n-ого порядка. Объём вычисления можно сократить в несколько раз и уменьшить. Для этого выбирают строку и столбец, в котором многие элементы приравниваются к нулю или являются обратимыми. В этом примере начинают вычисление со второй строки.
Большое количество миноров и их порядок, отличный от нуля, называют рангом матрицы. В алгебре часто встречаются примеры, когда есть несколько вариантов базисных миноров. Если он отличный от нуля, то порядок ранга матрицы приравнивается к базисному минору. Это определение используют для строк и столбцов.
Нахождение обратной матрицы
Существование обратной матрицы можно считать только для квадратной. Есть определённый алгоритм для определения, чтобы сделать вычисление:

- Сначала нужно определить, относится матрица к квадратной или нет.
- Вычисление определителя. Если он не приравнивается нулю, то нужно продолжать решение.
- Нахождение транспортированной матрицы.
- Выполнение вычисления алгебраических дополнений. Каждый элемент заменяется дополнением.
- Составление новой таблицы с использованием и обращением к алгебраическим дополнениям. Каждый элемент делится на определитель, который получен из исходного варианта. Результирующая матрица относится к обратной для первоначального варианта.
- Выполнение проверки. Нужно выполнить перемножение исходной и полученной таблицы. На последнем этапе получается единичная схема.
Существует и другой подробный вариант решения. Для этого нужно исключить несколько шагов, поэтому вычисление упрощается. Сначала определяют алгебраическое дополнение, далее находят союзную таблицу. Этот способ используют чаще, чем остальные. Как найти обратную матрицу по упрощённому варианту:

- Нужно определить вид таблицы.
- Вычисление определителя. Когда он приравнивается к нулевому значению, то можно продолжать решение. В остальных случаях вычисления не существует.
- Определение алгебраического дополнения.
- Заполнение взаимной или присоединённой матрицы С.
- Составление новой таблицы из полученных алгебраических дополнений. Все элементы присоединённой таблицы С делят на определитель исходного варианта.
- Выполнение проверки. Нужно перемножить исходную и готовую матрицу. В результате получается единая таблица.
Это общепринятые алгоритмы, которые применяются для решения. Их подбирают в зависимости от количества строк и столбцов.
Метод Гаусса в высшей математике
Метод Гаусса используют в качестве классической методики, чтобы получить результат при решении системы линейных алгебраических уравнений. Основателем этой теоремы считается немецкий математик Карл Фридрих Гаусс. Представленная методика применяется для последовательного исключения переменных, когда применяются элементарные преобразования системы уравнений.
Их используют для равносильной системы треугольного вида. Начиная с последних чисел выполняют нахождение всех переменных системы. Для решения уравнения необходимо ознакомиться с исходной системой. Её записывают в матричном виде, где присутствуют столбцы сводных чисел.

При помощи свойств элементарных преобразований над строками основная матрица приводится к ступенчатому виду. Ненулевой минор максимального порядка относят к базисному минору. В большинстве примеров он находится в верхнем левом углу. Сюда входит коэффициент переменной mij.
Алгоритм вычисления включает в себя два этапа:

- Сначала выполняют вычисление прямого хода. Здесь используют методику элементарных преобразований над каждой строкой по формуле обратной матрицы. В результате получается уравнение ступенчатой или треугольной формы. В некоторых примерах система несовместна. Среди всех элементов первого столбца нужно выбрать ненулевое значение. Его нужно переместить в другую строку, выполнить умножение на величину, которая приравнивается к отношению первого элемента.
- На втором этапе используют методику обратного хода. Здесь нужно выразить все базисные переменные через небазисное уравнение, построить фундаментальную систему решения. Этот метод вычисления используют в том случае, когда все переменные относятся к базисным.
На следующем этапе решение выражают в численном виде единственного решения системы линейного уравнения. Для вычисления примера по методике Гаусса необходимо использовать все арифметические операции. Здесь используют теорему о приведении матриц к ступенчатому виду. Для ознакомления с особенностями решения и последовательностью, необходимо посмотреть на обратную матрицу с примерами решений.
Еще тесты
- Анатомия
- Английский язык
- Астрономия
- Биология
- Литература
- История
- Педсовет
- Естествознание
- Финансы и кредит
- Правоведение
- Товароведение
- Экономика
- Социология
- Маркетинг
- Обществознание
- Культурология
- Математика
- Философия
- Русский язык
- Психология
- Политология
- Делопроизводство
- Бухгалтерия
- ОБЖ
- Орфография
- География
- Биографии
- Физика
- Пунктуация
- Краткие содержания
- Химия
- Менеджмент
- Тест на тему Тест по теме Дыхательная система человека 7 вопросов
- Тест на тему Строение человека - анатомия внутренних органов 7 вопросов
- Тест на тему Гормоны - определение, виды, функции, роль в организме человека 5 вопросов
- Тест на тему Лейкоциты в крови - строение, где образуются и разрушаются, норма содержания 5 вопросов
- Тест на тему Одноклеточные организмы - строение , формы и признаки представителей 8 вопросов
- Тест на тему Бесполое размножение - виды, формы и биологическое значение процесса 9 вопросов
- Тест на тему Синтез АТФ - структура, функции и пути образования аденозинтрифосфорной кислоты 7 вопросов
- Тест на тему Биогеоценоз - определение, структура и свойства 5 вопросов
- Тест на тему Символизм в литературе - основные черты и представители направления 6 вопросов
- Тест на тему "У Лукоморья дуб зеленый" - анализ стихотворения Александра Сергеевича Пушкина 8 вопросов
- Тест на тему Родион Раскольников и Соня Мармеладова - история взаимоотношений в романе Ф. М. Достоевского "Преступление и наказание" 6 вопросов
- Тест на тему Семья Мелеховых в романе М. Шолохова "Тихий дон" 7 вопросов
- Тест на тему Отечественная война 1812 года - причины, основные сражения, итоги 7 вопросов
- Тест на тему Правление Ивана Грозного - внутренняя и внешняя политика 7 вопросов
- Тест на тему Образование СССР - причины, этапы становления, состав, итоги 6 вопросов
- Тест на тему Крещение руси князем Владимиром - причины, история, значение принятия христианства 6 вопросов
- Тест на тему Пищевая цепочка в природе - звенья, схемы и примеры цепей 5 вопросов
- Тест на тему Экологические факторы - классификация, примеры, общие закономерности воздействия 5 вопросов
- Тест на тему Биосфера - определение, состав, свойства, границы 5 вопросов
- Тест на тему Возникновение жизни на земле 6 вопросов
- Тест на тему Права и свободы человека и гражданина 5 вопросов
- Тест на тему Унитарное предприятие - виды, признаки, участники, особенности 7 вопросов
- Тест на тему Формы собственности - типы и виды и их характеристика 7 вопросов
- Тест на тему Предпринимательское право - понятие, принципы, предмет и объект, функции 5 вопросов
- Тест на тему Ликвидность предприятия - определение, виды, формула расчета 7 вопросов
- Тест на тему Процентная ставка - понятие, виды, методы расчета и начисления 5 вопросов
- Тест на тему Финансы - определние, сущность, основные функции, виды 7 вопросов
- Тест на тему Коммерческая деятельность - сущность и содержание 7 вопросов
- Тест на тему Статистическое наблюдение - виды, способы, последовательность этапов 6 вопросов
- Тест на тему Социальный контроль - понятие и функции, формы и методы, значение 5 вопросов
- Тест на тему Анкетирование - правила составления и виды вопросов, оформление результатов 5 вопросов
- Тест на тему Социальная группа — понятие, типы, критерии выделения 8 вопросов
- Тест на тему Деятельность человека - основные виды и характеристики 7 вопросов
- Тест на тему Воздушно-десантные войска (ВДВ) - история создания, подразделения, оснащение 7 вопросов
- Тест на тему Субъекты РФ - количество, виды, правовой статус 7 вопросов
- Тест на тему Социальные нормы - понятие, виды и характеристка, функции, примеры 6 вопросов
- Тест на тему Что такое угол 5 вопросов
- Тест на тему Деление в столбик — подробное описание алгоритма решения задач, примеры 10 вопросов
- Тест на тему Вычитание дробей - правила и примеры с решениями 5 вопросов
- Тест на тему Модуль числа - свойства, действия, как решать уравнения и неравенства с модулем 10 вопросов
- Тест на тему Ислам - история возникновения религии, основные положения 7 вопросов
- Тест на тему Мышление - определение, виды, функции, свойства 5 вопросов
- Тест на тему Что такое мораль, ее категории и функции 6 вопросов
- Тест на тему Буддизм - кратко о религии (история возникновения, основные положения, священные книги) 6 вопросов
- Тест на тему Безличные предложения в русском языке 8 вопросов
- Тест на тему Ударение в словах в русском языке - правила и проверка постановки 5 вопросов
- Тест на тему Морфемный разбор слова - правила выполнения с примерами 5 вопросов
- Тест на тему Сложноподчиненные предложения в русском языке 6 вопросов
- Тест на тему Мотивация - определение, виды и типы в психологии, менеджменте 5 вопросов
- Тест на тему Интеллект - понятие, признаки, как развивать, оценка 5 вопросов
- Тест на тему Социализация личности - понятие и сущность, агенты, примеры 5 вопросов
- Тест на тему Типы темперамента и их психологическая характеристика 5 вопросов
- Тест на тему Органы исполнительной власти РФ - понятие и правовой статус, структура и фунции 7 вопросов
- Тест на тему Европейский союз - история создания, цели, состав 5 вопросов
- Тест на тему Тоталитаризм - определение, характерные черты, плюсы и минусы идеологии 5 вопросов
- Тест на тему Политическая идеология - определение понятия, функции, классификация, особенности 5 вопросов
- Тест на тему Оборотные средства предприятия, их структура, учет и анализ 7 вопросов
- Тест на тему Бюджетная классификация - определение, структура 7 вопросов
- Тест на тему Калькуляция - основные понятия, примеры расчетов себестоимости 7 вопросов
- Тест на тему Бухгалтерский учет материально-производственных запасов на предприятии 8 вопросов
- Тест на тему Пистолет Макарова - шпаргалка по тактико-техническим характеристикам 9 вопросов
- Тест на тему Чрезвычайная ситуация - понятие, типы ЧС, причины возникновения, стадии развития 7 вопросов
- Тест на тему Вооруженные силы Российской Федерации — организационная структура и предназначение 7 вопросов
- Тест на тему ВМФ (Военно-Морской флот) России - структура, история, состав 7 вопросов
- Тест на тему Перу - географическое положение, климат и достопримечательности 9 вопросов
- Тест на тему Климатические пояса Земли - характеристика и особенности 8 вопросов
- Тест на тему Тайга - географическое положение, животный и растительный мир, особенности и характеристика природной зоны 7 вопросов
- Тест на тему Озеро - определение, классификация, признаки 6 вопросов
- Тест на тему Братья Гримм - биография, жизнь и творчество немецких писателей 10 вопросов
- Тест на тему Тамерлан (1336-1405) - биография, жизнь и завоевания великого полководца 10 вопросов
- Тест на тему Максим Горький (1868-1936) - биография, кратко самое важное, интересные факты из жизни писателя 9 вопросов
- Тест на тему Блок Александр Александрович (1880-1921) - биография, жизненный и творческий путь 11 вопросов
- Тест на тему "Ночь перед Рождеством" - краткое содержание повести Н. В. Гоголя 10 вопросов
- Тест на тему "Маленький Мук" - краткое содержание сказки Вильгельма Гауфа 10 вопросов
- Тест на тему "Дворянское гнездо" - краткое содержание романа И.С. Тургенева 8 вопросов
- Тест на тему "Бирюк" - краткое содержание рассказа И.С. Тургенева 10 вопросов
- Тест на тему Серная кислота - химические и физические свойства и реакции 8 вопросов
- Тест на тему Муравьиная кислота - формула, свойства, получение и применение 7 вопросов
- Тест на тему Сложные эфиры - характеристика, классификация и примеры соединений 8 вопросов
- Тест на тему Толуол - формула, свойства и применение химического вещества 8 вопросов
- Тест на тему Оценка персонала - виды, критерии и методы 7 вопросов
- Тест на тему Управление персоналом - задачи, функции, современные подходы 5 вопросов
- Тест на тему Менеджмент предприятий — сущность, виды, задачи и цели 7 вопросов
- Тест на тему Организационная структура предприятия — типы и предназначение 7 вопросов