Обратные тригонометрические функции - их свойства и графики

Тригонометрия - это раздел математики, изучающий отношения между сторонами и углами треугольников, а также тригонометрические функции (косинус , синус, тангенс , котангенс ). Это очень важная область математики, находящая свое применение во многих отраслях деятельности, например, в инженерном деле. Перед тем, как перейти к обратным функциям тригонометрии, вспомним обычные.

Обычные тригонометрические функции

Они привязаны к углам и представляют собой соотношение тех или иных сторон треугольника. Поэтому проще всего определить их сущность по этой фигуре (рис.1). На указанных ниже формулах видно, отношения каких сторон образуют те или иные функции:

• sin C = ​​;
• cos C = ​\( \frac{a}{b} \)​;
• tg C = ​\( \frac{c}{a} \)​ = sin C ÷ cos C;
• ctg C = ​\( \frac{a}{c} \)​ = cos C ÷ sin C.

Важно! Также существуют секанс и косеканс, но они практически вышли из употребления, поэтому ими мы оперировать не будем.

Углы треугольника обычно измеряются в градусах (x^°). 1 градус равен ​\( \frac{1}{360} \)​ длины окружности с центром в точке начала угла. Также используется минута x′, равная ​\( \frac{1}{60} \)​ градуса, и секунда x″, равная ​\( \frac{1}{60} \)​ минуты. В тригонометрии, однако, используется также радиан. 1 радиан примерно равен 57º17′45″. Длина дуги, которую высекает угол в α радиан, равна αR, где R - радиус окружности.

Важно! Показатели тригонометрических функций выражаются в радианах.

Так как длина окружности равна 2π, то перевести градусы в радианы можно по формуле:

x° = πx ÷ 180

Так, длина 180° = π. Для упрощения работы с радианами и градусами используют тригонометрический круг (рис.2). Полный перечень значений можно найти в таблице Брадиса. Свойства и формулы тригонометрических функций многочисленны и являются предметом отдельной статьи. Поэтому здесь их приводить не будем.

Графики

В тригонометрии угол определяется по дуге, вырезаемой углом из окружности. При этом имеет значение положение угла в отношении оси O_x. Если он откладывается по часовой стрелке, его называют положительным, если против - отрицательным. При отсчете угла возможно сделать любое число оборотов вокруг точки 0. Следовательно - величина угла на практике может быть любым действительным числом. Значит, cos x и sin x превращаются из отношений сторон треугольника в числовые функции, которые можно изобразить на графике (рис.3, 4, 5, 6).

y = ctg x

tg x и ctg x определяются как отношения cos x и sin x (смотреть формулы в начале статьи).

Аркфункции

Очень часто в уравнения в качестве аргумента вводится неизвестный угол. Чтобы их решить, часто прибегают к их приведению в стандартную форму ƒ(x) = a, где в роли ƒ(x) выступает sin, cos, tg или ctg. При вычислении x выражают через a. Так как все тригонометрические ƒ(x) периодичны, то одному показателю a может соответствовать множество значений x, и в виде одной ƒ(x) от a их записать невозможно. Поэтому при решении таких уравнений в диапазоне каждой из основных ƒ(x) выделяют участок, при котором она однократно принимает все свои значения, и находят функцию, которая обратна ей на указанном отрезке. Их обозначают, добавляя приписку arc (arcsin, arccos, arctg, arcctg). Именно их называют обратными тригонометрическими функциями. Для каждой из них в качестве участка взаимной однозначности используется свой отрезок, а именно:

• для sin - [-π/2, π/2];
• для cos - [0, π];
• для tg - (-π/2, π/2) и (0, π);
• для ctg - (0. π).

На этих участках указанные ƒ(x) характеризуются монотонным возрастанием на участке [-1, 1]. Таким образом, арксинус - это ƒ(arcsin), определенная на отрезке [-1, 1] и равная при любом a такому значению α, что sin α = a.

Важно! Обратите внимание, что при ​\( \rfloor \)​a​\( \rfloor \)​ на окружности имеется две точки a, обладающие симметрией относительно оси y. Одной из них соответствует ∠α = arcsin a, а другой - ∠π - a.

Решение уравнения sin x = a выглядит так: x = (−1)ⁿarcsin a + πn, где n = ±1; ±2 ... Другие ƒ(x) решаются следующим образом: n во всех случаях также равно 0, ±1, ±2 ...

Графики

Так же, как и обычные, обратные функции для лучшего понимания можно изобразить в виде графиков (рис.7, 8):





Тригонометрия зачастую пугает обилием и громоздкостью формул. Однако на деле все оказывается не так сложно. Важно лишь усердие и внимательность.

Чтобы закрепить усвоенный материал, советуем посмотреть видео ниже с примерами применения полученной информации.