Обратные тригонометрические функции - их свойства и графики
\( \frac{c}{b} \)
Содержание:
Тригонометрия - это раздел математики, изучающий отношения между сторонами и углами треугольников, а также тригонометрические функции (косинус , синус, тангенс , котангенс ). Это очень важная область математики, находящая свое применение во многих отраслях деятельности, например, в инженерном деле. Перед тем, как перейти к обратным функциям тригонометрии, вспомним обычные.

Рис. 1 Прямоугольный треугольник На указанных ниже формулах видно, отношения каких сторон образуют те или иные функции:

Рис.2. Тригонометрический круг Полный перечень значений можно найти в таблице Брадиса.
Свойства и формулы тригонометрических функций многочисленны и являются предметом отдельной статьи. Поэтому здесь их приводить не будем.

Рис.6 y=ctg x (котангенсоида)
n во всех случаях также равно 0, ±1, ±2 ...

Рис.7 arcsin x

Рис.8 arccos x
Тригонометрия зачастую пугает обилием и громоздкостью формул. Однако на деле все оказывается не так сложно. Важно лишь усердие и внимательность.
Чтобы закрепить усвоенный материал, советуем посмотреть видео ниже с примерами применения полученной информации.
Обычные тригонометрические функции
Они привязаны к углам и представляют собой соотношение тех или иных сторон треугольника. Поэтому проще всего определить их сущность по этой фигуре (рис.1).
- sin C = ;
- cos C = \( \frac{a}{b} \);
- tg C = \( \frac{c}{a} \) = sin C ÷ cos C;
- ctg C = \( \frac{a}{c} \) = cos C ÷ sin C.
Важно! Также существуют секанс и косеканс, но они практически вышли из употребления, поэтому ими мы оперировать не будем.Углы треугольника обычно измеряются в градусах (x°). 1 градус равен \( \frac{1}{360} \) длины окружности с центром в точке начала угла. Также используется минута x′, равная \( \frac{1}{60} \) градуса, и секунда x″, равная \( \frac{1}{60} \) минуты. В тригонометрии, однако, используется также радиан. 1 радиан примерно равен 57º17′45″. Длина дуги, которую высекает угол в α радиан, равна αR, где R - радиус окружности.
Важно! Показатели тригонометрических функций выражаются в радианах.Так как длина окружности равна 2π, то перевести градусы в радианы можно по формуле:
x° = πx ÷ 180
Так, длина 180° = π. Для упрощения работы с радианами и градусами используют тригонометрический круг (рис.2).
Графики
В тригонометрии угол определяется по дуге, вырезаемой углом из окружности. При этом имеет значение положение угла в отношении оси Ox. Если он откладывается по часовой стрелке, его называют положительным, если против - отрицательным. При отсчете угла возможно сделать любое число оборотов вокруг точки 0. Следовательно - величина угла на практике может быть любым действительным числом. Значит, cos x и sin x превращаются из отношений сторон треугольника в числовые функции, которые можно изобразить на графике (рис.3, 4, 5, 6).
y = ctg x
tg x и ctg x определяются как отношения cos x и sin x (смотреть формулы в начале статьи).Аркфункции
Очень часто в уравнения в качестве аргумента вводится неизвестный угол. Чтобы их решить, часто прибегают к их приведению в стандартную форму ƒ(x) = a, где в роли ƒ(x) выступает sin, cos, tg или ctg. При вычислении x выражают через a. Так как все тригонометрические ƒ(x) периодичны, то одному показателю a может соответствовать множество значений x, и в виде одной ƒ(x) от a их записать невозможно. Поэтому при решении таких уравнений в диапазоне каждой из основных ƒ(x) выделяют участок, при котором она однократно принимает все свои значения, и находят функцию, которая обратна ей на указанном отрезке. Их обозначают, добавляя приписку arc (arcsin, arccos, arctg, arcctg). Именно их называют обратными тригонометрическими функциями. Для каждой из них в качестве участка взаимной однозначности используется свой отрезок, а именно:- для sin - [-π/2, π/2];
- для cos - [0, π];
- для tg - (-π/2, π/2) и (0, π);
- для ctg - (0. π).
Важно! Обратите внимание, что при \( \rfloor \)a\( \rfloor \) на окружности имеется две точки a, обладающие симметрией относительно оси y. Одной из них соответствует ∠α = arcsin a, а другой - ∠π - a.Решение уравнения sin x = a выглядит так: x = (−1)narcsin a + πn, где n = ±1; ±2 ... Другие ƒ(x) решаются следующим образом:

Графики
Так же, как и обычные, обратные функции для лучшего понимания можно изобразить в виде графиков (рис.7, 8):

Тригонометрия зачастую пугает обилием и громоздкостью формул. Однако на деле все оказывается не так сложно. Важно лишь усердие и внимательность.
Чтобы закрепить усвоенный материал, советуем посмотреть видео ниже с примерами применения полученной информации.
Еще тесты
- Анатомия
- Английский язык
- Астрономия
- Биология
- Литература
- История
- Педсовет
- Естествознание
- Финансы и кредит
- Правоведение
- Товароведение
- Экономика
- Социология
- Маркетинг
- Обществознание
- Культурология
- Математика
- Философия
- Русский язык
- Психология
- Политология
- Делопроизводство
- Бухгалтерия
- ОБЖ
- Орфография
- География
- Биографии
- Физика
- Пунктуация
- Краткие содержания
- Химия
- Менеджмент
- Тест на тему Тест по теме Дыхательная система человека 7 вопросов
- Тест на тему Строение человека - анатомия внутренних органов 7 вопросов
- Тест на тему Гормоны - определение, виды, функции, роль в организме человека 5 вопросов
- Тест на тему Лейкоциты в крови - строение, где образуются и разрушаются, норма содержания 5 вопросов
- Тест на тему Одноклеточные организмы - строение , формы и признаки представителей 8 вопросов
- Тест на тему Бесполое размножение - виды, формы и биологическое значение процесса 9 вопросов
- Тест на тему Синтез АТФ - структура, функции и пути образования аденозинтрифосфорной кислоты 7 вопросов
- Тест на тему Биогеоценоз - определение, структура и свойства 5 вопросов
- Тест на тему Символизм в литературе - основные черты и представители направления 6 вопросов
- Тест на тему "У Лукоморья дуб зеленый" - анализ стихотворения Александра Сергеевича Пушкина 8 вопросов
- Тест на тему Родион Раскольников и Соня Мармеладова - история взаимоотношений в романе Ф. М. Достоевского "Преступление и наказание" 6 вопросов
- Тест на тему Семья Мелеховых в романе М. Шолохова "Тихий дон" 7 вопросов
- Тест на тему Отечественная война 1812 года - причины, основные сражения, итоги 7 вопросов
- Тест на тему Правление Ивана Грозного - внутренняя и внешняя политика 7 вопросов
- Тест на тему Образование СССР - причины, этапы становления, состав, итоги 6 вопросов
- Тест на тему Крещение руси князем Владимиром - причины, история, значение принятия христианства 6 вопросов
- Тест на тему Пищевая цепочка в природе - звенья, схемы и примеры цепей 5 вопросов
- Тест на тему Экологические факторы - классификация, примеры, общие закономерности воздействия 5 вопросов
- Тест на тему Биосфера - определение, состав, свойства, границы 5 вопросов
- Тест на тему Возникновение жизни на земле 6 вопросов
- Тест на тему Права и свободы человека и гражданина 5 вопросов
- Тест на тему Унитарное предприятие - виды, признаки, участники, особенности 7 вопросов
- Тест на тему Формы собственности - типы и виды и их характеристика 7 вопросов
- Тест на тему Предпринимательское право - понятие, принципы, предмет и объект, функции 5 вопросов
- Тест на тему Ликвидность предприятия - определение, виды, формула расчета 7 вопросов
- Тест на тему Процентная ставка - понятие, виды, методы расчета и начисления 5 вопросов
- Тест на тему Финансы - определние, сущность, основные функции, виды 7 вопросов
- Тест на тему Коммерческая деятельность - сущность и содержание 7 вопросов
- Тест на тему Статистическое наблюдение - виды, способы, последовательность этапов 6 вопросов
- Тест на тему Социальный контроль - понятие и функции, формы и методы, значение 5 вопросов
- Тест на тему Анкетирование - правила составления и виды вопросов, оформление результатов 5 вопросов
- Тест на тему Социальная группа — понятие, типы, критерии выделения 8 вопросов
- Тест на тему Деятельность человека - основные виды и характеристики 7 вопросов
- Тест на тему Воздушно-десантные войска (ВДВ) - история создания, подразделения, оснащение 7 вопросов
- Тест на тему Субъекты РФ - количество, виды, правовой статус 7 вопросов
- Тест на тему Социальные нормы - понятие, виды и характеристка, функции, примеры 6 вопросов
- Тест на тему Что такое угол 5 вопросов
- Тест на тему Деление в столбик — подробное описание алгоритма решения задач, примеры 10 вопросов
- Тест на тему Вычитание дробей - правила и примеры с решениями 5 вопросов
- Тест на тему Модуль числа - свойства, действия, как решать уравнения и неравенства с модулем 10 вопросов
- Тест на тему Ислам - история возникновения религии, основные положения 7 вопросов
- Тест на тему Мышление - определение, виды, функции, свойства 5 вопросов
- Тест на тему Что такое мораль, ее категории и функции 6 вопросов
- Тест на тему Буддизм - кратко о религии (история возникновения, основные положения, священные книги) 6 вопросов
- Тест на тему Безличные предложения в русском языке 8 вопросов
- Тест на тему Ударение в словах в русском языке - правила и проверка постановки 5 вопросов
- Тест на тему Морфемный разбор слова - правила выполнения с примерами 5 вопросов
- Тест на тему Сложноподчиненные предложения в русском языке 6 вопросов
- Тест на тему Мотивация - определение, виды и типы в психологии, менеджменте 5 вопросов
- Тест на тему Интеллект - понятие, признаки, как развивать, оценка 5 вопросов
- Тест на тему Социализация личности - понятие и сущность, агенты, примеры 5 вопросов
- Тест на тему Типы темперамента и их психологическая характеристика 5 вопросов
- Тест на тему Органы исполнительной власти РФ - понятие и правовой статус, структура и фунции 7 вопросов
- Тест на тему Европейский союз - история создания, цели, состав 5 вопросов
- Тест на тему Тоталитаризм - определение, характерные черты, плюсы и минусы идеологии 5 вопросов
- Тест на тему Политическая идеология - определение понятия, функции, классификация, особенности 5 вопросов
- Тест на тему Оборотные средства предприятия, их структура, учет и анализ 7 вопросов
- Тест на тему Бюджетная классификация - определение, структура 7 вопросов
- Тест на тему Калькуляция - основные понятия, примеры расчетов себестоимости 7 вопросов
- Тест на тему Бухгалтерский учет материально-производственных запасов на предприятии 8 вопросов
- Тест на тему Пистолет Макарова - шпаргалка по тактико-техническим характеристикам 9 вопросов
- Тест на тему Чрезвычайная ситуация - понятие, типы ЧС, причины возникновения, стадии развития 7 вопросов
- Тест на тему Вооруженные силы Российской Федерации — организационная структура и предназначение 7 вопросов
- Тест на тему ВМФ (Военно-Морской флот) России - структура, история, состав 7 вопросов
- Тест на тему Перу - географическое положение, климат и достопримечательности 9 вопросов
- Тест на тему Климатические пояса Земли - характеристика и особенности 8 вопросов
- Тест на тему Тайга - географическое положение, животный и растительный мир, особенности и характеристика природной зоны 7 вопросов
- Тест на тему Озеро - определение, классификация, признаки 6 вопросов
- Тест на тему Братья Гримм - биография, жизнь и творчество немецких писателей 10 вопросов
- Тест на тему Тамерлан (1336-1405) - биография, жизнь и завоевания великого полководца 10 вопросов
- Тест на тему Максим Горький (1868-1936) - биография, кратко самое важное, интересные факты из жизни писателя 9 вопросов
- Тест на тему Блок Александр Александрович (1880-1921) - биография, жизненный и творческий путь 11 вопросов
- Тест на тему "Ночь перед Рождеством" - краткое содержание повести Н. В. Гоголя 10 вопросов
- Тест на тему "Маленький Мук" - краткое содержание сказки Вильгельма Гауфа 10 вопросов
- Тест на тему "Дворянское гнездо" - краткое содержание романа И.С. Тургенева 8 вопросов
- Тест на тему "Бирюк" - краткое содержание рассказа И.С. Тургенева 10 вопросов
- Тест на тему Серная кислота - химические и физические свойства и реакции 8 вопросов
- Тест на тему Муравьиная кислота - формула, свойства, получение и применение 7 вопросов
- Тест на тему Сложные эфиры - характеристика, классификация и примеры соединений 8 вопросов
- Тест на тему Толуол - формула, свойства и применение химического вещества 8 вопросов
- Тест на тему Оценка персонала - виды, критерии и методы 7 вопросов
- Тест на тему Управление персоналом - задачи, функции, современные подходы 5 вопросов
- Тест на тему Менеджмент предприятий — сущность, виды, задачи и цели 7 вопросов
- Тест на тему Организационная структура предприятия — типы и предназначение 7 вопросов