Тригонометрия - это раздел математики, изучающий отношения между сторонами и углами треугольников, а также тригонометрические функции (косинус , синус, тангенс , котангенс ). Это очень важная область математики, находящая свое применение во многих отраслях деятельности, например, в инженерном деле. Перед тем, как перейти к обратным функциям тригонометрии, вспомним обычные.

Обычные тригонометрические функции

Они привязаны к углам и представляют собой соотношение тех или иных сторон треугольника. Поэтому проще всего определить их сущность по этой фигуре (рис.1).
Рис. 1 Прямоугольный треугольник
На указанных ниже формулах видно, отношения каких сторон образуют те или иные функции:
  • sin C = ​​;
  • cos C = ​\( \frac{a}{b} \)​;
  • tg C = ​\( \frac{c}{a} \)​ = sin C ÷ cos C;
  • ctg C = ​\( \frac{a}{c} \)​ = cos C ÷ sin C.
Важно! Также существуют секанс и косеканс, но они практически вышли из употребления, поэтому ими мы оперировать не будем.
Углы треугольника обычно измеряются в градусах (x°). 1 градус равен ​\( \frac{1}{360} \)​ длины окружности с центром в точке начала угла. Также используется минута x′, равная ​\( \frac{1}{60} \)​ градуса, и секунда x″, равная ​\( \frac{1}{60} \)​ минуты. В тригонометрии, однако, используется также радиан. 1 радиан примерно равен 57º17′45″. Длина дуги, которую высекает угол в α радиан, равна αR, где R - радиус окружности.
Важно! Показатели тригонометрических функций выражаются в радианах.
Так как длина окружности равна 2π, то перевести градусы в радианы можно по формуле:

x° = πx ÷ 180

Так, длина 180° = π. Для упрощения работы с радианами и градусами используют тригонометрический круг (рис.2).
Рис.2. Тригонометрический круг
Полный перечень значений можно найти в таблице Брадиса. Свойства и формулы тригонометрических функций многочисленны и являются предметом отдельной статьи. Поэтому здесь их приводить не будем.

Графики

В тригонометрии угол определяется по дуге, вырезаемой углом из окружности. При этом имеет значение положение угла в отношении оси Ox. Если он откладывается по часовой стрелке, его называют положительным, если против - отрицательным. При отсчете угла возможно сделать любое число оборотов вокруг точки 0. Следовательно - величина угла на практике может быть любым действительным числом. Значит, cos x и sin x превращаются из отношений сторон треугольника в числовые функции, которые можно изобразить на графике (рис.3, 4, 5, 6).
Рис.6 y=ctg x (котангенсоида)

y = ctg x

tg x и ctg x определяются как отношения cos x и sin x (смотреть формулы в начале статьи).

Аркфункции

Очень часто в уравнения в качестве аргумента вводится неизвестный угол. Чтобы их решить, часто прибегают к их приведению в стандартную форму ƒ(x) = a, где в роли ƒ(x) выступает sin, cos, tg или ctg. При вычислении x выражают через a. Так как все тригонометрические ƒ(x) периодичны, то одному показателю a может соответствовать множество значений x, и в виде одной ƒ(x) от a их записать невозможно. Поэтому при решении таких уравнений в диапазоне каждой из основных ƒ(x) выделяют участок, при котором она однократно принимает все свои значения, и находят функцию, которая обратна ей на указанном отрезке. Их обозначают, добавляя приписку arc (arcsin, arccos, arctg, arcctg). Именно их называют обратными тригонометрическими функциями. Для каждой из них в качестве участка взаимной однозначности используется свой отрезок, а именно:
  • для sin - [-π/2, π/2];
  • для cos - [0, π];
  • для tg - (-π/2, π/2) и (0, π);
  • для ctg - (0. π).
На этих участках указанные ƒ(x) характеризуются монотонным возрастанием на участке [-1, 1]. Таким образом, арксинус - это ƒ(arcsin), определенная на отрезке [-1, 1] и равная при любом a такому значению α, что sin α = a.
Важно! Обратите внимание, что при ​\( \rfloor \)​a​\( \rfloor \)​ на окружности имеется две точки a, обладающие симметрией относительно оси y. Одной из них соответствует ∠α = arcsin a, а другой - ∠π - a.
Решение уравнения sin x = a выглядит так: x = (−1)narcsin a + πn, где n = ±1; ±2 ... Другие ƒ(x) решаются следующим образом:
n во всех случаях также равно 0, ±1, ±2 ...

Графики

Так же, как и обычные, обратные функции для лучшего понимания можно изобразить в виде графиков (рис.7, 8):

Рис.7 arcsin x


Рис.8 arccos x


Тригонометрия зачастую пугает обилием и громоздкостью формул. Однако на деле все оказывается не так сложно. Важно лишь усердие и внимательность.

Чтобы закрепить усвоенный материал, советуем посмотреть видео ниже с примерами применения полученной информации.