Содержание:

Формулировка

Формула Пика утверждает следующее:

Для простого многоугольника, все вершины которого имеют целочисленные координаты (то есть координаты принадлежат множеству целых чисел), площадь A этого многоугольника может быть найдена по формуле:

A = I + B/2 - 1

где:

  • I — количество внутренних целых точек, которые лежат внутри многоугольника,
  • B — количество целых точек, лежащих на границах многоугольника.
формула пика для нахождения площади

Примеры

1. Прямоугольник с целочисленными координатами:

Рассмотрим прямоугольник с вершинами (0,0), (0,2), (3,2) и (3,0). На границах этого прямоугольника находятся:

  • по вертикальным линиям: 3 точки на каждой стороне (включая углы),
  • по горизонтальным линиям: 4 точки на каждой стороне (включая углы).

Однако, поскольку углы считаются дважды, общее количество точек на границе B будет равно:

B = 2 х (3 + 4 - 4) = 6

Внутри прямоугольника, например, есть 4 целых точки. Подставляем значения в формулу Пика:

A = 4 + 6/2 - 1 = 4 + 3 - 1 = 6

Площадь прямоугольника равна 6, что совпадает с нашим расчетом.

2. Треугольник с целочисленными координатами:

Рассмотрим треугольник с вершинами (0,0), (4,0) и (0,3). На границе треугольника:

  • от (0,0) до (4,0) — 5 точек (включая концы),
  • от (0,0) до (0,3) — 4 точки,
  • от (4,0) до (0,3) — 4 точки.

Учтем, что углы (0,0), (4,0) и (0,3) пересекаются, поэтому:

B = 5 + 4 + 4 - 3 = 10

Внутри треугольника есть 2 целых точки. Подставляем значения в формулу Пика:

A = 2 + 10/2 - 1 = 2 + 5 - 1 = 6

Площадь треугольника также равна 6, что совпадает с фактической площадью.

Применение

Формула Пика полезна в различных областях математики и прикладных наук, таких как:

  • Геометрия: для нахождения площадей многоугольников с целочисленными координатами.
  • Компьютерная графика: при создании и анализе растровых изображений и моделей.
  • Теория чисел: в изучении свойств целочисленных точек на плоскости.

Формула Пика является важным результатом в комбинаторной геометрии и иллюстрирует связь между геометрией и теорией чисел.