Парабола - свойства, формулы и примеры построения

Основные определения

Параболой называется кривая второго порядка, состоящая из множества точек, которые удалены на равные расстояния от директрисы и вершины. Ее еще называют функцией квадратичного типа. Не следует путать с гиперболой, поскольку она является прямой второго порядка, но ее называют кубической.

Директриса — условная прямая, относительно которой строится кубическая парабола. Она не указывается на чертеже, но полезна при нахождении неизвестных параметров, когда требуется выполнить дополнительное построение.

Вершина (фокус) — ближайшая точка к директрисе. Из нее исходят симметричные ветви кривой, на которой располагаются точки, имеющие одинаковое значение ординат, а их абсциссы равны между собой по модулю и являются противоположными числами.

Полезные свойства

Парабола, как и любое геометрическое тело, обладает определенными свойствами:

1. Ветви проходят в зависимости от коэффициента, стоящего перед аргументом старшей степени A: A<0 - вниз, А>0 - вверх.
2. Геометрическая фигура, принадлежащая к кривым ll порядка.
3. Симметричность.
4. Изделия, изготовленные в форме параболы, всегда отражают свет, аккумулируя его в одной точке — вершине.
5. Отрезок, соединяющий среднюю точку хорды и точку, где пересекаются прямые-касательные, всегда перпендикулярен директрисе.
6. Подобие всех кубических парабол.

Свойства помогают находить некоторые параметры кривой, доказывать утверждения и теоремы. Однако этого недостаточно для решения задач. Следует разобрать математические формы записи параболы.

Формула кривой

Формула параболы — математическая запись, описывающая ее поведение в пространстве. В физико-математических дисциплинах описаны 3 основные формы: каноническая, квадратичная и общая. В первом случае уравнение выглядит у^2=2nх, где у — ордината, х - абсцисса и n - параметр, равный отрезку между директрисой и вершиной кривой.

Следует отметить, что р>0. Чтобы вывести формулу параболы, следует применить алгоритм:

1. Записать формулу директрисы. Она параллельна OУ (ординате): х+n/2=0.
2. Координаты вершины - (n/2;0).
3. Отметить произвольную точку М на одной из ветвей кривой, а затем соединить с вершиной (фокусом - F). В результате получится отрезок FМ.
4. Длина FM: FM=[(х-n/2)^2+у^2]^0.5.
5. Также FМ записывается при помощи такого тождества: х+n/2.
6. Поставить знак равенства между тождествами в четвертом и пятом пунктах: х+n/2=[(х-n/2)^2+у^2]^0.5.
7. Возвести обе части во вторую степень, а затем привести подобные коэффициенты: y^2 = 2pn.

Вторая форма математической записи — квадратичная функция. Последняя имеет вид обыкновенного квaдратного трехчлена, т. е. y=Ах^2+Bx+C, где А, В и С — некоторые коэффициенты. Иногда формула рассматривается без дополнительных элементов В и С, т. е. y= ax^2 . В этом случае вершина кривой II порядка находится по формулам:

1. Абсцисса: х=-B/2A.
2. Ордината: у=-D/2A, где D - значение дискриминанта D=(-B)^2 - 4AC.

Третье представление (уравнение параболы) — общее. Его можно править следующим образом: Ах^2+Вху+Су^2+Dх+Еу+F = 0. Некоторые коэффициенты могут быть эквивалентны нулю. Кроме того, кривая задается также в полярной системе при помощи соотношения n(1+cos(s))=n. В последнем равенстве параметр "n" эквивалентен отрезку, соединяющему директрису и вершину.

Методы нахождения координат вершины

Очень часто функция квадратичного типа при решении задач может быть представлена в некотором виде, который следует при помощи математических преобразований привести в читабельную форму. Последний термин обозначает, что требуется преобразовать формулу параболы для удобного построения таблицы и схематического представления. Делается эта операция по следующему алгоритму на примере z=t^2 +4t+2:

1. Приравнять к нулевому значению (квадратное уравнение): t^2 +4t+2=0.
2. Выполнить подготовительную операцию по выделению квадрата: t^2 +4t+2+[2-2]=0.
3. Выделить формулу сокращенного умножения — квадрат: (t+2)^2 -2=0.
4. Перенести "-2" вправо, т. е. (t+2)^2=2.
5. Найти вершину исходя из решения тождества без "-2".
6. Определить ординату z: z=-(2), т. е. число из правой части выражения, умноженное на -1.
7. Вычислить координату фокуса (смещение относительно начала координат): (t;z)=(-2;-2).

Методика позволяет найти фокус без дополнительных формул. Однако существует и другой способ определения вершины, где применяется производная функции:

1. Определить производную: z'=2t+4.
2. Приравнять z' к нулевому значению: 2t+4=0.
3. Найти корень: t=-2.
4. Подставить в первоначальную функцию для нахождения ординаты, т. е. z=-2.
5. Координата вершины: (-2;-2). Она совпадает со значением в предыдущем примере.

Существуют программные продукты для нахождения параметров параболы. Названия имеют английскую номенклатуру, т. е. "parabola".

График функции

Иногда требуется в заданиях графическое представление функции. Для этого необходимо следовать инструкции:

1. Найти вершину любым из способов.
2. Рассчитать координаты точек, в которых происходит пересечение с ординатами и абсциссами в прямоугольной системе координат.
3. Построить вспомогательную таблицу. Специалисты рекомендуют использовать для схематического построения не менее 4 точек, не считая вершины, а для точного - не менее 10. Кроме того, вершина всегда находится посередине значений таблиц.
4. Отметить каждую точку, а затем соединить плавными линиями.

График параболы хорош тем, что позволяет освободиться от большого количества расчетов, поскольку является симметричным. Для таблицы зависимостей достаточно подставить 2 одинаково противоположные величины, а иногда и разные числа превращают значения функции в одинаковые величины.

В первом случае для уравнения z=f^2+1 возможно взять 2 значения аргумента "f" - 1 и -1. При подстановке их в формулу z не изменится, т. е. z1=2 и z2=2. Во втором - 5 и 7 могут давать значение функции, равное 8.

Пример решения

Для практического применения теоретических знаний о параболе рекомендуется решать задачи. Условие одной из них формулируется следующим образом: дана формула функции параболы f=(t+2)^2 -3t^2+8t-5+3(t-1)^2, для которой необходимо подготовить данные, чтобы построить график в схематическом виде (8 значений). Решать ее следует по следующей методике:

1. Раскрыть скобки и привести подобные элементы: f=t^+4t-1.
2. Приравнять к 0: t^2+4t-1=0.
3. Выделить квадрат: (t+2)^2-5.
4. Перенос свободного члена: (t+2)^2=5.
5. Вершина с координатами: (-2;-5).
6. Вычислить нули функции с абсциссами: t^2+4t-1=0. Корни: t1=-2-(5)^0.5 и t2=-2+(5)^0.5. Координаты: (-2-(5)^0.5;0) и (-2+(5)^0.5;0)
7. Нули функции (пересечение оси ординат при t=0): (0+2)^2-5=-1. Координата - (0;-1).
8. Построение таблицы.

Можно приступать к построению графика. Специалисты рекомендуют чертить его при помощи карандаша. Отмечать следует только точки, указанные в таблице. Кроме того, необходимо указать на графике нули функции, а также ее пересечения с ординатой. Ветви искомой параболы будут направлены вверх, поскольку коэффициент при квадрате 1>0.

Таким образом, парабола — кривая ll порядка, которая используется для описания некоторых физических явлений, траекторий движения тел в пространстве, а также для описания квадратичной зависимости между двумя величинами.