Параллельность плоскостей - способы, модели и примеры решения и построения

Понятие в геометрии

Условия параллельности плоскостей изучают в школе. Но перед этим важно изучить:

• координаты;
• векторы;
• точки;
• прямые;
• углы.

Существование прямых легче изучать при выполнении заданий по теории. Они бывают:

• параллельными;
• непараллельными.

При этом в условиях прописываются требования к построению соответствующих линий. Из курса начертательной геометрии известно, что 2 прямые в пространстве способны пересекаться, скрещиваться либо быть параллельными.

Плоскость не принято рассматривать в двухмерной геометрии. Это объясняется необходимостью решать задачи только в координатах X и Y. Если к ним прибавляется очередная координатная ось Z, плоскость превращается в ключевой геометрический элемент. Известно, что противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны.

Плоскость представляет собой совокупность точек. Если соединить любые 2 из них, то сформируется вектор. Он будет располагаться в неизменно перпендикулярном положении по отношению к любому произвольному вектору. Этот вектор называется нормалью. Она очень важна при составлении численного описания пространства. Её характеристики задействуются для решения разных задач.

Векторы считаются равными, когда они сонаправлены и имеют одинаковую длину.

Одинаково направленные стороны лежат в параллельных плоскостях. Это отрезки прямых, имеющих параллельное расположение и заключённых в параллельных пространствах. При наличии 1 общей точки у плоскостей их пересечение происходит по прямой, проходящей через эту координату. Если 2 из них параллельны по отношению к третьей, то они являются параллельными и между собой. В уроке геометрии за 10 класс приводится несколько сравнительных формул:

пример первый:

пример второй:

пример третий:

Вид общего уравнения

Определение, представленное в отношении плоскости, помогает составить равенство для пространства, которое имеет координаты. Например, точка определяется за счет таких данных Q (x0; y0; z0). Она находится в определенном пространстве. Нормаль имеет параметры n (A; B; C). Далее берётся любая область М (x; y; z). Она также находится в указанном пространстве. Это значит, что векторы QM и n будут находиться в перпендикулярном положении. При этом обнуляется их скалярное произведение. Формируется равенство (QM *n) = 0.

В это уравнение можно подставить координаты. Далее, раскрыв скобки, удается прийти к следующей схеме:

Указанное уравнение — общее. По форме оно является сходным со схемой, предусмотренной в отношении прямой на плоскости. Если обратить внимание на расположенные перед переменными X, Y и Z коэффициенты, становится понятно, что это координаты, принятые в отношении перпендикулярной плоскости вектора. Его именуют направляющим.

При нахождении общего уравнения составителю остаётся неизвестной точка Q. Есть лишь направляющий вектор n. В этом случае выявляется значение для всех имеющихся параллельных плоскостей. Они различаются исключительно по параметру D.

Схема в отношении отрезков

Определение параллельных плоскостей производится в зависимости от исходных данных. Показатели, соответствующие областям ее соприкосновения с X, Y и Z, можно обнаружить через специальное равенство. Его именуют уравнением в отрезках.

Для выявления параметра придётся провести ряд математических подсчетов и изменений в отношении общего равенства. Допустим, оно выглядит так:

После перемещения свободного компонента D в правую область обе части равенства следует разделить таким образом, чтобы получить на выходе единицу. Как это выглядит в итоге:

Такая формула обозначается как уравнение в отрезках. Протяженность отрезков, которые отходят в точках x, y и z, соответственно, имеют обозначения p, q и r, с координаты (0; 0; 0). Чтобы проверить это равенство, можно прибегнуть к следующему способу. Допустим, значение координат в точках y и z соответствует нулю. Это означает, что x соответствует q.

Таким образом, область соприкосновения с осью абсцисс соответствует координатам, равным (p; 0; 0). Если рассуждать точно так же, можно заполучить необходимые показатели в отношении двух остальных точек:

В школьных задачах часто предписывается выяснить, принадлежит ли плоскости середина того или иного отрезка, например, с условным обозначением АВ.

Параметрическое векторное выражение

Допустим, есть 2 компланарных вектора. Они не располагаются параллельно. Их обозначают так:

Также необходимо взять определённую точку:

Она известна. Определить, как будет выглядеть выражение плоскости, проходящей через указанные два вектора и точку, можно, если вспомнить, что всякий вектор допускается раскладывать на 2 дополнительных компланарных вектора. Они аналогичным образом относятся к этому пространству. Это говорит о том, что можно представить любой вектор QP, где P (x; y; z), как QP = *u + *v.

При прохождении всех точек P в пространстве можно определить показатели α и β. Это выражение, приведенное для плоскости, носит название параметрического векторного. Его лучше записывать с указанием координат:

Такой вид записи плоскости соответствует векторному уравнению, которое принято для прямой в 2- и 3-мерном случаях. Есть и более явные способы отобразить уравнения. Для этого достаточно создать разделение между переменными:

Все приведенные уравнения записываются в форме, соответствующей параметрическому уравнению для расположенной в пространстве прямой. Схема регулярно применяется с целью преобразования векторного выражения в общее.

Параллельные друг другу

В этом пункте будут рассмотрены условия, при которых плоскости параллельны. Допустим, есть два выражения:

В дальнейшем рассматриваются векторы, расположенные перпендикулярно в отношении каждой плоскости. Их координаты такие:

Вектор n1 можно вообразить в форме умножения на действительный показатель вектора n2. В такой ситуации оба они окажутся в параллельном положении. Получится следующее уравнение: n2 = l*n1. l — действительное число. Дополнительный метод выявления параллельности состоит в обнаружении косинуса угла, который имеется между ними. Для этого используются модули векторов и скалярное произведение. Важно, чтобы косинус соответствовал единице. В этом случае вектора будут располагаться параллельно. Получится такое выражение:

Если уже дано уравнение параметрической векторной, то ориентируются на параллельность нормальной по отношению к области пространств. Определить направляющие вектора указанных нормалей можно, если рассматривать векторные произведения векторов, составляющих каждую из плоскостей.

Взаимное расположение

Важно умение выявить двугранный угол точки соприкосновения. Он в любом случае соответствует углу между направляющими векторами. Раскрыть формулы для подсчета угла между нормалями можно посредством координат векторов n1 и n2:

Такая формула находит применение при подсчете значения двугранных углов между плоскостями наклонной призмы, а также пирамиды. В некоторых случаях рассматривается пересечение 2 плоскостей под углом 90°. Здесь имеет место перпендикулярное расположение геометрических фигур.

Чтобы определить их перпендикулярность, необязательно ориентироваться на подсчеты в отношении угла. Приходится пользоваться довольно громоздкими уравнениями. Легче воспользоваться скалярным произведением n1 и n2, которое равно нулю в случае с перпендикулярными плоскостями. Схематически это можно отобразить так:

Зная все эти формулы, можно определить свойства параллельных плоскостей.