Параллелограмм - его основные свойства, признаки и формулы

Общие сведения о фигуре
Параллелограмм — это четырехугольник на плоскости, у которого присутствует равенство противоположных сторон, причем они лежат на параллельных прямых. Ромб, прямоугольник и квадрат — его частные случаи. Из него состоят более сложные объемные фигуры. Например, параллелепипед и куб. Высота параллелограмма — отрезок, который является перпендикуляром, проведенным к нижней стороне геометрической фигуры.

Всего можно провести четыре высоты. Две из них можно провести из вершин углов, которые лежат в параллелограмме и являются тупыми. Другие две высоты проводятся из острых углов (находятся вне фигуры). Углы делятся на шесть типов: острые, прямые, тупые, развернутые, выпуклые и полные.
Первый тип, градусная размерность которого меньше 90, является острым. Если значение равно 90, то он является прямым, и соответствует второму типу. В случае, когда выполняется условие 90 < a < 180, то угол считается тупым. При равенстве a = 180 — развернутый. При неравенстве 180 < a < 360 — выпуклый (смежный с ним угол является острым). Полным называется угол, градусная мера которого соответствует 360.
Для решения задач и выполнения расчетов необходимо знать следующие аспекты: свойства и признаки параллелограмма, а также уметь находить его углы, стороны, диагонали, периметр и площадь. Кроме того, следует знать не только основные соотношения фигуры, которая вписана в окружность, но и в случае, когда окружность находится внутри нее.
Информация о признаках
Признаки позволяют выяснить принадлежность фигуры к параллелограмму. Например, существует произвольный четырехугольник, и нужно выяснить, является ли он параллелограммом. Необходимо отметить, что при условии совпадения хотя бы одного из признаков, этот четырехугольник является им. Проверку следует производить, руководствуясь следующими утверждениями:
- Параллельность и равенство двух любых сторон.
- Равенство противолежащих сторон.
- Углы, которые являются противолежащими, равны.
- Точка пересечения диагоналей (центр симметрии) делит их на два равных отрезка.
- При выполнении равенства (d — диагонали): (d1)^2 + (d2)^2 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 .
Последний признак можно записать для упрощения расчетов следующим образом: sqr (d1) + sqr (d2) = 2 * (a 2 + b 2 ). Равенство можно упростить, поскольку противоположные стороны равны.
Основные свойства
Для решения задач и проектирования деталей необходимо знать основные свойства параллелограмма. Некоторые из них были получены при доказательстве и следствиях из теорем. К ним относятся следующие:

- Ромб, квадрат и прямоугольник — параллелограммы.
- Противоположные стороны одинаково равны и параллельны.
- Противолежащие углы равны.
- Суммарное значение градусной меры всех внутренних углов параллелограмма составляет 360.
- Сумма углов, прилегающих к одной из вершин, составляет 180 градусов.
- Диагональ делит фигуру на два треугольника, которые равны между собой по всем признакам.
- Две диагонали (одна — большая, а другая — меньшая) делят параллелограмм на две пары треугольников, которые равны между собой.
- Диагонали фигуры пересекаются, а точка пересечения делит их пополам (через нее можно провести среднюю линию, которая параллельна сторонам).
- Точка пересечения двух диагоналей является симметрией фигуры.
- Биссектрисы соседних углов пересекаются под углом в 90 градусов, а противоположных являются параллельными.
- sqr (d1) + sqr (d2) = 2 * ((a)^2 + (b)^2).
Однако для выполнения расчетов признаков и свойств параллелограмма недостаточно. В некоторых случаях требуется вычислить периметр и площадь фигуры. Соотношения используются не только в учебных заведениях, но и в научных исследованиях. Простым примером является нахождение площади поперечного сечения проводника. Это может понадобиться для дальнейшего вычисления электрического сопротивления.
Определение периметра
Периметром (P) любой фигуры является сумма длин всех ее сторон. Следовательно, для параллелограмма найти это значение является несложным. Базовая формула периметра параллелограмма имеет следующий вид: P = a + b + c + d = 2 * (a + b). Кроме того, существуют и другие соотношения для нахождения этой величины:

- Если известны одна из сторон и две диагонали.
- Нахождение периметра через сторону, высоту и синус угла.
В первом случае соотношение для стороны «a» записывается следующим образом: P = 2 * a + sqrt [2 * (d1 * d1 + d2 * d2 — 2 * a^(2))]. Для «b» запись изменяется таким образом: P = 2*b + sqrt [2 * (d1^(2) + d2^(2) — 2 * b^(2))].
Во втором случае, когда известна сторона «а», угол BAD и высота Ha, периметр записывается формулой вида: P = 2 * [a + Ha / sin (BAD)]. Для стороны «b», угла BAD и высоты Hb равенство принимает следующий вид: P = 2 * [b + Hb / sin (BAD)]. Если проанализировать последние два соотношения, то величины «Hb / sin (BAD)» и «Hа / sin (BAD)» являются стороной «b» и «a» соответственно.
Вычисление площади
Площадь параллелограмма (S) — это пространство, которое ограничено его сторонами, и равно произведению одной из сторон на высоту, проведенную к одноименному основанию. Базовая формула нахождения значения S является следующей: S = a * Ha = b * Hb. Кроме того, существует два способа нахождения ее значения, когда известны следующие величины:

- По сторонам и углу.
- Две диагонали и синус углов f или g между ними.
Можно записать соотношение следующим образом: S = a * b * sin (BAD) = a * b * sin (ABC). В последнем случае математическая запись площади имеет следующий вид: S = 0,5 * d1 * d2 * sin (f) = 0,5 * d1 * d2 * sin (g). Кроме того, существует формула Герона, которая позволяет вычислить площадь параллелограмма. Для этого необходимо вычислить полупериметр (p) треугольника со сторонами a, b и d: p = P / 2 = (a + b + d). Формула имеет вид: S = sqrt[p * (p — a) * (p — b) * (p — d)].
Соотношения сторон и диагоналей
В некоторых задачах необходимо определить неизвестные длины сторон или диагонали. Можно попытаться вывести соотношения, однако эта процедура занимает некоторое время. Следовательно, проще воспользоваться уже готовыми формулами. Стороны параллелограмма можно определить четырьмя основными выражениями. При этом следует знать следующие величины:
- Диагонали и угол.
- Другую сторону и диагонали.
- Высоту и значение синуса угла в градусах.
- Площадь и высоту.
В первом случае для вычисления длины стороны «а», следует воспользоваться следующей формулой: a = [sqrt (d1 *d1 + d2 * d2 — 2 * d1 * d2 * cos (f))] / 2 = [sqrt (d1 * d1 + d2 * d2 + 2 * d1 * d2 * cos (g))] / 2. Значение стороны «b» вычисляется немного иначе: b = [sqrt (d1 * d1 + d2 * d2 + 2 * d1 * d2 * cos (f))] / 2 = [sqrt (sqr (d1) + sqr (d2) — 2 * d1 * d2 * cos (g))] / 2.
При известных значениях диагоналей и одной из сторон, соотношение имеет более простой вид, чем в первом случае: a = [sqrt (2 * (sqr (d1) + sqr (d2) — 2 * b 2 ))] / 2 и b = [sqrt (2 * (sqr (d1) + sqr (d2) — 2 * a 2 ))] / 2.
Когда известны высоты и угол BAD, можно найти стороны a и b: a = Hb / sin (BAD) и b = Ha / sin (BAD). Если известны площадь и высота, то соотношение принимает следующий вид: a = S / Ha и b = S / Hb.
Диагональ параллелограмма — отрезок, который соединяет его противоположные внутренние углы. Фигура имеет две диагонали, одна из которых длинная (d1), а другая является короткой (d2). Их можно найти, используя 4 соотношения. Это возможно в том случае, когда известны следующие данные:
- Стороны и косинус угла ABC.
- Cos (BAD) и стороны.
- Одну известную диагональ и стороны.
- Площадь, диагональ и угол между d1 и d2.

В первом случае можно воспользоваться следующими формулами (теорема косинусов): d1 = sqrt[a 2 + b 2 — 2 * a * b * cos (ABC)] и d2 = sqrt[a 2 + b 2 + 2 * a * b * cos (ABC)]. Во втором: d1 = sqrt[a 2 + b 2 + 2 * a * b * cos (BAD)] и d2 = sqrt[a 2 + b 2 — 2 * a * b * cos (BAD)].
Когда известны две стороны и одна из диагоналей, то можно воспользоваться третьим случаем: d1 = sqrt[2 * a 2 + 2 * b 2 — (d2)^2] и d2 = sqrt[2 * a 2 + 2 * b 2 — (d1)^2]. В последнем случае равенства для нахождения диагоналей имеют такой вид: d1 = 2 * S / [(d2) * sin (f)] = 2 * S / [(d2) * sin (g)] и d2 = 2 * S / [(d1) * sin (f)] = 2 * S / [(d1) * sin (g)].
Параллелограмм и окружность

Существуют определенный тип задач, в которых речь идет о параллелограмме и окружности. Всего бывает два варианта: вписанная и описанная окружности. Следует отметить, что не всегда это возможно. Существуют определенные условия, при которых возможны такие операции. Кроме того, следует обратить особое внимание на дополнительные свойства, которые появляются при комбинации данных фигур. Можно не только чередовать комбинации, но и использовать одновременно.
Для решения сложного типа задач и выполнения расчетов, в некоторых случаях рекомендуется применять вписанные и описанные окружности. Например, при проектировании деталей, необходимо полностью подогнать ее размеры, поскольку они должны быть правильной формы. При помощи окружности (вписанной или описанной) можно выявить ряд дефектов, которые могут привести к некорректной работе механизма.
Круг и прямоугольник
Главное условие: любой четырехугольник можно вписать в окружность, когда сумма его двух противоположных углов составляет 180 градусов. У параллелограмма есть одно свойство: сумма углов, которые прилегают к любой из вершин, составляет 180 градусов. Кроме того, сумма всех его углов составляет 360, а, следовательно, сумму противоположных углов составляет 360 — 180 = 180 (градусов).
Однако при попытке описать около него окружность ничего не выйдет, поскольку есть одно свойство: противоположные углы у него равны. Ими могут быть тупые и острые. Сумма градусной меры тупых углов будет больше 180, а острых — меньше. Когда противоположные углы будут равны 90, то значит их сумма составит 180. В этом случае нужно рассматривать частный случай — прямоугольник. Появляется очень важное свойство: диагонали прямоугольника пересекаются и точкой пересечения (центром окружности) делятся пополам, а также являются диаметрами окружности.
Для нахождения радиуса окружности, следует воспользоваться следующим соотношением (при условии, что известны стороны прямоугольника): R = [sqrt (a 2 + b 2 )] / 2 = d / 2. Величина «d» является диаметром.
Ромб и квадрат
В параллелограмм также можно вписать окружность. Однако для этого необходимо выполнение определенного условия. Оно заключается в следующем: суммы противолежащих сторон параллелограмма должны быть равны. Нужно отметить, что это выполняется только для ромба и квадрата.

Ромбом называется параллелограмм, стороны которого равны, а углы не равны 90 градусов. Квадрат — геометрическая фигура, у которой все стороны и углы равны. Из последнего определения можно найти значение градусной меры одного угла: 360 / 4 = 90. Последняя фигура является частным случаем ромба. Радиус окружности находится с помощью формулы: r = S / p = 0,5 * H. В этом соотношении переменные S, p и H — площадь, полупериметр и высота соответственно. Для нахождения S можно воспользоваться такими соотношениями:
- Известны длина стороны (а) и высота (H): S = a * H.
- Через диагонали d1 и d2: S = d1 * d2 / 2.
Полупериметром фигуры называется половина от значения ее периметра. Соотношение записывается таким образом: p = P / 2 = 4 * a.
Таким образом, знать основные свойства и признаки параллелограмма необходимо, поскольку от этого может зависеть не только качество сдачи экзаменов, решения задач, но и проектирование различных деталей.
Еще тесты
- Анатомия
- Английский язык
- Астрономия
- Биология
- Литература
- История
- Педсовет
- Естествознание
- Финансы и кредит
- Правоведение
- Товароведение
- Экономика
- Социология
- Маркетинг
- Обществознание
- Культурология
- Математика
- Философия
- Русский язык
- Психология
- Политология
- Делопроизводство
- Бухгалтерия
- ОБЖ
- Орфография
- География
- Биографии
- Физика
- Пунктуация
- Краткие содержания
- Химия
- Менеджмент
- Тест на тему Тест по теме Дыхательная система человека 7 вопросов
- Тест на тему Строение человека - анатомия внутренних органов 7 вопросов
- Тест на тему Гормоны - определение, виды, функции, роль в организме человека 5 вопросов
- Тест на тему Лейкоциты в крови - строение, где образуются и разрушаются, норма содержания 5 вопросов
- Тест на тему Одноклеточные организмы - строение , формы и признаки представителей 8 вопросов
- Тест на тему Бесполое размножение - виды, формы и биологическое значение процесса 9 вопросов
- Тест на тему Синтез АТФ - структура, функции и пути образования аденозинтрифосфорной кислоты 7 вопросов
- Тест на тему Биогеоценоз - определение, структура и свойства 5 вопросов
- Тест на тему Символизм в литературе - основные черты и представители направления 6 вопросов
- Тест на тему "У Лукоморья дуб зеленый" - анализ стихотворения Александра Сергеевича Пушкина 8 вопросов
- Тест на тему Родион Раскольников и Соня Мармеладова - история взаимоотношений в романе Ф. М. Достоевского "Преступление и наказание" 6 вопросов
- Тест на тему Семья Мелеховых в романе М. Шолохова "Тихий дон" 7 вопросов
- Тест на тему Отечественная война 1812 года - причины, основные сражения, итоги 7 вопросов
- Тест на тему Правление Ивана Грозного - внутренняя и внешняя политика 7 вопросов
- Тест на тему Образование СССР - причины, этапы становления, состав, итоги 6 вопросов
- Тест на тему Крещение руси князем Владимиром - причины, история, значение принятия христианства 6 вопросов
- Тест на тему Пищевая цепочка в природе - звенья, схемы и примеры цепей 5 вопросов
- Тест на тему Экологические факторы - классификация, примеры, общие закономерности воздействия 5 вопросов
- Тест на тему Биосфера - определение, состав, свойства, границы 5 вопросов
- Тест на тему Возникновение жизни на земле 6 вопросов
- Тест на тему Права и свободы человека и гражданина 5 вопросов
- Тест на тему Унитарное предприятие - виды, признаки, участники, особенности 7 вопросов
- Тест на тему Формы собственности - типы и виды и их характеристика 7 вопросов
- Тест на тему Предпринимательское право - понятие, принципы, предмет и объект, функции 5 вопросов
- Тест на тему Ликвидность предприятия - определение, виды, формула расчета 7 вопросов
- Тест на тему Процентная ставка - понятие, виды, методы расчета и начисления 5 вопросов
- Тест на тему Финансы - определние, сущность, основные функции, виды 7 вопросов
- Тест на тему Коммерческая деятельность - сущность и содержание 7 вопросов
- Тест на тему Статистическое наблюдение - виды, способы, последовательность этапов 6 вопросов
- Тест на тему Социальный контроль - понятие и функции, формы и методы, значение 5 вопросов
- Тест на тему Анкетирование - правила составления и виды вопросов, оформление результатов 5 вопросов
- Тест на тему Социальная группа — понятие, типы, критерии выделения 8 вопросов
- Тест на тему Деятельность человека - основные виды и характеристики 7 вопросов
- Тест на тему Воздушно-десантные войска (ВДВ) - история создания, подразделения, оснащение 7 вопросов
- Тест на тему Субъекты РФ - количество, виды, правовой статус 7 вопросов
- Тест на тему Социальные нормы - понятие, виды и характеристка, функции, примеры 6 вопросов
- Тест на тему Что такое угол 5 вопросов
- Тест на тему Деление в столбик — подробное описание алгоритма решения задач, примеры 10 вопросов
- Тест на тему Вычитание дробей - правила и примеры с решениями 5 вопросов
- Тест на тему Модуль числа - свойства, действия, как решать уравнения и неравенства с модулем 10 вопросов
- Тест на тему Ислам - история возникновения религии, основные положения 7 вопросов
- Тест на тему Мышление - определение, виды, функции, свойства 5 вопросов
- Тест на тему Что такое мораль, ее категории и функции 6 вопросов
- Тест на тему Буддизм - кратко о религии (история возникновения, основные положения, священные книги) 6 вопросов
- Тест на тему Безличные предложения в русском языке 8 вопросов
- Тест на тему Ударение в словах в русском языке - правила и проверка постановки 5 вопросов
- Тест на тему Морфемный разбор слова - правила выполнения с примерами 5 вопросов
- Тест на тему Сложноподчиненные предложения в русском языке 6 вопросов
- Тест на тему Мотивация - определение, виды и типы в психологии, менеджменте 5 вопросов
- Тест на тему Интеллект - понятие, признаки, как развивать, оценка 5 вопросов
- Тест на тему Социализация личности - понятие и сущность, агенты, примеры 5 вопросов
- Тест на тему Типы темперамента и их психологическая характеристика 5 вопросов
- Тест на тему Органы исполнительной власти РФ - понятие и правовой статус, структура и фунции 7 вопросов
- Тест на тему Европейский союз - история создания, цели, состав 5 вопросов
- Тест на тему Тоталитаризм - определение, характерные черты, плюсы и минусы идеологии 5 вопросов
- Тест на тему Политическая идеология - определение понятия, функции, классификация, особенности 5 вопросов
- Тест на тему Оборотные средства предприятия, их структура, учет и анализ 7 вопросов
- Тест на тему Бюджетная классификация - определение, структура 7 вопросов
- Тест на тему Калькуляция - основные понятия, примеры расчетов себестоимости 7 вопросов
- Тест на тему Бухгалтерский учет материально-производственных запасов на предприятии 8 вопросов
- Тест на тему Пистолет Макарова - шпаргалка по тактико-техническим характеристикам 9 вопросов
- Тест на тему Чрезвычайная ситуация - понятие, типы ЧС, причины возникновения, стадии развития 7 вопросов
- Тест на тему Вооруженные силы Российской Федерации — организационная структура и предназначение 7 вопросов
- Тест на тему ВМФ (Военно-Морской флот) России - структура, история, состав 7 вопросов
- Тест на тему Перу - географическое положение, климат и достопримечательности 9 вопросов
- Тест на тему Климатические пояса Земли - характеристика и особенности 8 вопросов
- Тест на тему Тайга - географическое положение, животный и растительный мир, особенности и характеристика природной зоны 7 вопросов
- Тест на тему Озеро - определение, классификация, признаки 6 вопросов
- Тест на тему Братья Гримм - биография, жизнь и творчество немецких писателей 10 вопросов
- Тест на тему Тамерлан (1336-1405) - биография, жизнь и завоевания великого полководца 10 вопросов
- Тест на тему Максим Горький (1868-1936) - биография, кратко самое важное, интересные факты из жизни писателя 9 вопросов
- Тест на тему Блок Александр Александрович (1880-1921) - биография, жизненный и творческий путь 11 вопросов
- Тест на тему "Ночь перед Рождеством" - краткое содержание повести Н. В. Гоголя 10 вопросов
- Тест на тему "Маленький Мук" - краткое содержание сказки Вильгельма Гауфа 10 вопросов
- Тест на тему "Дворянское гнездо" - краткое содержание романа И.С. Тургенева 8 вопросов
- Тест на тему "Бирюк" - краткое содержание рассказа И.С. Тургенева 10 вопросов
- Тест на тему Серная кислота - химические и физические свойства и реакции 8 вопросов
- Тест на тему Муравьиная кислота - формула, свойства, получение и применение 7 вопросов
- Тест на тему Сложные эфиры - характеристика, классификация и примеры соединений 8 вопросов
- Тест на тему Толуол - формула, свойства и применение химического вещества 8 вопросов
- Тест на тему Оценка персонала - виды, критерии и методы 7 вопросов
- Тест на тему Управление персоналом - задачи, функции, современные подходы 5 вопросов
- Тест на тему Менеджмент предприятий — сущность, виды, задачи и цели 7 вопросов
- Тест на тему Организационная структура предприятия — типы и предназначение 7 вопросов