Первообразная функции - свойства, правила и примеры нахождения

Основная информация

Первообразная некоторой функции находится при помощи операции интегрирования. Последняя является обратной для вычисления производной. Например, существует какое-то выражение Z(p). Его производной является некоторая функция z(р), то есть [Z(p)]' = z(p). Нахождение Z(p) осуществляется по таблице первообразных или интегралов. Когда такой нет под рукой, то можно применить и таблицу производных. При этом следует учитывать константу.

Табличные значения специалисты не рекомендуют заучивать, поскольку такие действия приводят к потере драгоценного времени. Они считают, что в процессе нахождения интегралов информация отложится в голове. Для начала рекомендуется рассмотреть неопределенный интеграл, а затем переходить к другим его видам.

Применение интеграла

Интеграл — один из основных элементов высшей математики. Его обозначают «∫». После этого символа следует подынтегральное выражение, которое записывается в следующем виде: (функция)d(переменная). Следует отметить, что совокупность символов "d(переменная)" обозначает, по какой переменной следует осуществлять операцию интегрирования.

При помощи операции поиска первообразной можно находить площади некоторых фигур, величину пути при неравномерном движении и множество других параметров, для которых невозможно применить общие формулы и соотношения.

Алгебраический смысл интеграла заключается в представлении некоторой суммы в виде маленьких слагаемых. Их бывает много видов: неопределенный, определенный, двойной и так далее. Однако конечным результатом является некоторая производная. Следует отметить, что идет строгое разделение по переменным, по которым выполняется интегрирование. В этом случае их нужно классифицировать на два вида: определенный и неопределенный.

Неопределенным интегралом произвольной функции z(p) называется выражение, представленное в виде ее первообразной с учтенной константой Z(p) + C, то есть ∫(z(p)) dp = Z(p) + С. У него отсутствуют ограничения в виде некоторых числовых значений границ. Первообразная находится в общем виде. Во втором случае также следует найти исходную функцию, но по формуле Ньютона-Лейбница подставляются числовые значения. Далее находится конкретная числовая величина.

Чтобы найти первообразную, необходимо руководствоваться некоторыми правилами. Математики рекомендуют их знать, поскольку это поможет в дальнейшем обучении.

Методика нахождения

Существуют определенные правила нахождения первообразных. Для нахождения интеграла простейшей функции необходимо воспользоваться таблицей первообразных (рис. 1). Далее нужно найти соответствующее выражение и записать результат. Однако задания не всегда могут быть простыми, поскольку некоторые выражения следует упростить, а другие — решаются только при помощи формул интегрирования по частям.

Рисунок 1. Таблица первообразных.

Методика нахождения первообразной для простой табличной функции состоит из двух этапов. Для этой цели следует воспользоваться обыкновенным алгоритмом, который рекомендуют математики всего мира:

• Упростить выражение под знаком интеграла. Операция подразумевает такие элементы (следует применять по необходимости): приведение подобных слагаемых, вынесение общего множителя за скобки, использование формул сокращенного умножения, раскрытие скобок и так далее.
• Определение первообразной по таблице (рис. 1).

Если первый метод не подходит, то следует воспользоваться формулой первообразной, которая позволяет выполнять операцию интегрирования по частям. Прибегать к такому варианту следует в том случае, когда функция является сложной и ее нет в таблицах производных и интегралов.

Однако для начала следует рассмотреть теорию. Необходимо предположить, что существуют две функции: m = m(y) и n = n(y). У них есть некоторые производные, которые являются непрерывными. Чтобы вывести формулу, нужно рассмотреть свойство дифференциалов: d(mn) = mdn + ndm. Далее необходимо взять неопределенный интеграл от правой и левой частей: ∫d(mn) = ∫(mdn + ndm). После этого получится такое тождество: ps = ∫pds + ∫sdp. Из соотношения можно вывести формулу нахождения первообразной при помощи методики интегрирования по частям: ∫mdn = mn - ∫ndm.

Суть соотношения заключается в упрощении сложного выражения и сведении его к табличному значению. Следует отметить, что методика может применяться много раз и без каких-либо ограничений. Специалисты выделили отдельные подынтегральные функции, к которым нужно применять эту методику:

• Произведение натурального логарифма на многочлен.
• Многочлен, умноженный на показательную или степенную функции (экспонента также входит в эту группу).
• Выражение, умноженное на любые из тригонометрических прямых и обратных функций. Первое должно быть представлено в виде многочлена. К прямым относятся синус, косинус, тангенс и котангенс, а к обратным — арксинус, арктангенс, арккосинус и арккотангенс.
• Дробь с неизвестными: только числитель и знаменатель.

Если по какой-то причине интеграл невозможно взять, то это объясняется только наличием ошибок при интегрировании. Специалисты рекомендуют пересмотреть ход решения или начать его заново. Иногда необходимо осуществить замену подынтегрального выражения, но этот способ не будет рассматриваться, поскольку он является очень сложным.

Геометрический смысл

У интеграла есть определенный геометрический смысл, который заключается в нахождении площади криволинейной трапеции. К последним принадлежат плоские фигуры, ограниченные некоторым заданным графиком, а также прямыми или другими графиками. Основные требования — непрерывность и конечное значение S (площади) должно быть больше нуля. Как правило, в подынтегральную часть идет сама функция, а границами являются значения переменных.

В качестве ограничителей могут выступать также и оси декартовой системы координат. Чтобы вычислить площадь этой фигуры, необходимо выполнить такие операции:

1. Найти первообразную в общем виде.
2. Подставить значения ограничителей в формулу Ньютона-Лейбница (p1 = a и p2 = b).
3. Произвести необходимые вычисления.

Во втором пункте соотношение имеет такой вид: S = Z(а) - Z(b). Необходимо отметить, что величина «а» является верхней границей, а "b" - нижней. Площадь S не может быть отрицательной величиной. Если по каким-то причинам S < 0, тогда следует проверить саму функцию на непрерывность и поменять границы местами.

Во время процесса интегрирования вся фигура разбивается на множество мелких элементов прямоугольной формы. Далее высчитывается площадь каждого элемента, а затем выполняется операция сложения. В результате получается искомое значение площади криволинейной трапеции.

У интеграла есть также и физический смысл. В этом случае необходимо связать понятие материальной точки (тела) со скоростью ее движения V(t) за время t из точки а в точку b. Интеграл (определенный) в этом случае эквивалентен пути: ∫[V(t)] dt |(a;b).

Следует также сформулировать основное свойство первообразной: произвольная первообразная непрерывной и дифференцируемой функции z(p) на некотором промежутке записывается в виде выражения Z(p) + C, где С — произвольная постоянная величина. На основании этого утверждения математики сформулировали два вспомогательных свойства:

1. С — любое число, поскольку производная константы равна 0.
2. Для любой подынтегральной функции z(p) существует некоторая первообразная Z(p) + C, которая также является дифференцируемой и непрерывной на заданном промежутке.

Свойства и определения необходимы для доказательства тождеств и теорем. Несмотря на то что при дифференцировании константа обращается в нулевое значение, следует всегда ее учитывать. В задачах некоторого вида нужно найти постоянную величину. Примером таких упражнений является решение дифференциальных уравнений.

Важные рекомендации

Для нахождения первообразной существует несколько методов. Они делятся на следующие группы: автоматизированные и ручные. Первый тип применяется для быстрого нахождения исходной функции, а также вычисления площади криволинейной трапеции. Это можно решать при помощи специальных программ или интернет-сервисов. Примером последних является калькулятор интегралов (Integral Calculator). Приложение поддерживает все современные операционные системы и платформы: Windows, Linux, Android и Mac.

Приложение считается одним из лучших, поскольку его функциональные возможности не ограничиваются только нахождением производных. Оно обладает такими дополнительными возможностями: нахождение производных, построение графиков, решение дифференциальных уравнений, вычисление значений тригонометрических функций и так далее.

Математики все же не рекомендуют использовать различные сервисы для решения задач, поскольку следует научиться выполнять такие операции в ручном режиме. Это объясняется тем, что не всегда под рукой будет соответствующее программное обеспечение. Кроме того, на экзаменах, зачетах и контрольных запрещается их использовать. Специалисты считают, что их применение целесообразно, когда нужно проверить результат решения.

Основные алгоритмы

Алгоритмизация решения задач применяется во всех областях науки, поскольку позволяет не только избежать ошибок, но и написать отдельные веб-приложения для решения задач определенного вида. Этот подход также необходим при написании курсовых и дипломных работ, в которых нужно разрабатывать схемы в виде программных продуктов. Реализуются они на различных языках программирования. Полный алгоритм или инструкция нахождения первообразной для неопределенного интеграла имеет такой вид:

• Подынтегральное выражение нужно упростить. Вынесение константы за знак интеграла также входит в этот пункт.
• Найти первообразную по таблице, изображенной на рисунке 1.
• Записать ответ.
• Осуществить проверку при помощи Integral Calculator или другого сервиса. Если решения совпадают, то задача решена верно. В противном случае следует перейти в первый пункт, поскольку от правильности выполнения операции упрощения тождества зависит конечный результат.

Когда следует найти первообразную с учетом значений границ, то следует воспользоваться алгоритмом:

1. Выполнить первый и второй пункты алгоритма нахождения первообразной для неопределенного интеграла.
2. Вычислить значение при помощи формулы Ньютона-Лейбница, внимательно проверив соответствующие границы.
3. Осуществить подстановку значений.
4. Произвести необходимые вычисления.
5. Если получено отрицательное значение при нахождении площади, то следует пересмотреть график функции и ограничивающие прямые или другие графики-ограничители. Далее следует выполнить повторное нахождение решения, то есть вернуться к первому пункту.
6. Результат — положительное число. Необходимо перейти к 7 пункту.
7. Проверка при помощи онлайн-сервиса.
8. Ответ не совпадает: осуществить поиск ошибки, переходя в предыдущий пункт.
9. Результаты совпадают: записать ответ.

Когда представлена сложная функция (не является табличной), тогда можно также применять любой из алгоритмов. Однако следует свести ее к табличной, применив формулу интегрирования по частям.

Примеры решения

Для практического применения следует разобрать такое выражение: (p - 1)(p+1) - (p+2)^2 + p^3. Необходимо найти его первообразную. Выполнять это задание необходимо по первому алгоритму:

1. Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых: (p - 1)(p+1) - (p+2)^2 + p^3 = р^2 - 1 - p^2 - 4p - 4 + p^3 = p^3 - 4p - 1.
2. Результат состоит из суммы разности элементарных первообразных: ∫(p^3 - 4p - 1) dx = (p^4) / 4 - (4 * p^2) / 2 - p + C (степенные функции).
3. Проверка: результаты совпадают.

Далее нужно решить пример с использованием интегрирования по частям. Например, дана некоторая подынтегральная функция p * ln(p). Она является сложной, поскольку ее нет в таблице. Следует также отметить, что нужно учитывать характер ln(p). Неизвестная величина р должна быть под знаком модуля, то есть p = |p|. Если р < 0, то функция является неопределенностью. Алгоритм интегрирования имеет такой вид:

1. Обозначения: m = ln(p), dm = 1 / dp, dn = dp и n = p.
2. Результат операции интегрирования: ∫p * ln(p) dp = p * ln(p) - ∫dp = p * ln(p) - p + C, где p >= 0.

Проверив результат при расчетах и на калькуляторе интегралов, можно сделать вывод, что задача решена правильно. Кроме того, следует проверять подынтегральное выражение. Например, если дана функция с корнем четной степени (квадрат, четвертая и так далее), то необходимо указывать, что функция должна быть больше или равна 0.