Площадь прямоугольника - формула и примеры нахождения через диагонали

Общая информация

В задачах с физико-математическим уклоном нужно вычислять некоторые параметры прямоугольника: размерность углов, длины сторон и диагоналей, величину периметра и площади. Они связаны между собой математическими соотношениями.

Методику расчета должен знать каждый, поскольку величины применяются не только в решении заданий, но и при ремонте. Например, следует рассчитать количество плитки для пола в ванной, которая имеет форму прямоугольника. Если воспользоваться свойством диагоналей, можно выяснить, каким методом следует ее укладывать на пол.

Чтобы воспользоваться конкретным соотношением для определенной фигуры, ее сначала нужно идентифицировать для правильного применения расчетной формулы. При неверном определении прямоугольника вычисления будут недостоверными, что негативно скажется на зачетности по физико-математическим дисциплинам или закупке материалов для выполнения ремонтных работ.

Кратко о прямоугольнике

Прямоугольник — геометрическая фигура, состоящая из четырех попарно равных и параллельных сторон, между которыми образованы прямые углы. Частный случай — квадрат (правильный четырехугольник), у которого стороны эквивалентны одному значению, а углы — прямые.

Однако определения недостаточно для идентификации фигуры. Для этой цели используются некоторые критерии, которые математики называют признаками. У фигуры также есть и свойства. Эти 2 термина новички путают на начальных этапах обучения. Чтобы этого не случилось, следует знать их формулировки.

Признак — совокупность правил, на основании которых фигура относится к определенному виду. Свойства — утверждения, используемые при решении задач и не требующие каких-либо математических доводов (доказательств).

Порядок идентификации

Простейшее правило идентификации прямоугольника — теорема из евклидовой геометрии. Ее формулировка имеет такой вид: если у четырехугольника 3 внутренних угла эквивалентны 90 градусам, он прямоугольник. Доказывается утверждение очень просто - посредством методики:

1. Найти неизвестный четвертый угол (сумма градусных мер всех углов четырехугольника MNOP эквивалентна 360): ∠P = 360 — (90 + 90 + 90) = 90 (градусов).
2. На основании полученного результата и определения фигура является прямоугольником.

Однако это утверждение не единственное, по которому возможно верно определить фигуру. Математики вывели и другие критерии, позволяющие идентифицировать прямоугольник. К ним относятся:

1. Длины противоположных сторон равны.
2. Углы являются прямыми, т. е. равными между собой.
3. Равенство диагоналей.
4. Результат суммы квадратов непротивоположных сторон эквивалентен произведению диагоналей. Это соотношение вывели из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника.
5. Значения длин сторон не равны между собой, т. е. не является квадратом.

Первые 2 признака получаются из определения прямоугольника. На основании теоремы о диагоналях, которая гласит, что они равны между собой, получен третий признак. Чтобы доказать теорему, нужно схематически начертить прямоугольник МNОР, провести диагонали МО и NP. Они пересекутся в точке Т. При этом образуется 2 прямоугольных треугольника МNО и МNP. Далее требуется доказать их равенство.

Доказывается утверждение довольно просто. Для этого следует рассмотреть треугольники: общая сторона — MN, ∠М = ∠N (по II признаку прямоугольника) и NО = МР (по I признаку). Следовательно, треугольники равны и их гипотенузы (диагонали) так же равны.

Для доказательства соотношения в четвертом признаке нужно рассмотреть прямоугольный треугольник MNP. По теореме Пифагора получается такое соотношение: NР ² = МN ² + МР ² . Пятый признак следует из определения квадрата (прямоугольник с эквивалентными между собой четырьмя сторонами).

Важные свойства

Для решения задач используются свойства, состоящие из доказанных утверждений и соотношений, при помощи которых находятся параметры фигуры. Например, зная значение диагонали, можно вычислить по формуле площадь прямоугольника. Основной список свойств, необходимых при решении задач и доказывании теорем:

1. Все 4 угла — прямые.
2. Противолежащие стороны параллельны между собой и эквивалентны.
3. Сумма градусных мер внутренних углов эквивалентна 360.
4. Диагонали делятся точкой пересечения, которая является центром описанной окружности и симметрии, на 2 равные части.
5. Все треугольники, образованные диагоналями, равны или подобны.
6. NР ² = МN ² + МР ², где NР — диагональ (для удобства обозначается литерой "t"), а MN и МР — стороны фигуры.
7. Диаметр окружности, которая описана вокруг искомого геометрического тела, эквивалентен его диагонали.
8. При пересечении диагоналей образуются равнобедренные малые и прямоугольные большие треугольники.
9. Половина значения длины диагонали эквивалентна медиане и высоте, проведенной из любой вершины фигуры. Диагональ — биссектриса только в квадрате.
10. Через точку пересечения диагоналей можно провести среднюю линию прямоугольника.

При решении задач рекомендуется пользоваться не только признаками и свойствами, но и формулами.

Основные формулы для вычислений

Для изучения основных соотношений следует ввести некоторые обозначения, позволяющие избежать «тяжелых» записей, при которых обозначаются стороны и диагонали. Упрощенная форма имеет такой вид:

1. Прямоугольник: MNOP.
2. Стороны: MN = m и NО = n.
3. Диагональ (вводится одно обозначение, поскольку они равны): NP = t.
4. Периметр: Р.
5. Площадь: S.
6. Углы оснований: ∠М = ∠N = ∠O = ∠P = 90.
7. Радиус окружности: R.
8. Диаметр: D.
9. Углы при пересечении диагоналей: острый - ∠МТN = Q, тупой - ∠NTO = U.

На последний пункт следует обратить внимание, поскольку иногда молодые математики их путают, подставляя в формулу площади прямоугольника через диагонали.

Площадь и периметр фигуры

Периметр — сумма всех четырех сторон. Для его нахождения рекомендуется использовать соотношения:

1. S и одна из сторон: P = [2S + 2m ² ] / m или P = [2S + 2n ² ] / n.

2. t и m (n): P = 2m + 2(t ² — a ² )^(0.5)) = 2n + 2(t ² — n ² )^(0.5)).

3. m (n) и R: P = 2m + 2(4 * R ² — m ² )^(0.5)) = 2 * (n + (4 * R ² — n ² )^(0.5)).

4. m (n) и D: P = 2m + 2(D ² — m ² )^(0.5)) = 2n + 2(D ² — n ² )^(0.5)).

   

Для вычисления размерности прямоугольника используется понятие площади для двухмерной фигуры. Она измеряется в линейных единицах, возведенных в квадрат, т. е. мм ² , см ² , м ² и т. д. Чтобы найти S, нужно воспользоваться соотношениями:

1. P и m (n): S =0.5 * [P * m — 2 * m ² ] = 0.5 * [(P * n) — 2n ² ].

2. Две известные противоположные стороны: S = mn.

3. Площадь прямоугольника по диагонали t и m (n): S = m * [t ² — m ² ]^(0.5) = n * [t ² — n ² ]^(0.5).

4. Синус ∠МТN и t (формула площади через диагональ): S = 0.5 * [t ² * sin (Q)].

5. R и m (n): S = m * [4 * R ² — m ² ]^(0.5) = n * [4 * R ² — n ² ]^(0.5).

6. Cторона и D: S = m * [D ² — n ² ]^(0.5) = n * [D ² — m ² ]^(0.5).

Найти площадь прямоугольника, зная диагональ и 2 стороны, поможет формула Нонаналя. Она имеет следующий вид: S = 2 * [p * (p-m) * (p-n) * (p-t)]^(1/2), где р = (m + n + t) / 2. Однако для решения задач будут также полезны и другие соотношения.

Другие полезные соотношения

При решении заданий иногда возникает необходимость найти не только P и S, но и другие параметры фигуры. Для этих целей рекомендуется использовать следующие соотношения:

1. m = [t ² — n ² ]^(0.5) и n = [t ² — m ² ]^(0.5).

2. m = S / n и n = S / m.
3. m = 0.5 * (P — 2 * n) и n = 0.5 * (P — 2 * m).
4. t = [m ² + n ² ]^(0.5).
5. t = (S ² + m ⁴ )^(0.5) / n= (S ² + n ⁴ )^(0.5) / m.
6. sin(U) и m: R = m / 2sin (U).
7. cos(U) и n: R = n / 2cos (U).

Чтобы найти sin(U), нужно воспользоваться формулой: sin (U) = m / t, а cos (U) = n / t. Синус острого угла находится таким образом: sin (Q) = 2S / t ² .

Пример задания

У прямоугольника одна из сторон эквивалентна 10 м, а P = 100. Необходимо вычислить следующие параметры:

1. Вторую сторону (m).
2. Диагональ (t).
3. Значение размерности (S).

Для нахождения неизвестных параметров следует воспользоваться формулами для прямоугольника. Математики рекомендуют выполнять расчеты по такому алгоритму:

1. Записать формулу периметра: P = 2m + 2n.
2. Найти m: m = (P - 2n) / 2 = 80 / 2 = 40 (м).
3. Вычислить t: t = [10^2 + 40^2]^(1/2) = 1700^(1/2) = 41 * [19]^(1/2) (м).
4. Размерность будет равняться: S = mn = 40 * 10 = 400 (м^2).

При вычислении выбирается простая формула, как в последнем случае. Каждая задача должна решаться упрощенным способом, поскольку этот критерий является основным требованием в высших учебных заведениях.

Таким образом, при решении различных заданий с физико-математическим уклоном необходимо идентифицировать фигуру, а затем применять к ней соотношения и свойства.