Признаки делимости чисел - правила и примеры решений
Любое число можно разделить на разрядную единицу, если у него одинаковое или большее количество нулей в конце. Например, 5790 можно поделить на 10, так как в конце один ноль. Еще примеры:
- 4958700:100=49587.
- 374000:1000=374.
- 5781000:100=5781.
- 97430:10=9743.
Невозможно разделить 128700 на 1000, так как у разрядной единицы нулей больше, а также 237480 на 100 и другие подобные.
Делители от 11 и выше
Чтобы получилось деление на 11, необходимо сложить четные по счету номера, а затем нечетные, затем произвести вычитание. Если в процессе вычислений получился ноль или одиннадцать, то остатка не будет.
Онлайн-задание с ответом: 7535, 74019 и 50486.
Нечетные в первом случае 7 и 3, четные 5 и 5. Считаем:
- 7+3=10,
- 5+5=10,
- 10−10=0.
Четные во втором примере 4 и 1, нечетные — 7, 0, 9. Вычисление:
- 7+0+9=16.
- 4+1=5.
- 16−5=11.
В третьем примере нечетные 5, 4, 6, четные 0 и 8. Решаем:
- 5+4+6=15.
- 0+8=8.
- 15−8=7.
Ответ: в первом и втором примере десятых, сотых, тысячных и так далее не останется, а в третьем — останется.
Чтобы разделить на двузначный делитель 12, нужно произвести общие вычисления, характерные для делителей 3 и 4 одновременно. К примеру, 900 и 3432. Сначала следует разложить на слагаемые 9+0+0=9, значит, можно поделить на 3. В конце стоит два нуля — можно делить на 4. Проверка: 900:12=75. Первая часть задания решена, теперь делаем вторую: 3+4+3+2=12, 12:3=4. Таким образом проверяется кратность трем. Теперь четырем: в конце стоит 32, что указывает на кратность 4, значит, остатка не будет. Таким образом, оба примера кратны 12.
Дробь, кратная 13, разрешится без остатка, если последнюю цифру умножить на 4, после чего сложить число и последнюю цифру. Если полученная сумма кратна 13 или равно 0, то деление получится.
Например, 6942:
- 2*4=8.
- 694+8=702.
- 702:13=54.
Еще пример — 754:
- 4*4=16.
- 75+16=91.
- 91:13=7.
Признак делимости на составное число
Если делитель составной, необходимо его разложить на простые множители, которые не имеют общих кратных, кроме единицы. Пример: 15 раскладывается на 3 и 5. Любое неизвестное кратно 15, если одновременно кратно трем и пяти.
Также и с другим составным: 18 раскладывается на 2 и 9. Нельзя брать множители 3 и 6, так как они не простые, у них общее кратное 3. Например, 456 кратно трем, проверка: 4+5+6=15, также кратно 6 (при разложении на 2 и 3). Однако калькулятор выводит запятую. Если взять множители 2 и 9, будет видно, что двум — кратно, а девяти — нет, ведь сумма равна 15, которая не кратна 9.
Таблица кратных от 2 до 10
Для удобства школьникам и их родителям предлагается таблица признаков делимости чисел от 2 до 10. Она наглядно и кратко демонстрирует всю вышеизложенную теоретическую часть:
| Делимость на: | Признак числа: |
| 2 | Оканчивается четной цифрой: 0, 2, 4,6, 8 |
| 3 | Сумма цифр, их которой оно состоит, делится на 3 |
| 4 | Две последние цифры делятся на 4 |
| 5 | Окончание на 5 или 0 |
| 6 | Одновременная кратность 2 и 3 |
| 8 | Три последние цифры кратны 8 |
| 9 | Сумма цифр кратна 3 |
| 10 | Окончание равно нулю |
Вышеизложенное доказывает, что к любому натуральному числу можно подобрать простой или составной признак кратности. На практике выходит, что чем больше число, тем сложнее его признак. Часто не хочется тратить время на проверку делимости, ведь за этот промежуток уже можно выполнить само деление. Поэтому любой школьник может воспользоваться простейшими признаками делимости.
