Содержание:

Суть теоремы Ферма

Автор умозаключения утверждал, что уравнение вида xn + yn = zn, где x, y, и z — целые числа, не имеет решений для n > 2. В частности, это означает, что если степень уравнения выше 2 (то есть n = 3, 4, 5 и так далее), то не существует таких целых чисел, которые удовлетворяют этому уравнению.

Пример:

Когда n = 2, уравнение принимает вид:

x2 + y2 = z2

Это знаменитая теорема Пифагора, которая имеет множество решений. Например, 32 + 42 = 52, где x = 3, y = 4, z = 5.

Однако, как утверждал Ферма, при n > 2 таких решений не существует. Он записал это утверждение на полях книги и добавил, что у него есть «удивительное доказательство», но оно слишком велико, чтобы поместиться на странице. Это заявление дало начало долгим векам поисков доказательства.

История проблемы

После того как Ферма сформулировал свою теорему, многие математики пытались найти её доказательство. За это время проблема приобрела культовый статус в математике. Автор предложил доказательства для некоторых частных случаев, таких как n = 3 и n = 4, но общее доказательство оставалось неизвестным.

Частные случаи

  • n = 3: Первый серьёзный вклад в решение частного случая для n = 3 сделал Эйлер в 18 веке. Он использовал различные алгебраические методы, чтобы доказать, что решений для этой степени нет.
  • n = 4: Сам автор предоставил доказательство для этого случая. Оно было основано на методе, известном как «спуск Ферма».

Несмотря на эти успехи, общий случай для всех n оставался нерешенным на протяжении столетий.

Прорыв Эндрю Уайлса

Решение загадки Ферма было найдено только в 1994 году, когда британский математик Эндрю Уайлс предоставил своё доказательство. Это был огромный прорыв в математике, который потребовал использования продвинутых математических теорий, которые не существовали во времена Ферма.

Теорема Ферма-3.jpg

Основные шаги доказательства Уайлса

Доказательство Уайлса связано с одной из самых сложных и современных областей математики — теорией эллиптических кривых и модулярных форм. Одним из ключевых моментов стало так называемое связывание теоремы Ферма с теоремой Таниямы-Шимуры, которая утверждала, что каждую эллиптическую кривую можно связать с определённой модулярной формой.

Как это связано с теоремой Ферма?

Сложность заключается в том, что доказательство требует использования мощных инструментов современной математики. В 1950-х годах математики сформулировали гипотезу Таниямы-Шимуры, которая касалась связи между эллиптическими кривыми и модулярными формами. Уайлс понял, что, если он докажет гипотезу Таниямы-Шимуры для определённого класса эллиптических кривых, это автоматически приведет к доказательству теоремы Ферма.

Как Уайлс пришёл к решению?

Эндрю Уайлс начал работать над этой проблемой в 1980-х годах в полном секрете, боясь, что кто-то другой может прийти к решению раньше. Его труд длился почти 7 лет, и в 1993 году ученый опубликовал своё доказательство. Однако вскоре было обнаружено, что в его работе содержится ошибка. Вместе с коллегой Ричардом Тейлором получилось исправить её, и в 1994 году окончательное доказательство было представлено математическому сообществу.

Значение теоремы и её доказательства

Теорема Ферма не только стала решённой математической загадкой, но и дала толчок к развитию новых областей в теории чисел. Доказательство Уайлса было признано одним из величайших математических достижений XX века. Оно показало, насколько важна взаимосвязь между различными разделами математики и как далеко математика шагнула со времён Ферма.

Заключение

Теорема Ферма — это яркий пример того, как одна небольшая запись на полях книги может стать источником вдохновения для многих поколений математиков. Доказательство Эндрю Уайлса стало завершением более чем 350-летней математической загадки и продемонстрировало силу современных математических методов.