Свойства дробей - общие формулы, правила и примеры для 5 класса

Общие сведения

Дробь — это число, образуемое из равных долей единицы. Чтобы разобраться в сути выражения, следует понять, что означают слова «целое» и «часть». Пусть есть плитка шоколадки. Она разделена на десять частей. Если взять один кусочек, можно сказать, что в руках находится одна часть из десяти. Отломать второй — получится два куска опять же из десяти.

Эти кусочки и являются долями. То есть тем, из чего состоит целая часть. При этом их размеры должны быть одинаковыми. В рассматриваемой шоколадке их десять. Если её поделить пополам, то это действие будет сродни удалению пяти долей. На математическом языке это действие будет записано как 5 / 10. Целую же шоколадку можно представить так: 10 / 10.

Наклонная черта обозначает деление. В верхней части записывают число, определяющее, сколько долей было забрано от целого, значение которого указывается в нижней строке. В математике принято для краткости число, стоящее над чертой, называть числителем (делимым), а под ней знаменателем (делителем).

В зависимости от значений отношения, существующие дробные выражения разделяют на три типа:

• правильные — делимое по количеству меньше делителя;
• неправильные — значение числителя больше, чем знаменателя;
• смешанные — состоят из целой части и неправильного выражения;
• многоэтажные — в числителе или знаменателе стоят дробные числа, например, (7/8) / 2.

Существуют и так называемые десятичные дроби. Их исторически выделили из-за простоты выражения. При этом в записи используется не черта, а запятая. Она отделяет единицы от десятичных значений. Например, 1,2; 0,2; 3,56. Это просто иные записи обыкновенных дробных выражений. Так: 1,2 = 12 / 10; 0,2 = 2 /10; 3,56 = 356 / 100.

Пожалуй, понятие смешанной дроби требует дополнительного объяснения. Записывают её так: x (y / z), где: x — целое число; y / z — дробное отношение. По сути, между двумя частями стоит знак плюс, который не указывают. Поэтому выражение x (y / z) можно переписать как x (y / z) = x + (y / z). Например, 3 (4/5) = 3 + (4 / 5).

Так как дроби это числа, то с ними можно выполнять любые арифметические операции. Но их можно не только складывать, вычитать, умножать, делить, но и возводить в степень, дифференцировать, брать логарифм. Для выполнения этих действий нужно знать правила и свойства дробей, которым и обучают на уроках математики в школе.

Главное правило

Основное свойство дроби заключается в том, что если числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, то результат действия от этого не изменится. Это правило справедливо и для операции деления. Доказать это утверждение довольно просто.

Пусть есть два равных выражения a / b и m / n. Они будут равными, если у них одинаковые числители и знаменатели. Значит: a * n = b * m. Например, 3 / 5 = 6 / 10, так как 3 * 10 = 5 * 6. Из этого следует, что одинаковыми будут по величине и выражения a / b = (m * c) / n * c), ведь равенство a * (n * c) = b * (m * c) также справедливо. Утверждать о верности последнего выражения можно на основании сочетательного и переместительного свойства умножения.

Эти правила гласят следующее:

• для любых натуральных чисел верно равенство a * b = b * a;
• результат перемножения трёх и более аргументов не поменяется, если группу членов заменить произведением a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c).

Таким образом, можно записать: a / b = a * c / b * c. Это равенство и соответствует основному свойству дроби. В 5 классе после доказательства правильности утверждения, ученикам предлагается подумать над следствием, вытекающим из правила. На самом деле оно простое и порядка 90 процентов учеников называют его. Звучит оно так: если в дробном выражении делимое и делитель разделить на одно и то же число, значение выражения не изменится.

Эти правила очень важны. Благодаря им исходное равенство можно при необходимости привести к простому виду. Использование следствия иногда называют сокращением дроби. Например, пусть есть простое для понимания отношение: 60 / 30. Если выполнить деление, то в ответе получится цифра два. Но изначально числитель и знаменатель можно сократить на десять, то есть разделить на это число: 60 / 30 = 6 / 3 = 2. Результат не поменялся. Более того, можно упростить и 6 / 3, выполнив деление на три: 6 / 3 = 2 / 1 = 2. Ответ снова совпадает.

Для общего же случая нужно отметить, что сокращение возможно лишь тогда, когда делимое и делитель не являются взаимно простыми числами. Если это не так, то дробь считается несократимой. Например, 1 / 2; 4 / 5. Использование основного свойства заключается в приведении исходного выражения к несократимому: 18 / 30 = 3 / 5 (после сокращения на шесть).

Нужно отметить, что на рассмотренных правилах построены практически все алгоритмы, связанные с выполнением математических действий над дробями.

Действия с дробями

Перед тем как приступить к изучению алгоритмов выполнения арифметических операций над дробями, нужно научиться преобразовывать смешанное отношение в неправильное число и находить наименьший общий знаменатель.

Для преобразования необходимо целое умножить на делитель дробной части, а затем полученное число сложить с её делимым. Затем результат прибавления занести в числитель, а знаменатель записать без изменения. При этом целое число можно представить как неправильную дробь, если добавить к ней знаменатель, равняющийся единице. Например, 9 (3 / 4) = ((9 * 4) + 3) / 4 = 39 / 4. Это операция обратимая, то есть преобразование можно выполнить и в обратную сторону.

Если в выражениях, над которыми необходимо выполнить сложение или вычитание, стоят одинаковые по значению делители, то говорят, что они приведённые. То есть чтобы выполнить арифметическую операцию, нужно найти общее кратное для всех знаменателей. Для его определения существуют несколько методов. Самый простой, но далеко не рациональный, простое перемножение делителей.

Другой заключается в выявлении наименьшего числа среди всех знаменателей, умножения его на два с последующей пробой деления полученного результата на оставшиеся делители без остатка. Если это невозможно, меньший знаменатель умножают на три. Это действие повторяют до тех пор, пока не найдётся число, делящееся на все делители без остатка.

Алгоритмы выполнения операций над дробными выражениями следующие:

1. Умножение. Чтобы перемножить две дроби между собой, нужно отдельно найти произведение знаменателей и числителей. Формула для этого действия выглядит так: a/b * c/d = (a * c) / (b * d).
2. Деление. По сути, операция является обратной умножению. Это и используется при нахождении частного. Правило звучит следующим образом: чтобы разделить дробь на дробь, нужно первую оставить без изменения, а во второй поменять местами числитель со знаменателем, заменив при этом знак деления на умножение. Математическая формула будет следующей: (a / b): (c / d) = (a * d) / (b * c).
3. Сложение. Действие совершают в несколько этапов. На первом шаге выражения приводят к общему знаменателю. На втором находят дополнительные множители для числителей путём деления найденного числа на каждый делитель. Полученный результат умножают на соответствующее значение числа в делимом. На последнем этапе складывают числители. Вычитание осуществляется аналогично.

Решение задач

Несмотря на то что свойства дробей несложны, для лучшего их понимания нужно прорешать несколько простых примеров. Обычно хватает решить около шести заданий, чтобы получить необходимые навыки. Вот несколько наиболее интересных типовых примеров для самостоятельной работы:

1. Найти, какое из двух выражений больше: 3 / 5 + 12 / 16 или 2 (4/5). Чтобы выполнить сравнение, нужно найти частное для первого многочлена. Его нахождение будет выглядеть следующим образом: 3 / 5 + 12 / 16 = 3 /5 + 3 / 4 = ((3 * 4) + (3 * 5)) / 20 = (12 + 15) / 20 = 27 /20. Получилось неправильное выражение. Согласно правилу преобразования, его нужно представить, как смешанную дробь: 27 /20 = ((1 * 20) + 7) / 20 = (1 * 20) / 20 + 7 / 20 = 1 + 7 / 20 = 1 (7/20). Так как в расчёте целая часть равняется единице, а в сравниваемой — двойке, то можно утверждать, что (3 / 5 + 12 / 16) меньше 2 (4/5).
2. Вычислить ответ для числового выражения: 4 / 9 * 12 / 5 + 7 / 8: 5 / 6 — 11 / 30. Решение можно разбить на несколько шагов. На первом найти произведение: 4 / 9 * 12 / 5 = (4 * 12) / (9 * 5). Это выражение можно сократить на три, в итоге получится: (4 * 4) / (3 * 5) = 16 /15. На втором шаге нужно выполнить деление: 7 / 8: 5 / 6 = (7 * 6) / (8 * 5) = (7 * 3) / (4 * 5) = 21 /20. Теперь останется сложить полученные дроби. Сделать это нужно с помощью подбора общего знаменателя: 16 / 15 + 21 / 20 — 11 / 30 = 64 / 60 + 63 / 60 — 22 / 60 = (64 + 63- 22) / 60 = 105 / 60 = 7 / 4 = 1 (¾).
3. Решить пример: 6 (1/7) + 7 (2/3). Существует два способа позволяющих найти ответ. Первый заключается в обращении смешанных выражений в неправильные, а после выполнения действия сложения. Второй же подразумевает отдельное нахождение суммы целых и дробных частей. Пожалуй, проще решать следующим методом: 6 (1/7) + 7 (2/3) = 6 + (1/7) + 7 + (2/3) = (6 + 7) + (1 / 7) + (2 / 3) = 13 + (1 / 7 + 2 / 3) = 13 + (3 + 7) / 21 = 13 + 10 / 21 = 13 (10 / 21). Важно отметить, что при умножении или делении смешанных дробей всегда нужно их приводить к неправильному виду.

Таким образом, использование свойств требует логического мышления и знания формул выполнения действий.

На этапе обучения их можно даже выписать в отдельную таблицу и пользоваться ей при решении, пока действия не дойдут до автоматизма. При этом полученный результат удобно проверять на онлайн-калькуляторах, которых в интернете можно насчитать более двух десятков. Это обычные сайты, выполняющие различные расчёты в режиме реального времени.