Теорема Безу - формула, алгоритмы и примеры решения уравнений

Для облегчения процесса и используется теорема Безу, следствия из которой позволяют легко определять рациональные корни уравнений любой сложности. Но тут существует оговорка, что правило применимо лишь в том случае, если в задании стоят рациональные коэффициенты.

Основные понятия

Пожалуй, вместе со схемой Горнера, теорема Безу является лучшим способом решения уравнений высших степеней. Этьен Безу родился во Франции в 1730 году и в 28 лет стал членом Парижской академии наук. Именно он вместе с Крамером является родоначальником теории возникновения определителей. Математик, занимаясь алгеброй, смог найти алгоритм, позволяющий исключать неизвестные из уравнений высших порядков. При этом он смог доказать, что две кривые энного и эмного порядка могут пересекаться только в m — n точках.

С закономерностью Безу знакомят на уроках алгебры в седьмом классе средней школы. Согласно ей, при делении многочлена на двучлен остаток всегда будет равняться значению этого выражения в точке пересечения.

То есть, если имеется многочлен вида P (x), то при его делении на двучлен (x — a) получившийся остаток s будет численно равный значению делимого в точке a. В математической форме ответ можно записать как s = P (a).

Для понимания сути теоремы следует вспомнить деление двух многочленов методом «уголок». В этом случае происходит понижение степени с каждым действием. В итоге определяется частное и остаток. Так, согласно теореме, число a будет являться решением для многочлена. Иными словами, для выражения P (x), P (a) равняется нулю только тогда, когда значение a и есть корень уравнения. Например, для многочлена x² — 1, корнями будут числа минус один и единица, в то же время выражение x³⁰¹⁹ / 3 решения не имеет, так как равенство x³⁰¹⁹ / 3 = 0 невозможно.

К теореме существует два замечания:

1. Под многочленом понимается приведённое выражение, когда коэффициент при старшей степени равняется единице. Например, x ² + 3 x, x ⁵ — 2.
2. При делении все коэффициенты многочлена частного должны оказаться целыми.

На этом и основана теорема Безу. Поэтому большее значение в математике имеет не сама теорема, а её следствие. Согласно ему, когда число a является решением, то остаток от выполнения операции деления на двучлен будет равняться нулю.

Другими словами, многочлен должен делиться на двучлен без остатка.

Суть открытия

Пусть имеется уравнение высшей степени вида P (x) = 0, где P (x) есть многочлен, состоящий из a0xⁿ + a1x^n-1 + … + an-1x + an. При этом на практике будет оказываться, что все коэффициенты являются целыми числами. Рассмотрим два многочлена: P (x) = x ³ + 3 x ² -2 x +2 и Q (x) = x -1. Нужно найти остаток от деления P (x) на Q (x). Этим остатком должно быть число, так как его степень будет меньше чем та, на что происходит деление.

Для решения примера нужно использовать деление в столбик. Первым действием необходимо подобрать выражение таким образом, чтобы при умножении его на x-1 получилась кубическая степень. Этим выражением будет икс в квадрате. После выполнения действия получится одночлен: x³ — x². Подставив его под первый многочлен, можно получить меньшее на единицу порядка выражение: 4x² — 2x.

Чтобы получить это уравнение x-1 необходимо умножить на 4x. Отсюда получается снова выражение с меньшей степенью: 4x² — 4x. После вычитания образуется двучлен: 2 x +2. Для того чтобы от него избавиться x-1 следует умножить на двойку. В результате после вычитания получится остаток равный четырём.

Этот ответ на самом деле можно найти более простым способом используя определение Безу. Для рассматриваемого примера свободные коэффициенты в сумме будут давать: 1 + 3 — 2 + 2 = 4. Это число и является найденным остатком, получившимся после деления.

С помощью этой формулировки нахождение действительных корней любого уравнения выполнять совершенно несложно. Пусть эн будет корнем уравнения P (х) = 0. Тогда при подстановке его значения получится тождество — ноль равняется нулю. Это означает, что P (n) = 0, а вместе с функцией равный нулю и остаток при делении.

Таким образом, если удалось подобрать корень уравнения, то в соответствии с формулировкой Безу многочлен P (x) будет делиться на P (n) нацело. В этом и состоит главное применение теоремы Безу — решения примеров, состоящих из уравнений имеющие степени высокого порядка.

Фактически задача нахождения ответа в уравнениях высших степеней состоит в следующих шагах:

1. Поиск корня n.
2. Деление решения на двучлен x-n.
3. Получение уравнения на порядок ниже.

Алгоритм повторяется до тех пор, пока уравнение не станет квадратным. При этом следует помнить, что если корень подходит, то деление в алгоритме будет осуществляться нацело.

Поэтому важным этапом является подбирание корня. Находить же его лучше всего используя схему Горнера.

Доказательство теоремы

Схема Горнера отлично работает в связке с теоремой Безу. Овладев навыками их использования решить уравнение с любым показателем в степени можно довольно быстро и эффективно, без сложных подстановок и выполнения деления в столбик.

Для доказательства теоремы допустим, что при делении многочлена F (x) на линейный двучлен икс минус числовой коэффициент, остаток от операции будет равняться величине многочлена в точке, то есть F (n). Разделим многочлен F (x) на (x-n). В результате образуется остаток, равняющийся r.

Деление можно представить, как произведение: F (x) = (x-n) * Q (x). В этом выражении Q (x) будет являться всё так же многочленом, но уже на один степенной порядок ниже, чем F (x). Теперь можно вместо икса подставить числовой коэффициента, то есть использовать что икс равняется эн. Тогда: F (n) = (n-n) * Q (n) + r = r. При этом r является константой. В результате можно утверждать: r = f (n), что и необходимо было доказать.

Для того чтобы быстро определить корни, в доказательстве теоремы Безу используется схема Горнера. Алгоритм используется, когда частное равняется двучлену x — n. Суть его заключается в следующем. Если допустить, что P (x) = a0x ⁿ + a1x ^n-1 + … + a0 в отношении с Q (x) = bn-1 * x^n-1 + bn-2 * x^n-2 + … + b0 является числителем, то после подстановки выражений в дробь получится равенство: a0x ⁿ + a1x ^n-1 + … + a0 = (bn-1 * x^n-1 + bn-2 * x^n-2 + … + b0) * (x — a) + r, где свободный член остаток.

Для дальнейшего решения нужно раскрыть скобки и приравнять коэффициенты с одинаковыми показателями в степени. Затем выразить коэффициенты частного через числитель и знаменатель. То есть, an = bn-1; an-1 = bn-2 — a * bn-1; a0 = r -abo. Полученные результаты для наглядности, удобнее заносить в таблицу. Составляется она по следующему принципу:

• начиная со второго столбца первой строчки, записывают коэффициенты из начального уравнения;
• в первый столбик переносят то число, на которое будет выполняться деление, то есть потенциальные корни (х0);
• ниже заносится то, что стоит в верхнем элементе второго столбика;
• для заполнения следующей ячейки нужно выполнить операцию произведения числа на выбранное x0 и прибавить стоящее число, расположенное в столбике сверху;
• проделать аналогичные операции до окончательного заполнения всех ячеек.

Строки, которые в последнем столбике будут равняться нулю и есть искомое решение уравнения. При этом самый последний коэффициент есть остаток, а все предыдущие — коэффициенты неполного частного.

Примеры решения

Теорема Безу применяется при решении степенных уравнений. Согласно её объяснению чтобы понять, чему будет равняться остаток от деления многочлена на двучлен, не нужно выполнять сложные утомительные действия. Достаточно просто подставить число в многочлен. Его значение как раз и будет являться искомым остатком от деления. Но чаще всего при решении задач используется не сама теорема, а следствие из неё — разложение многочленов на множители.

Пусть есть многочлен с целыми коэффициентами: x3 — 5x — 2x + 24. Свободным числом в формуле является двадцать четыре. Его нужно разложить на множители: 24 = 6 * 4 = 2 * 3 * 2 * 2 * 1. Единицу дописывают с целью поиска дополнительных корней. Для того чтобы разложить многочлен на множители нужно вспомнить начальную алгебру. Из неё известно, что если число x1 является корнем какого-либо многочлена P (x), то это выражение можно переписать в виде произведения: P (x) = (x — x1) *Q (x) где степень Q (x) меньше исходной формулы.

Так как у многочлена присутствует некий корень х1, то он обязательно будет делителем числа 24. Следовательно, собираться из множителей числа. Для этого нужно взять наименьшее число, подставив его в исходное выражение и проверить, является ли оно корнем. Тут стоит отметить, что для уравнений сложного вида можно использовать схему Горнера.

Для рассматриваемого примера первое число будет единица. Подставив его в многочлен вместо икса, получим: P (1) = 1 — 5 — 2 + 24 = 18. Ответ не равняется нулю, поэтому единица не будет корнем.

Теперь нужно подставить второй член разложения, цифру два: P (2) = 8 — 20 — 4 + 24 = 8. Ответ снова не подходит. Используем: x = -2: P (-2) = -8 — 20 + 4+ 24 =0. Результат означает, что x = -2 является корнем рассматриваемого многочлена.

Получив корень можно записать: P (x) = (x +2) * Q (x). Осталось найти Q (x). Для этого исходный многочлен нужно разделить на x +2. После деления получится квадратное уравнение вида: х2 — 7x + 12. Таким образом, исходное уравнение можно переписать как P (x) = (x + 2) * (x2 — 7x + 12) = (x + 2) + (x — 3) * (x — 4). Это и есть полное разложение многочлена на линейные множители. При этом корнями уравнения будут: x1 =- 2, x2 =3, x3 = 4.

Применение онлайн-калькулятора

Как бы ни облегчала расчёт теорема всё равно приходится выполнять определённые арифметические действия. Когда уравнение до четвёртого порядка, выполнить операции несложно и самостоятельно. Но чем больше показатель в формуле, тем сложнее выполнять вычисления и больше возникает вероятность допущения ошибки. При этом затрачивается и много времени.

Поэтому резонно для сложных заданий использовать автоматически расчёт уравнений. Выполнить его можно используя любой специализированный сервис — онлайн калькулятор. Теорема Безу предлагает алгоритм расчётов, который запрограммирован в исполняющем приложении. Доступ к интернет-порталам предлагающих такого рода услугу бесплатен. При этом от пользователя не требуется даже регистрации или указания какой-либо информации.

Необходимо просто зайти на страничку онлайн-калькулятора и ввести в предложенную сайтом форму исследуемое уравнение, а после запустить программу нажатием одной кнопки, например, «Рассчитать». Нет необходимости в скачивании или установки программ. Система сама выполнит все вычисления и выдаст ответ. Только в сети рунета существует несколько десятков таких расчётчиков. Из популярных среди пользователей можно выделить следующие:

1. Math-solution. Основу сайта составляют различные приложения выполняющие вычисления. Кроме непосредственно решения, сервис предоставляет поэтапное описание действий. Подробное решение излагается в соответствии с принятой программой обучения в школе и вузах. Кроме этого, на сайте существует раздел «Книги». В нём каждый желающий сможет найти учебники, решебники и другую справочную информацию по математике или геометрии.
2. Planetcalc. Этот сервис позволит вычислить ответ любой сложности соотношения многочленов. Особенностью его является простой интерфейс, не содержащий загромождения информации. Кроме этого, предложенный поэтапный расчёт сопровождается лаконичными объяснениями.
3. Calc. Онлайн-калькулятор имеет интуитивно понятный интерфейс и всю необходимую теорию для понятия теоремы и возможностей её использования. На страничках сайта представлены примеры решений задач различной сложности с подробным описанием действий.

Решив несколько примеров с помощью онлайн-решателей, пользователь сможет самостоятельно научиться применять правила. Автоматические вычислители смогут как подтянуть знания, так и проверить выполненный расчёт.

Ведь возникновение ошибки при использовании приложения практически невозможно.