Абсцисса 

Абсциссой (лат. abscissa — отрезок) точки A называется координата этой точки на оси X’X в прямоугольной системе координат. Величина абсциссы точки A равна длине отрезка OB (см. рис. 1). Если точка B принадлежит положительной полуоси OX, то абсцисса имеет положительное значение. Если точка B принадлежит отрицательной полуоси X’O, то абсцисса имеет отрицательное значение. Если точка A лежит на оси Y’Y, то её абсцисса равна нулю.

Абсцисса

В прямоугольной системе координат ось X’X называется «осью абсцисс».

При построении графиков функций, ось абсцисс обычно используется как область определения функции.

Аксиома

Аксиома - (от греч. axioma — значимое, принятое положение) —  это исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования его доказательства и используемое в основе доказательств других её положений по принятым в ней правилам логического вывода.

Аппликата

Аппликатой точки A называется координата этой точки на оси OZ в прямоугольной трёхмерной системекоординат. Величина аппликаты точки A равна длине отрезка OD (см. рис. 1). Если точка D принадлежитположительной полуоси OZ, то аппликата имеет положительное значение. Если точка D принадлежитотрицательной полуоси OZ, то аппликата имеет отрицательное значение. Если точка A лежит на плоскостиXOY, то её аппликата равна нулю. 
Аппликата

Слово «аппликата» происходит от лат. applicata, что означает «приложенная». Имеется в виду, что координатаZ (аппликата) была приложена к уже имевшимся двум координатам на плоскости: абсциссе и ординате.

В прямоугольной системе координат ось OZ называется «осью аппликат».

Асимптота

Асимптота кривой – это прямая, к которой кривая приближается сколь угодно близко при удалении в бесконечность. Представьте себе мчащийся по прямолинейному шоссе автомобиль и всадника, скачущею по полю с той же скоростью, но направленной в каждый момент на автомобиль. Маршрут всадника в этом случае будет кривой линией, называемой трактрисой, для которой линия шоссе является асимптотой. Если кривая, заданная уравнением
Асимптота

Асимптота

Асимптота

Исследование асимптот позволяет более четко представить поведение графика функции, поскольку свойства функции вблизи ее асимптоты очень близки к свойствам асимптоты – линейной функции, свойства которой хорошо изучены. Систематическое использование этого свойства породило целое направление в современной математике - «асимптотические методы исследования». Таким образом, понятие, возникшее еще в Древней Греции, переживает в наше время второе рождение.
Не у всякой кривой, уходящей в бесконечность, есть асимптота. Например, известная вам кривая парабола асимптот не имеет.

 Вектор 


Вектор — в самом элементарном случае это математический объект, который характеризуется величиной и направлением.
 
В геометрии вектор — направленный отрезок прямой, то есть отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом.

У вектора есть длина и определенное направление. Графически вектора изображаются как направленные отрезки прямой конкретной длины. Длина вектора –  это и есть длина этого отрезка.
Вектор

Вектор

Вектор

Вектор

Каждое геометрическое свойство есть возможность записать в координатах, и далее исследование из геометрического переходит в алгебраическое и на этом этапе в основном упрощается. Обратное, кстати, неверно: не у любого соотношения в координатах есть геометрическое толкование, но только те соотношения, которые выполняются в любой декартовой системе коор

динат (инвариантные).

Гипербола

Гипербола

Дискриминант

Сам термин образован от лат. discriminar, что в переводе — «разбирать», «различать».
Дискриминант

Интеграл

Интеграл это результат непрерывного суммирования бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых. При интегрировании функции берутся бесконечно малые приращения её аргументов и вычисляется бесконечая сумма приращений функции на этих участках. В геометрическом смысле удобно думать об интеграле двухмерной функции на определённом участке как о площади фигуры, замкнутой между графиком этой функции, осью X и перпендикулярными ей прямыми, соответствующими выбранному интервалу.
Интеграл


Пример: проинтегрируем функцию Y = X²
на интервале от X=2 до X=3.
Для этого нам нужно вычислить первообразную интегрируемой функции и взять разность её значений для концов интервала. Получаем:
X³/3 в точке X=3 принимает 9,
а в точке X=2 имеем 8/3.
Поэтому значение нашего интеграла: 9 - 8/3 = 19/3 ≈ 6.33.

Иррациональные числа

Иррациональные числа – это действительные числа, не являющиеся рациональными.

Числа, которые в десятичной записи представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби, называются иррациональными числами.

Озвученное определение позволяет привести примеры иррациональных чисел. Например, бесконечная непериодическая десятичная дробь 4,10110011100011110000… (количество единиц и нулей каждый раз увеличивается на одну) является иррациональным числом. Приведем еще пример иррационального числа: −22,353335333335… (число троек, разделяющих восьмерки, каждый раз увеличивается на две).

Следует отметить, что иррациональные числа достаточно редко встречаются именно в виде бесконечных непериодических десятичных дробей. Обычно они встречаются в виде корней, степеней, логарифмов и т.п., а также в виде специально введенных букв. Самыми известными примерами иррациональных чисел в такой записи 

Иррациональные числа

Иррациональные числа также можно определить через действительные числа, которые объединяют рациональные и иррациональные числа.

Константа

В математической логике - символ формального языка для обозначения некоторого фиксированного элемента(индивида), фиксированной операции или отношения на какой-либо структуре, описываемой этим языком. Всоответствии с этим различают индивидные константы, функциональные константы и предикатные константы. Совокупность всех К. языка наз. сигнатурой этого языка. Напр., сигнатура языка арифметики формальной состоит из индивидной К. "О" (нуль), двуместных функциональных К. "+" (сложение) и (умножение), одноместной функциональной К. "'" (прибавление единицы) и двуместной предикатной К.

"- " (равенство).

Координата

Систе́ма координа́т — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки.

В математике координаты — совокупность чисел, сопоставленных точкам многообразия в некоторой карте определённого атласа.

Координата

В элементарной геометрии координаты — величины, определяющие положение точки на плоскости и в пространстве. На плоскости положение точки чаще всего определяется расстояниями от двух прямых (координатных осей), пересекающихся в одной точке (начале координат) под прямым углом; одна из координат называется ординатой, а другая — абсциссой. В пространстве по системе Декарта положение точки определяется расстояниями от трёх плоскостей координат, пересекающихся в одной точке под прямыми углами друг к другу, или сферическими координатами, где начало координат находится в центре сферы.

Коэффициент

Коэффицие́нт (от лат. co(cum) «совместно» + efficients «производящий») — числовой множитель при буквенном выражении, множитель при той или иной степени неизвестного, или постоянный множитель при переменной величине.
Коэффициент

Коэффициентами также называют различные величины (как правило, безразмерные), чаще числа, во многих отраслях точных наук — переводные множители, коэффициенты пропорциональности, константы, модули, стехиометрические коэффициенты.

Модуль ( абсолютная величина)

Абсолютными величинами называются — объем или размер события, которое изучается или явления, процесса, который выражен в соответствующих единицах измерения в конкретных условиях места и времени.Или, другими словами: это просто число без учёта знака (всегда с плюсом).

Абсолютное значение величины - это само число (без знака), как например: температура, давление, скорость и т. п. Модуль - это число без направления, например: давление, скорость, сила и т. п.

Абсолютная величина числа или модуль числа x — неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа x. Обозначается: |x|.

Если x вещественный, то абсолютная величина – это непрерывная кусочно-линейная функция, которая определяется так, формула:
Модуль ( абсолютная величина)

Модуль вектора

Модуль вектора
\overline{AB}
 – это длина направленного отрезка 
AB
, который определяет вектор
Модуль вектора

Модуль вектора

Ордината

Ординатой точки A называется координата этой точки на оси Y’Y в прямоугольной системе координат. Как правило обозначается буквой {\displaystyle y} y. Величина ординаты точки A равна длине отрезка OC (см. рисунок). Если точка C принадлежит положительной полуоси OY, то ордината имеет положительное значение. Если точка C принадлежит отрицательной полуоси Y’O, то ордината имеет отрицательное значение. Если точка A лежит на оси XX`, то её ордината равна нулю.

В прямоугольной системе координат луч (прямая) Y’Y называется «осью ординат». При построении графиков функций, ось ординат обычно используется как область значений функции.

Ордината

Парабола

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки 

F
 этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, также расположенной в рассматриваемой плоскости.

Парабола

Парабола

Пропорция

Пропорцией называют равенство двух отношений. Например, отношение 
десять пятых
 равно отношению 
две первых


Пропорция
 

Процент

Процент — это сотая часть числа (величины).
После числа вместо слова «процент» ставят знак %:

  1%=1100=0,01.

1 % равен сотой части величины, а вся величина (или целое) равна 100 %.
Процент

Теорема

В математике теорема — это утверждение, которое было доказано на основе ранее установленных утверждений: других теорем и общепринятых утверждений, аксиом. Теорема является логическим следствием аксиом. Доказательство математической теоремы является логическим аргументом для утверждения теоремы, приведенного в соответствии с правилами формальной системы. Доказательство теоремы часто интерпретируется как обоснование истинности утверждения теоремы. В свете требования, чтобы теоремы были доказаны, концепция теоремы является принципиально дедуктивной, в отличие от понятия научного закона, который является экспериментальным[2].

Многие математические теоремы являются условными утверждениями. В этом случае доказательство выводит заключение из условий, называемых гипотезами или предпосылками. В свете интерпретации доказательства как оправдания истины, заключение часто рассматривается как необходимое следствие гипотез, а именно, что заключение верно в случае, если гипотезы верны, без каких-либо дополнительных предположений. Тем не менее, условия могут интерпретироваться по-разному в некоторых дедуктивных системах, в зависимости от значений, присвоенных правилам вывода и символа условия.

Хотя теоремы могут быть написаны в полностью символической форме, например, с помощью исчисления высказываний, они часто выражаются на естественном языке (английском, русском, французском и др.). То же верно и для доказательств, которые часто выражаются в виде логически организованной и четко сформулированной цепи неформальных аргументов, предназначенных для того, чтобы убедить читателей в истинности формулировки теоремы, из каковой цепи в принципе можно построить формальное символическое доказательство. Такие аргументы, как правило, легче проверить, чем чисто символические, и, на самом деле, многие математики отдают предпочтение доказательству, которое не только демонстрирует справедливость теоремы, но и каким-то образом объясняет, почему она, очевидно, верна. В некоторых случаях одной картины достаточно для доказательства теоремы.

Поскольку теоремы лежат в основе математики, они также играют центральную роль в ее эстетике. Теоремы часто описываются как «тривиальные», «сложные», «глубокие» или даже «красивые». Эти субъективные суждения варьируются не только от человека к человеку, но и со временем: например, когда доказательство упрощено или лучше понято, теорема, которая когда-то была трудной, может стать тривиальной. С другой стороны, глубокая теорема может быть сформулирована просто, но ее доказательство может включать в себя удивительные и тонкие связи между различными областями математики. Особенно известным примером такой теоремы является Великая теорема Ферма.

Факториал

Факториал числа — это произведение натуральныхчисел от1до самого числа (включая данное число).
Обозначается факториал восклицательным знаком «!».
Примеры:

3! = 1 · 2 · 3 = 6
6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720

Факториал определён только для натуральных чисел и нуля.  

Факториал нуля и единицы это 1.

  • 0! = 1
  • 1! = 1
  • Функция

    Функция — это соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу одного множества соответствует единственный элемент другого множества.
    Пусть каждому числу x из множества значений D поставлено в соответствие число y из множества значений E.
    «Поставлено в соответствие» — значит, указан определённый способ (правило), по которому для каждого x∈D  находят y∈E. (∈ — знак принадлежности. Запись x∈D читают «икс принадлежит дэ»).
    Чаще всего этот способ обозначают как y=f(x). Для обозначения функции применяют и другие буквы: y=g(x), s=f(t) и т.д.
    Если функция задана соответствием y=f(x), переменная x называется независимой переменной или аргументом, y — зависимой переменной или функцией.
    Множество значений D, которые может принимать x, называется областью определения функции.
    Множество значений E, которые может принимать y, называется областью значений функции.

    Функция

    Функцию можно задать несколькими способами:

    — аналитическим (с помощью формулы),

    — графическим,

    — табличным,

    — описанием с помощью словесной формулировки).

    Функции, в которых значения аргумента и значения функции — числа, называются числовыми функциями. В курсе алгебры изучаются, в основном, числовые функции.

    Примеры функций.

    1) При движении автомобиля с постоянной скоростью пройденный путь является функцией от времени .

    Например, если автомобиль движется с постоянной скоростью 60 км/ч, зависимость пути от времени можно задать формулой s=60t, где s — пройденный путь (в километрах), t — время (в часах).

    2) Периметр квадрата является функцией от его стороны.

    Зависимость периметра от стороны квадрата можно задать формулой P=4a, где P — периметр, a — длина стороны.