Как найти точки перегиба функции - алгоритмы и примеры нахождения

Общие сведения

Для определения точек перегиба функции необходимо разобрать основные определения и базовые компоненты, необходимые для их нахождения. Функция — математическая запись зависимости одной переменной от другой. Последняя называется аргументом, а на графике в декартовой системе координат ее определяет абсцисса.

Графиком или графическим представлением называется геометрическое тело, находящееся в системе координат и состоящее из определенного количества точек с заданными координатами. Перегиб — совокупность координат по ординате и абсциссе, в которой наблюдается изменение поведения функции, образующих выпуклость или вогнутость.

Для нахождения последних следует иметь определенные базовые навыки определения производных первого, второго и третьего порядков.

Понятие производной

Производная — операция, используемая не только при исследовании функции, но и при описании какого-либо процесса, определения площади геометрических тел и т. д. Она позволяет существенно сократить время, необходимое для вычислений. Главным условием ее определения является постоянный рост функции. Если последняя не растет (остается постоянной — константой), ее дифференциал равен нулю. В этом случае говорят, что она не существует.

Однако производная применяется не только в алгебре, но и в других сферах деятельности человека. С ее помощью можно вычислить силу, мощность, величину тока и другие физические величины, зависящие от определенных параметров.

В медицине производная применяется при исследовании лекарственных препаратов, обладающих побочными действиями. Последние отрицательно влияют на жизнедеятельность организма человека. Следовательно, ученые в области фармацевтики добиваются лучшего лечебного эффекта с минимальной вероятностью пагубного воздействия на организм.

Производная применяется при проектировании компьютерных игр, в которых персонажи осуществляют сложные движения.

Траектории последних нужно рассчитать скоростными методами, а их и предоставляют дифференциалы функций движения различных компонентов системы, т. е. прыжки героя и противников, движение элементов внешней среды (деревьев, травы и т. д. ).

Смысловые интерпретации

Для понимания физического и математического смысла производной нужно разобрать ее определение в математической интерпретации: производная представляет границу предела отношения приращения некоторой функциональной зависимости двух или более переменных к приращению независимой переменной (аргумента), который стремится к нулевой величине.

Из определения можно сделать вывод, что обязательное условие существование дифференциала — постоянный рост или убывание функции в заданной точке. Обратной операцией дифференцирования является интегрирование или поиск первообразной.

Геометрическим смыслом является величина тангенса угла наклона прямой-касательной к графическому отображению. Для построения необходимо провести прямую, которая должна пересекать график функции минимум в двух точках, а затем рассмотреть место пересечения. Это будет ось вращения прямой. Если и далее вращать секущую, она в некотором положении будет касаться графика функции в одной точке, т. е. преобразуется в касательную.

Физический смысл основан на характеристике изменения скорости роста физической величины. Например, при рассмотрении закона движения тела в пространстве S= s (t). Путь, пройденный им, зависит от времени и скорости. Для нахождения последней V (tм) в текущий момент времени tм необходимо вычислить производную, т. е. V (tм)=[s (tм)]'.

При вычислении производной второго порядка величина будет называться ускорением, т. е. a (tм)=[[s (tм)]']'=[V (tм)]'. Для выполнения операции дифференцирования необходимо знать основные правила.

Правила дифференцирования

Для нахождения производных простых и сложных функций существуют определенные правила. К ним относятся:

1. Постоянную величину (const) можно вынести за знак производной, т. е. (const*p (t))'=const*(p (t))'
2. Дифференциал суммы (разности) двух и более тождеств эквивалентен производной каждой из компонентов, т. е. (p (t)+r (t)+s (t))'=p'(t)+r'(t)+s'(t) или (p (t)-r (t)-s (t))'=p'(t)-r'(t)-s'(t).
3. Производная произведения двух простых выражений соответствует сумме дифференциала первой функции, умноженной на вторую, и l компонента, который умножается на дифференциал второго тождества. Математическая запись: (p (t)*r (t))'=p'(t)*r (t)+p (t)*r'(t).
4. Если взять производную тождества частного двух функций, в числителе обыкновенной дроби следует записать разность произведений, состоящих из дифференциала I компонента и II, и дифференциала второго и первого, а затем результат разделить на квадрат второго выражения. Короткая математическая формулировка имеет вид: (p (t)/r (t))'=[p'(t)*r (t)-p (t)*r'(t)]/[r (t)]^2.
5. Дифференциал сложного тождества состоит из произведения производных элементов, которые входят в его состав, т. е. [р (r (t))]'=[r (t)]' * [p (r (t))]'.

Для понимания последнего пункта необходимо разобрать пример p=(3/2)*sin (4t ² −5). Для вычисления производной следует воспользоваться специальным алгоритмом, первым и последним правилами:

1. Записать выражение с учетом знака дифференциала: p'=[(3/2)*sin (4t ² −5)]'.
2. Постоянную величину вынести за знак дифференциала (1 правило): p'=(3/2)*[sin (4t ² −5)]'.
3. Взять производную I элемента: [4t ² −5]'=8t-0=8t.
4. II: [sin (4t ² −5)]'=cos (4t ² −5).
5. Записать результат: p'=8tcos (4t ² −5).

Очень важно правильно «разбивать» исходное выражение на компоненты, поскольку от этого зависит результат и достоверность вычислений. После рассмотрения правил дифференцирования следует перейти к методике нахождения производной.

Методика нахождения

Нахождение производной заданной функции строится на правилах. Методика имеет следующий вид:

1. Написать выражение.
2. Произвести математические операции по упрощению тождества, чтобы удобно было находить дифференциал.
3. Выполнить операцию нахождения производной.
4. Записать ответ.

Однако при нахождении точек перегиба необходимо уметь вычислять дифференциалы второго и третьего порядка. Это делать несложно, поскольку достаточно взять один раз производную (l порядка), а затем — второй (II), а также III.

Все правила действуют для дифференциалов любого порядка. Кроме того, очень важно после операции дифференцирования приводить подобные компоненты, т. к. это действие позволит осуществить вычисления за короткий промежуток времени, а также избежать множества ошибок.

Для реализации алгоритма необходимо разобрать решение примера «s (t, v)=4t*8v+2t ² +3v ³ », в котором требуется определить дифференциал II порядка. Нахождение производной выполняется по методике:

1. Написать выражение, учитывая знак производной: s'(t, v)=[4t*8v+2t ² +3v ³ ]'.
2. Найти производную произведения: [4t*8v]'=32v+32t.
3. Дифференциал суммы: [2t ² +3v ³ ]'=t+v.
4. Привести подобные слагаемые: 32v+32t+t+v=33t+33v.
5. Вынести 33 за скобки и взять вторую производную: 33[t+v]'=66.
6. Результат: s'(t, v)=66.

Cледует обратить внимание на четвертый пункт алгоритма, в котором нужно приводить подобные элементы, поскольку в пятом пункте дифференциал найти довольно просто.

Для проверки результата можно воспользоваться специальным приложением, которое называется онлайн-калькулятором. Однако на начальных стадиях обучения специалисты не рекомендуют пользоваться им для решения задач.

Выпуклости и вогнутости

Для нахождения точек перегиба на заданном интервале необходимо знать основное условие их существования.

Оно гласит: функция s (t) имеет выпуклость или вогнутость в некоторой точке P (to, s (t)), когда производная II порядка обращается в нулевую величину, отсутствует или является разрывом. Кроме того, существуют 2 достаточных условия существования искомых точек:

1. ll производная меняет знак и направление, но по модулю эквивалентна искомой функции.
2. В заданной точке дифференциал ll порядка эквивалентен нулю, а третьего — нет.

Первое условие записывается в математической форме следующим образом: |s (t)|=|-[s (t)]''|. Во втором случае формула имеет вид: [s (t)]''=0 и [s (t)]''' ≠0. Знак в последнем выражении «≠" называется «неравенством». Кроме того, последнюю формулу можно записать следующим образом: [s (t)]''' <> 0.

Пример решения

Следует найти точки перегиба для тождества вида s (t)=(¼)t ⁴−(1/12)4t ³ +2t+7.

Задача решается по следующему алгоритму:

1. s'(t)=[(¼)t ⁴−(1/12)4t ³ +2t+7]'=t ³ -t ² +2.
2. s''(t)=3t ² −2t.
3. Приравнять s''(t) к 0: 3t ² −2t=0.
4. Найти корни уравнения в третьем пункте: t1=0 и t2=2/3.
5. Третья производная: s'''(t)=6t-2.
6. Подставить корни тождества, полученные в четвертом пункте, в s'''(t): s'''(0)=6*0−2=-2<0 и s'''(2/3)=6*(2/3)-2=2>0.
7. Координаты искомых точек: (0;-2) и (2/3;2).

Следует обратить внимание на 6 пункт алгоритма. В нем значения не равны нулю. Из этого следует, что у этого графика функции всего 2 точки перегиба, координаты которых эквивалентны (0;-2) и (2/3;2).

Таким образом, для нахождения точек перегиба функции для начала следует ознакомиться с производной и правилами ее нахождения, а затем переходить к условиям поиска вогнутостей и выпуклостей.