Как найти точки перегиба функции - алгоритмы и примеры нахождения

Для нахождения точек перегиба на заданном интервале необходимо знать основное условие их существования.

Оно гласит: функция s (t) имеет выпуклость или вогнутость в некоторой точке P (to, s (t)), когда производная II порядка обращается в нулевую величину, отсутствует или является разрывом. Кроме того, существуют 2 достаточных условия существования искомых точек:

1. ll производная меняет знак и направление, но по модулю эквивалентна искомой функции.
2. В заданной точке дифференциал ll порядка эквивалентен нулю, а третьего — нет.

Первое условие записывается в математической форме следующим образом: |s (t)|=|-[s (t)]''|. Во втором случае формула имеет вид: [s (t)]''=0 и [s (t)]''' ≠0. Знак в последнем выражении «≠" называется «неравенством». Кроме того, последнюю формулу можно записать следующим образом: [s (t)]''' <> 0.

Пример решения

Следует найти точки перегиба для тождества вида s (t)=(¼)t ⁴−(1/12)4t ³ +2t+7.

Задача решается по следующему алгоритму:

1. s'(t)=[(¼)t ⁴−(1/12)4t ³ +2t+7]'=t ³ -t ² +2.
2. s''(t)=3t ² −2t.
3. Приравнять s''(t) к 0: 3t ² −2t=0.
4. Найти корни уравнения в третьем пункте: t1=0 и t2=2/3.
5. Третья производная: s'''(t)=6t-2.
6. Подставить корни тождества, полученные в четвертом пункте, в s'''(t): s'''(0)=6*0−2=-2<0 и s'''(2/3)=6*(2/3)-2=2>0.
7. Координаты искомых точек: (0;-2) и (2/3;2).

Следует обратить внимание на 6 пункт алгоритма. В нем значения не равны нулю. Из этого следует, что у этого графика функции всего 2 точки перегиба, координаты которых эквивалентны (0;-2) и (2/3;2).

Таким образом, для нахождения точек перегиба функции для начала следует ознакомиться с производной и правилами ее нахождения, а затем переходить к условиям поиска вогнутостей и выпуклостей.