Как найти точки перегиба функции - алгоритмы и примеры нахождения
Общие сведения
Для определения точек перегиба функции необходимо разобрать основные определения и базовые компоненты, необходимые для их нахождения. Функция — математическая запись зависимости одной переменной от другой. Последняя называется аргументом, а на графике в декартовой системе координат ее определяет абсцисса.
Графиком или графическим представлением называется геометрическое тело, находящееся в системе координат и состоящее из определенного количества точек с заданными координатами. Перегиб — совокупность координат по ординате и абсциссе, в которой наблюдается изменение поведения функции, образующих выпуклость или вогнутость.
Для нахождения последних следует иметь определенные базовые навыки определения производных первого, второго и третьего порядков.
Понятие производной
Производная — операция, используемая не только при исследовании функции, но и при описании какого-либо процесса, определения площади геометрических тел и т. д. Она позволяет существенно сократить время, необходимое для вычислений. Главным условием ее определения является постоянный рост функции. Если последняя не растет (остается постоянной — константой), ее дифференциал равен нулю. В этом случае говорят, что она не существует.
Однако производная применяется не только в алгебре, но и в других сферах деятельности человека. С ее помощью можно вычислить силу, мощность, величину тока и другие физические величины, зависящие от определенных параметров.
В медицине производная применяется при исследовании лекарственных препаратов, обладающих побочными действиями. Последние отрицательно влияют на жизнедеятельность организма человека. Следовательно, ученые в области фармацевтики добиваются лучшего лечебного эффекта с минимальной вероятностью пагубного воздействия на организм.
Производная применяется при проектировании компьютерных игр, в которых персонажи осуществляют сложные движения.
Траектории последних нужно рассчитать скоростными методами, а их и предоставляют дифференциалы функций движения различных компонентов системы, т. е. прыжки героя и противников, движение элементов внешней среды (деревьев, травы и т. д. ).
Смысловые интерпретации
Для понимания физического и математического смысла производной нужно разобрать ее определение в математической интерпретации: производная представляет границу предела отношения приращения некоторой функциональной зависимости двух или более переменных к приращению независимой переменной (аргумента), который стремится к нулевой величине.
Из определения можно сделать вывод, что обязательное условие существование дифференциала — постоянный рост или убывание функции в заданной точке. Обратной операцией дифференцирования является интегрирование или поиск первообразной.
Геометрическим смыслом является величина тангенса угла наклона прямой-касательной к графическому отображению. Для построения необходимо провести прямую, которая должна пересекать график функции минимум в двух точках, а затем рассмотреть место пересечения. Это будет ось вращения прямой. Если и далее вращать секущую, она в некотором положении будет касаться графика функции в одной точке, т. е. преобразуется в касательную.
Физический смысл основан на характеристике изменения скорости роста физической величины. Например, при рассмотрении закона движения тела в пространстве S= s (t). Путь, пройденный им, зависит от времени и скорости. Для нахождения последней V (tм) в текущий момент времени tм необходимо вычислить производную, т. е. V (tм)=[s (tм)]'.
При вычислении производной второго порядка величина будет называться ускорением, т. е. a (tм)=[[s (tм)]']'=[V (tм)]'. Для выполнения операции дифференцирования необходимо знать основные правила.
Правила дифференцирования
Для нахождения производных простых и сложных функций существуют определенные правила. К ним относятся:
- Постоянную величину (const) можно вынести за знак производной, т. е. (const*p (t))'=const*(p (t))'
- Дифференциал суммы (разности) двух и более тождеств эквивалентен производной каждой из компонентов, т. е. (p (t)+r (t)+s (t))'=p'(t)+r'(t)+s'(t) или (p (t)-r (t)-s (t))'=p'(t)-r'(t)-s'(t).
- Производная произведения двух простых выражений соответствует сумме дифференциала первой функции, умноженной на вторую, и l компонента, который умножается на дифференциал второго тождества. Математическая запись: (p (t)*r (t))'=p'(t)*r (t)+p (t)*r'(t).
- Если взять производную тождества частного двух функций, в числителе обыкновенной дроби следует записать разность произведений, состоящих из дифференциала I компонента и II, и дифференциала второго и первого, а затем результат разделить на квадрат второго выражения. Короткая математическая формулировка имеет вид: (p (t)/r (t))'=[p'(t)*r (t)-p (t)*r'(t)]/[r (t)]^2.
- Дифференциал сложного тождества состоит из произведения производных элементов, которые входят в его состав, т. е. [р (r (t))]'=[r (t)]' * [p (r (t))]'.
Для понимания последнего пункта необходимо разобрать пример p=(3/2)*sin (4t 2 −5). Для вычисления производной следует воспользоваться специальным алгоритмом, первым и последним правилами:
- Записать выражение с учетом знака дифференциала: p'=[(3/2)*sin (4t 2 −5)]'.
- Постоянную величину вынести за знак дифференциала (1 правило): p'=(3/2)*[sin (4t 2 −5)]'.
- Взять производную I элемента: [4t 2 −5]'=8t-0=8t.
- II: [sin (4t 2 −5)]'=cos (4t 2 −5).
- Записать результат: p'=8tcos (4t 2 −5).
Очень важно правильно «разбивать» исходное выражение на компоненты, поскольку от этого зависит результат и достоверность вычислений. После рассмотрения правил дифференцирования следует перейти к методике нахождения производной.
Методика нахождения
Нахождение производной заданной функции строится на правилах. Методика имеет следующий вид:
- Написать выражение.
- Произвести математические операции по упрощению тождества, чтобы удобно было находить дифференциал.
- Выполнить операцию нахождения производной.
- Записать ответ.
Однако при нахождении точек перегиба необходимо уметь вычислять дифференциалы второго и третьего порядка. Это делать несложно, поскольку достаточно взять один раз производную (l порядка), а затем — второй (II), а также III.
Все правила действуют для дифференциалов любого порядка. Кроме того, очень важно после операции дифференцирования приводить подобные компоненты, т. к. это действие позволит осуществить вычисления за короткий промежуток времени, а также избежать множества ошибок.
Для реализации алгоритма необходимо разобрать решение примера «s (t, v)=4t*8v+2t 2 +3v 3 », в котором требуется определить дифференциал II порядка. Нахождение производной выполняется по методике:
- Написать выражение, учитывая знак производной: s'(t, v)=[4t*8v+2t 2 +3v 3 ]'.
- Найти производную произведения: [4t*8v]'=32v+32t.
- Дифференциал суммы: [2t 2 +3v 3 ]'=t+v.
- Привести подобные слагаемые: 32v+32t+t+v=33t+33v.
- Вынести 33 за скобки и взять вторую производную: 33[t+v]'=66.
- Результат: s'(t, v)=66.
Cледует обратить внимание на четвертый пункт алгоритма, в котором нужно приводить подобные элементы, поскольку в пятом пункте дифференциал найти довольно просто.
Для проверки результата можно воспользоваться специальным приложением, которое называется онлайн-калькулятором. Однако на начальных стадиях обучения специалисты не рекомендуют пользоваться им для решения задач.
Выпуклости и вогнутости
Для нахождения точек перегиба на заданном интервале необходимо знать основное условие их существования.
Оно гласит: функция s (t) имеет выпуклость или вогнутость в некоторой точке P (to, s (t)), когда производная II порядка обращается в нулевую величину, отсутствует или является разрывом. Кроме того, существуют 2 достаточных условия существования искомых точек:
- ll производная меняет знак и направление, но по модулю эквивалентна искомой функции.
- В заданной точке дифференциал ll порядка эквивалентен нулю, а третьего — нет.
Первое условие записывается в математической форме следующим образом: |s (t)|=|-[s (t)]''|. Во втором случае формула имеет вид: [s (t)]''=0 и [s (t)]''' ≠0. Знак в последнем выражении «≠" называется «неравенством». Кроме того, последнюю формулу можно записать следующим образом: [s (t)]''' <> 0.
Пример решения
Следует найти точки перегиба для тождества вида s (t)=(¼)t 4−(1/12)4t 3 +2t+7.
Задача решается по следующему алгоритму:
- s'(t)=[(¼)t 4−(1/12)4t 3 +2t+7]'=t 3 -t 2 +2.
- s''(t)=3t 2 −2t.
- Приравнять s''(t) к 0: 3t 2 −2t=0.
- Найти корни уравнения в третьем пункте: t1=0 и t2=2/3.
- Третья производная: s'''(t)=6t-2.
- Подставить корни тождества, полученные в четвертом пункте, в s'''(t): s'''(0)=6*0−2=-2<0 и s'''(2/3)=6*(2/3)-2=2>0.
- Координаты искомых точек: (0;-2) и (2/3;2).
Следует обратить внимание на 6 пункт алгоритма. В нем значения не равны нулю. Из этого следует, что у этого графика функции всего 2 точки перегиба, координаты которых эквивалентны (0;-2) и (2/3;2).
Таким образом, для нахождения точек перегиба функции для начала следует ознакомиться с производной и правилами ее нахождения, а затем переходить к условиям поиска вогнутостей и выпуклостей.
Все тесты
- Орфография
- География
- Психология
- Фонетический разбор
- История
- Окружающий мир
- Правоведение
- Обществознание
- Экономика
- Литература
- Анализ стихотворений
- Сочинения
- Краткие содержания
- Помощь студенту
- Биографии
- Информатика
- Тест на тему «Сдашь» или «Здашь» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ЗагОраешь» или «загАраешь» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ЗабрАла» или «забрОла» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «СпящИе» или «спящЕе» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ЗдоровО» или «здоровА» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «УверяЕмый» или «уверяИмый» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Не могущие» или немогущие» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ПрИходим» или «прЕходим» – как правильно пишется 5 вопросов
- Тест на тему «ПишЕшь» или «пишИшь» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ЗабытЫе» или «забытИе» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Заранее благодарю» или «заранее благо дарю» – как правильно пишется? 6 вопросов
- Тест на тему «Довольно-таки» или «довольнотаки» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «До завтра» или «дозавтра» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ОсобО» или «особА» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ОтвожУ» или «отвожЮ» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ОтвеЗти» или «отвеСти» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ДлиННее» или «длиНее» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ГраМотность» или «граММотность» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ГрамотнеЕ» или «грамотнеЙ» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «В течениЕ дня» или «в течениИ дня» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «В срок» или «всрок» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Спасибо большое» или «спасибо, большое» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Заранее благодарен» или «заранее благо дарен» – как правильно пишется? 4 вопроса
- Тест на тему «Благодарю» или «благо дарю» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «БережешЬ» или «бережеш» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Втроем» или «в троем» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ВоССтанавливающие» или «воСтанавливающие» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ВоССтановлена» или «воСтановлена» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Ссылка» или «сылка» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Неявка» или «не явка» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ВыЕхали» или «выЙхали» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ВыспишЬся» или «выспишся» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ВыздоровИм» или «выздоровЕЕм» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ВыделеННые» или «выделеНые» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ВидИшь» или «видЕшь» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ВоССтановим» или «воСтановим» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ВозрАст» или «возрОст» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «РЫба» или «рИба» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Надеется» или «надеетЬся» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Поровну» или «по ровну» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Несмотря ни на что» или «не смотря ни на что» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ЭКзамен» или «эГзамен» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ГостепрИимный» или «гостепрЕимный» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «По-детски» или «по-децки» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Впустую» или «в пустую» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ОзнакомЬтесь» или «ознакомтесь» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Полпути» или «пол пути» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Девятнадцать» или «девятЬнадцать» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему "Времяпровождение" или "времяПРЕпровождение" как правильно писать? 5 вопросов
- Тест на тему «СЫграть» или «сИграть» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему Назначение осадкомера и нюансы его использования 5 вопросов
- Тест на тему Определение и характеристики нулевого меридиана 5 вопросов
- Тест на тему Первое кругосветное путешествие Фернана Магеллана 5 вопросов
- Тест на тему Скандинавский полуостров 5 вопросов
- Тест на тему Виды и источники питания рек 5 вопросов
- Тест на тему Названия и характеристика карликовых планет Солнечной системы 5 вопросов
- Тест на тему Описание покровных ледников: характеристики, расположение 5 вопросов
- Тест на тему Какие есть вулканы в Евразии: названия с описанием 5 вопросов
- Тест на тему Определение и расчет ресурсообеспеченности стран 5 вопросов
- Тест на тему Список республик России со столицами 5 вопросов
- Тест на тему Характеристики населения Урала: численность, плотность, размещение 5 вопросов
- Тест на тему Характеристики горы Народной: расположение на карте, климат 5 вопросов
- Тест на тему 10 самых крупных городов на Урале 5 вопросов
- Тест на тему Животные, населяющие Северный Ледовитый океан 5 вопросов
- Тест на тему Маршруты и виды внутреннего водного транспорта России 5 вопросов
- Тест на тему Описание традиционных религий в России 5 вопросов
- Тест на тему Какие животные обитают в Евразии 5 вопросов
- Тест на тему Описание Пиренейского полуострова: рельеф, климат, страны 5 вопросов
- Тест на тему Географическое описание Японского моря 5 вопросов
- Тест на тему Географическое описание Южного Ледовитого океана 5 вопросов
- Тест на тему Племя бушменов: где и как живут кустарниковые люди 5 вопросов
- Тест на тему Самые крупные экологические катастрофы мира 5 вопросов
- Тест на тему Основные законы, обеспечивающие движение планет Солнечной системы 5 вопросов
- Тест на тему Как происходит процесс образования почвы 5 вопросов
- Тест на тему Общая географическая характеристика стран Зарубежной Европы 5 вопросов
- Тест на тему Обзор крупных городов Франции 5 вопросов
- Тест на тему Особенности географического положения Франции 5 вопросов
- Тест на тему Самые большие страны Зарубежной Европы 5 вопросов
- Тест на тему Климатические условия и природные зоны Египта 5 вопросов
- Тест на тему Состав и характеристики экономически активного населения 5 вопросов
- Тест на тему Расположение и характеристики Татарского пролива 5 вопросов
- Тест на тему Есть ли в России анклавы и где они находятся? 5 вопросов
- Тест на тему Формы и особенности рельефа Северного Кавказа 5 вопросов
- Тест на тему Многообразие природных ресурсов на Урале 5 вопросов
- Тест на тему Географическое описание реки Терек 5 вопросов
- Тест на тему Многообразие природных ресурсов на Урале 3 вопроса
- Тест на тему Краткая характеристика островов, принадлежащих России 5 вопросов
- Тест на тему Как и почему рельеф местности влияет на климат? 5 вопросов
- Тест на тему Как и из чего образуются горы? 5 вопросов
- Тест на тему Страны социалистического лагеря в 21 веке 5 вопросов
- Тест на тему Деление Зарубежной Европы на субрегионы 5 вопросов
- Тест на тему Понятие и расчет миграционного прироста населения 5 вопросов
- Тест на тему Характеристика арктического климатического пояса 5 вопросов
- Тест на тему Список стран-архипелагов мира 5 вопросов
- Тест на тему Особенности климата во Франции 5 вопросов
- Тест на тему Типы и особенности климата Русской равнины 5 вопросов
- Тест на тему Суть и проявления когнитивного диссонанса 5 вопросов
- Тест на тему Описание Стэндфордского тюремного эксперимента и его итоги 5 вопросов
- Тест на тему Синдром выученной беспомощности и как с ним бороться 5 вопросов
- Тест на тему Суть и характеристики биополя человека 5 вопросов
- Тест на тему Что такое это бессознательное? 5 вопросов
- Тест на тему Причины и коррекция алекситимии 5 вопросов
- Тест на тему Как выявить и бороться с эмоциональной зависимостью 5 вопросов
- Тест на тему Как проявляется тревога: основные симптомы 5 вопросов
- Тест на тему Явление конформизма: что это такое и хорошо ли следовать правилам? 5 вопросов
- Тест на тему По каким признакам можно распознать абьюзера? 5 вопросов
- Тест на тему Почему некоторые люди постоянно обижаются? 5 вопросов
- Тест на тему Что понимают под интеракцией в психологии? 5 вопросов
- Тест на тему Особенности группы и группового поведения 5 вопросов
- Тест на тему Использование методики сенсорной интеграции в развитии ребенка 5 вопросов
- Тест на тему Суть теории привязанности и как она помогает в воспитании ребенка? 5 вопросов
- Тест на тему Как использовать теорию множественного интеллекта в обучении ребенка 5 вопросов
- Тест на тему Как сохранить ребенку психологическое здоровье и почему это важно? 5 вопросов
- Тест на тему «Зонты» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Облегчен» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Жерло» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Казаки» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Номеров» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Воду» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Гору» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Ролей» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Коронавирус» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Посол» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Нарвать» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Запертый» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Приведенный» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Произносящий» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Спадают» - как правильно ставить ударение? 5 вопросов
- Тест на тему «Глухи» - как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Места» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Предложен» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Воробьев» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Угли» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Полка» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Полком» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Задам» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Налив» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Воронов» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Собрались» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Налита» – как правильно ставить ударение в слове? 4 вопроса
- Тест на тему Артемида - древнегреческая богиня охоты 5 вопросов
- Тест на тему Мифы и интересные факты о богине Бастет 5 вопросов
- Тест на тему Роль и место бога Посейдона в древнегреческой мифологии 5 вопросов
- Тест на тему Описание древнегреческого бога Гермеса 5 вопросов
- Тест на тему Происхождение и культ бога Юпитера в Древнем Риме 5 вопросов
- Тест на тему Какие соседи были у Римской империи? 5 вопросов
- Тест на тему Краткое описание шумерских городов-государств 5 вопросов
- Тест на тему История второй войны Рима с Карфагеном 5 вопросов
- Тест на тему Причины, ход и итоги восстания Спартака 5 вопросов
- Тест на тему Причины распада державы Александра Македонского 5 вопросов
- Тест на тему Как жили древние ацтеки: общество, жертвоприношения, наука 5 вопросов
- Тест на тему Образ жизни, права и обязанности метеков в Древней Греции 5 вопросов
- Тест на тему История древнегреческого циклопа Полифема 5 вопросов
- Тест на тему История древней Финикии 5 вопросов
- Тест на тему Культура и искусство Древней Индии 5 вопросов
- Тест на тему Культура и искусство Древнего Египта 5 вопросов
- Тест на тему История битвы при Гавгамелах 5 вопросов
- Тест на тему Особенности спартанского воспитания и обучения 5 вопросов
- Тест на тему Краткий экскурс в викторианскую эпоху 5 вопросов
- Тест на тему Кто в разные эпохи правил Англией 5 вопросов
- Тест на тему История правления короля Сигизмунда 3 5 вопросов
- Тест на тему Причины и ход великого отступления 1915 года 5 вопросов
- Тест на тему Суть и значение Русской Правды - первого свода законов 5 вопросов
- Тест на тему Основные положения доктрины Монро и итоги ее принятия 5 вопросов
- Тест на тему История Смоленского сражения: предыстория, ход и итоги 5 вопросов
- Тест на тему Краткая история государства Могулистан 4 вопроса
- Тест на тему Причины появления и история существования Боспорского царства 5 вопросов
- Тест на тему Восстание против Золотой Орды в Твери в 1327 году 5 вопросов
- Тест на тему Жизнь посадских людей в средневековой Руси 5 вопросов
- Тест на тему Предпосылки и теории образования Древнерусского государства 5 вопросов
- Тест на тему Основные положения “Правды Ярославичей” 5 вопросов
- Тест на тему Категории населения в Древней Руси 5 вопросов
- Тест на тему Восстание в Киеве в 1068 году и разгром половцев 5 вопросов
- Тест на тему История возникновения английского парламента 5 вопросов
- Тест на тему Ход битвы на Косовом поле и ее последствия 5 вопросов
- Тест на тему Описание торгового пути из варяг в греки 5 вопросов
- Тест на тему Череда монгольских завоеваний: от Чингисхана до Тамерлана 5 вопросов
- Тест на тему История Монгольской империи: становление, расцвет и падение 5 вопросов
- Тест на тему Особенности феодального общества в период Средневековья 5 вопросов
- Тест на тему Причины и итоги гражданской войны в Англии 5 вопросов
- Тест на тему Краткая история династии Гогенцоллернов в Германии 5 вопросов
- Тест на тему Как проходила революция в США и чего удалось добиться? 5 вопросов
- Тест на тему Причины и итоги кубинской революции 5 вопросов
- Тест на тему Условия и последствия заключения Парижского мира 5 вопросов
- Тест на тему Мир культуры эпохи Просвещения: художественная литература, музыка, живопись 5 вопросов
- Тест на тему Краткое описание эпохи раннего Нового времени 5 вопросов
- Тест на тему Зарождение и устройство республики соединенных провинций Нидерландов 5 вопросов
- Тест на тему Что спровоцировало распад арабского халифата? 5 вопросов
- Тест на тему Самые известные концлагеря нацистов во время Второй мировой войны 5 вопросов
- Тест на тему Цели и последствия Мюнхенского сговора в 1938 году 5 вопросов
- Тест на тему Основные правила ухода за комнатными растениями 5 вопросов
- Тест на тему Обзор народов, населяющих республику Татарстан 5 вопросов
- Тест на тему Какие народы проживают в Красноярском крае 5 вопросов
- Тест на тему Какие народы живут в республике Башкортостан 5 вопросов
- Тест на тему НЛО - что это такое и существуют ли инопланетяне? 5 вопросов
- Тест на тему Почему новгородского князя Олега прозвали Вещим? 5 вопросов
- Тест на тему Обзор главных и малоизвестных достопримечательностей Санкт-Петербурга 5 вопросов
- Тест на тему Какую роль играет лес в природе и жизни людей? 5 вопросов
- Тест на тему 10 самых глупых животных в мире 5 вопросов
- Тест на тему 10 самых сильных животных в мире 5 вопросов
- Тест на тему Почему после еды сразу начинаешь хотеть спать? 5 вопросов
- Тест на тему Почему человек не может работать постоянно и устает 5 вопросов
- Тест на тему Что ест божья коровка в природе? 5 вопросов
- Тест на тему Птицы, занесенные в Красную книгу России 5 вопросов
- Тест на тему Обзор заповедников тундры на территории России 5 вопросов
- Тест на тему Какие растения произрастают в тайге 5 вопросов
- Тест на тему Традиции и обычаи татарского народа 5 вопросов
- Тест на тему Миф о созвездии Лебедя и как его найти на небе 5 вопросов
- Тест на тему Какие свойства есть у воздуха, которым мы дышим 5 вопросов
- Тест на тему Каких животных можно встретить в холодных районах Земли 5 вопросов
- Тест на тему 10 удивительных рекордов планеты Земля 5 вопросов
- Тест на тему Мастера печатных дел на Руси 5 вопросов
- Тест на тему Описание звездного неба для 2 класса 5 вопросов
- Тест на тему Почему Красная площадь называется красной? 5 вопросов
- Тест на тему Три разных состояния воды в природе 5 вопросов
- Тест на тему Что написано в декларации прав ребенка? 5 вопросов
- Тест на тему Путешествие в Египет - проект по окружающему миру для 3 класса 5 вопросов
- Тест на тему Путешествие в Грецию - проект по окружающему миру для 3 класса 5 вопросов
- Тест на тему Как нужно вести себя в библиотеке: основные правила для детей 5 вопросов
- Тест на тему Чем схожи и чем отличаются остров и полуостров? 5 вопросов
- Тест на тему Объекты всемирного наследия ЮНЕСКО в Греции 5 вопросов
- Тест на тему Объекты всемирного наследия ЮНЕСКО в Венгрии 5 вопросов
- Тест на тему Объекты всемирного наследия ЮНЕСКО в Аргентине 5 вопросов
- Тест на тему Объекты всемирного наследия ЮНЕСКО в Австрии 5 вопросов
- Тест на тему Чем стриж отличается от ласточки? 5 вопросов
- Тест на тему Что такое линия горизонта и где она находится? 5 вопросов
- Тест на тему Деньги – что это такое и как они выглядят? 5 вопросов
- Тест на тему Чем питаются лисы в дикой природе? 5 вопросов
- Тест на тему 4 способа распространения плодов 5 вопросов
- Тест на тему Какие животные являются паразитами? 5 вопросов
- Тест на тему Зачем нам нужны телефон и телевизор? 5 вопросов
- Тест на тему Какое животное является священным в Индии и почему? 5 вопросов
- Тест на тему Сколько дней человек может прожить без воды? 5 вопросов
- Тест на тему Сколько дней человек может прожить без еды? 5 вопросов
- Тест на тему Почему человек может видеть разные цвета? 5 вопросов
- Тест на тему Как можно отличить ужа от ядовитой гадюки? 5 вопросов
- Тест на тему Какие животные считаются самыми умными? 5 вопросов
- Тест на тему Виды и описание домашних насекомых 5 вопросов
- Тест на тему Чем весенний паводок отличается от половодья? 5 вопросов
- Тест на тему Внутреннее строение и атмосфера планет-гигантов 5 вопросов
- Тест на тему Виды и принципы административно-правовых режимов 5 вопросов
- Тест на тему Обзор видов правосудия и их особенностей 5 вопросов
- Тест на тему Понятие, черты и функции административной юрисдикции 4 вопроса
- Тест на тему Нюансы договора на поставку товаров для государственных и муниципальных нужд 5 вопросов
- Тест на тему Описание договора коммерческой концессии (франчайзинга): содержание, условия 5 вопросов
- Тест на тему Договор купли-продажи предприятия: суть, условия 5 вопросов
- Тест на тему Понятие и общая характеристика договора контрактации 5 вопросов
- Тест на тему Понятие и виды самореализации человека 5 вопросов
- Тест на тему Моральные и нравственные качества человека 5 вопросов
- Тест на тему Важность ведения здорового образа жизни для человека 5 вопросов
- Тест на тему Виды и значение экзистенциальных потребностей 5 вопросов
- Тест на тему Какие бывают семьи: виды по составу, форме брака, воспитанию 5 вопросов
- Тест на тему Невербальные способы и средства общения 5 вопросов
- Тест на тему Что такое гендер и чем он отличается от биологического пола? 5 вопросов
- Тест на тему Элементы духовного мира человека 5 вопросов
- Тест на тему Понятие и виды экономических ресурсов 5 вопросов
- Тест на тему Основные виды и признаки этносов 5 вопросов
- Тест на тему Зачем человеку нужно изучать обществознание? 5 вопросов
- Тест на тему Виды социальных лифтов и примеры 5 вопросов
- Тест на тему Определение и значение моральных принципов в жизни общества 5 вопросов
- Тест на тему Виды и примеры общественных потребностей человека 5 вопросов
- Тест на тему Суть социального конфликта: функции, стадии развития 5 вопросов
- Тест на тему ТОП-10 стран с сильнейшими экономиками мира 5 вопросов
- Тест на тему 4 глобальных проблемы мировой экономики 5 вопросов
- Тест на тему Тенденции развития мировой экономики 5 вопросов
- Тест на тему Суть и методы валютного хеджирования 5 вопросов
- Тест на тему Экономические методы борьбы с бедностью за рубежом и в России 5 вопросов
- Тест на тему Характеристика экономики связи и ее подотраслей 5 вопросов
- Тест на тему Какие факторы влияют на стоимость предприятия 5 вопросов
- Тест на тему Суть теории общественного выбора и концепции Бьюкенера 5 вопросов
- Тест на тему Как финансовые пузыри влияют на экономику 5 вопросов
- Тест на тему Назначение и формула производственной функции Кобба-Дугласа 5 вопросов
- Тест на тему 9 школ экономической теории и их характерные черты 5 вопросов
- Тест на тему Основные виды алгоритмических конструкций 5 вопросов
- Тест на тему Суть метода Монте Карло и его применение 5 вопросов
- Тест на тему Суть и истоки теории неокейнсианства 5 вопросов
- Тест на тему Суть и инструменты инфляционной политики 5 вопросов
- Тест на тему Что такое государственный долг, и о чем говорит его размер? 5 вопросов
- Тест на тему Условия и виды равновесия на рынке 5 вопросов
- Тест на тему Сущность и применение кривой Филлипса 5 вопросов
- Тест на тему Суть и расчет внутреннего национального продукта (ВНП) 5 вопросов
- Тест на тему Циклы или длинные волны Кондратьева: суть теории 5 вопросов
- Тест на тему Депонирование - что это такое и зачем используется? 5 вопросов
- Тест на тему Причины и формы международного движения капиталов 5 вопросов
- Тест на тему Особенности сказа в литературе: понятие, сюжет, приемы 5 вопросов
- Тест на тему Что такое стихотворение: определение, особенности, виды 5 вопросов
- Тест на тему Суть, обозначения четырехстопного ямба и примеры из стихотворений 5 вопросов
- Тест на тему Определение и виды трехсложных стихотворных размеров 5 вопросов
- Тест на тему Система жанров древнерусской литературы 5 вопросов
- Тест на тему Особенности и разновидности колыбельных 5 вопросов
- Тест на тему Особенности и виды частушек как жанра народного творчества 5 вопросов
- Тест на тему Особенности предания как литературного жанра 5 вопросов
- Тест на тему Сказка - что это такое и каковы ее особенности? 5 вопросов
- Тест на тему Определение и примеры аллюзий в художественной литературе: 5 вопросов
- Тест на тему Определение метафоры и примеры ее использования 5 вопросов
- Тест на тему Прием Эзопова языка в литературе: определение и примеры 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение-рассказ по картинке «Стёпа дрова колет» 5 вопросов
- Тест на тему Анализ повести «Старик и море» Э. Хемингуэя 5 вопросов
- Тест на тему Виды и особенности устного народного творчества 5 вопросов
- Тест на тему Разнообразие сатирических приемов в литературе 5 вопросов
- Тест на тему Особенности метонимии как средства выразительности 5 вопросов
- Тест на тему Деление литературы на роды 5 вопросов
- Тест на тему Идея и виды бытовых сказок 5 вопросов
- Тест на тему Жанры и особенности фольклора 5 вопросов
- Тест на тему Суть и примеры синекдохи из художественной литературы 5 вопросов
- Тест на тему Как правильно вести читательский дневник 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стиха «Внимая ужасам войны» Н. Некрасова 5 вопросов
- Тест на тему Сравнение в литературе: способы создания и примеры 5 вопросов
- Тест на тему Прием инверсии в литературе: определение и примеры 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Муза» А. Ахматовой 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Прощанье» В. Маяковского 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Прощай, немытая Россия» М. Лермонтова 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Имя твое - птица в руке» М. Цветаевой 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Бабье лето» Д. Аминадо 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Соловьи» А. Фатьянова 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «У птицы есть гнездо» И. Бунина 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Братские могилы» В. Высоцкого 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Уступи мне, скворец, уголок» Н. Заболоцкого 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Ты кончил жизни путь» Д. Байрона 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Родное» Д. Мережковского 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Забелелся туман за рекой» Ф. Сологуба 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Знайте» З. Гиппиус 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Честная бедность» Р. Бернса 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Песня о друге» В. Высоцкого 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Я воспитан природой суровой» Н. Заболоцкого 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Не надо звуков» Д. Мережковского 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Привет, Россия» Н. Рубцова 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Не с теми я, кто бросил землю» А. Ахматовой 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Перемена» Б. Пастернака 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Стихи о Петербурге» А. Ахматовой 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Стихи к Блоку» М. Цветаевой 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Клеветникам России» А. Пушкина 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Завещание» Н. Заболоцкого 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Стихи о Москве» М. Цветаевой 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Молитва» М. Цветаевой 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «И. И. Пущину!» А. Пушкина 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «День и ночь» Ф. Тютчева 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Весна в лесу» Б. Пастернака 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Журавли» Р. Гамзатова 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Люблю» В. Маяковского 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Когда на меня навалилась беда» К. Кулиева 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Гамлет» Б. Пастернака 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Русь» А. Блока 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Ночь» В. Маяковского 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение по картине “Портрет сына” В. Тропинина для 7 класса 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение по картине “Портрет Шаляпина” Б. Кустодиева 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение по картине “Жатва” А. Пластова 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: «Характеристика Василия Тёркина» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: «Нужны ли тимуровцы сейчас?» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему «Характеристика Гулливера» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение по сказке С. Маршака «12 месяцев» 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение по картине «Село Хмелевка» Н. Ромадина 5 вопросов
- Тест на тему Сочинение на тему: «Образ Дона в романе “Тихий Дон”» 5 вопросов
- Тест на тему «Бахчисарайский фонтан» А. Пушкина - краткое содержание 5 вопросов
- Тест на тему «Госпожа Бовари» Г. Флобера - краткое содержание 5 вопросов
- Тест на тему «Легенда о Ларре» из повести «Старуха Изергиль» М. Горького - краткое содержание 5 вопросов
- Тест на тему «Приключения Васи Куролесова» Юрия Коваля - краткое содержание 5 вопросов
- Тест на тему «Разбойники» Ф. Шиллера - краткое содержание 5 вопросов
- Тест на тему Кир Булычев - биография и лучшие произведения 5 вопросов
- Тест на тему Василь Быков - творческий путь и биография писателя 5 вопросов
- Тест на тему Братья Стругацкие: биография, лучшие романы и цензура 5 вопросов
- Тест на тему Эдуард Успенский - биография и лучшие книги писателя 5 вопросов
- Тест на тему Суждения как форма мышления: виды и составные элементы 5 вопросов
- Тест на тему Понятие как одна из форм мышления: определение, способы формирования 5 вопросов
- Тест на тему Формулы и нюансы вычислений в электронных таблицах 4к 5 вопросов
- Тест на тему Суть моделирования как метода познания 5 вопросов
- Тест на тему Перечень базовых элементов алгебры логики 5 вопросов
- Тест на тему Как устроены системы компьютерного распознавания и перевода текста 5 вопросов