Содержание:

Основные свойства

Рассмотрим некий треугольник ABC (рис.1):
Рис. 1. Треугольник
Рис. 1. Треугольник
Он имеет вершины A, B, и C которые образуют ∠BAC, ∠CBA и ∠BCA соответственно. Иногда их обозначают просто по букве вершины: ∠A, ∠B, ∠C, или ∠α, ∠β, ∠γ.
Важно! В рамках этой статьи рассматриваются только так называемые плоские углы, существующие в рамках двумерных фигур. Объемные или телесные вершины, исследуемые в стереометрии, здесь рассматриваться не будут. Также в этой статье не рассматриваются теоремы о суммах и значениях углов треугольников, квадратов и других геометрических фигур, синусы, косинусы и функции.

Единицы измерения

Вершины измеряются в основном при помощи градусов и радиан. Чтобы понять, что это такое, взглянем на окружность (рис.2).
Рис. 2. Окружность
Рис. 2. Окружность
Здесь линия AB - диаметр окружности, точка O - центр, OC - один из радиусов. Также мы видим ∠AOC, ∠O или ∠α, значение которого равно длине дуги AC. Известно, что длина окружности получается при перемножении числа pi и диаметра (или двух радиусов). В виде формулы это выражается: L=2Rπ, где:
  • R - радиус
  • π ≈ 3,14.
Таким образом, AC составляет некую часть длины всего круга, и ее длина, а следовательно и значение ∠, находится через число π. Полученное значение измеряют в радианах, и обозначают как x или x рад. Также возможно разделить длину круга на 360 равных частей - наглядно увидеть все значения для разных вершин вам поможет рис. 3. Его вы и дальше можете применять при решении различных задач, тем самым упрощая себе весь процесс. ​\( \frac1{360} \)​ часть круга называется градус и обозначается как 1°. При использовании этой меры показатель записывается как x°. Давно описана связь между радиальной и градусной мерами. Проще всего ее выразить на тригонометрической окружности.
Рис. 3. Тригонометрический круг
Рис. 3. Тригонометрический круг
На нем видно, что: ​\( \angle45^\circ=\frac{\mathrm\pi}4,\;\angle180^\circ=\mathrm\pi \)​ и так далее.

Виды

В зависимости от значения в градусах, выделяют следующие типы углов:
  • Нулевой 0°
  • Острый (0°; 90°)
  • Прямой 90°
  • Тупой > 90°
  • Развернутый 180°
  • Невыпуклый > 180°
  • Полный 360°

Типы “соседних” углов

При касании или пересечении прямых также образуются вершины. В зависимости от соотношения градусных мер, они бывают:
  1. Вертикальные. Не имеют общих сторон (наглядно увидеть такой пример можно на рис.4).
  2. Прилежащие . Имеют общие стороны (такие вершины показаны на рис.5). Выделяют следующие частные случаи:
 
  • Дополнительные. При сложении дают 90

  • Смежные. В сумме дают 180

  • Сопряженные. При сложении дают 360

Примеры:   Рис.4. Вертикальные Стоит отметить попарное равенство углов на рисунке (∠=∠, ∠=∠). Также: ∠+∠+∠+∠=360   Рис.5. Прилежащие     Важно! Термин “соседний” не используется в науке и учебниках. В этой статье он применен с целью упрощения восприятия темы. Биссектриса Если луч, делящий один изначальный угол на два равных, он называется биссектрисой (рис.6). Это явление является частной формой прилежащих углов.   Рис.6. Биссектриса     На рисунке луч делит ∠ на ∠=∠.   Освоение базовых знаний по геометрии и тригонометрии углов позволит начать освоение более сложных тем, послужив своего рода трамплином в деле познания. Для закрепления материала рекомендуем посмотреть видео ниже.