Умножение десятичных дробей - правило и примеры решений

Понятия и термины

Дробь — это число, в состав которого входят равные доли единиц. По сути, в математике она обозначает деление одного члена на другой. Результат действия может быть положительным или отрицательным. Классическая форма записи выглядит как x / y, где иксом называют делимое (числитель), а игреком — делитель (знаменатель). В качестве членов дробного отношения может быть не только рациональное число, но и любое выражение. Например, 67/90 (123x + 8y)/ 45z 3² / log78.

Дроби разделяют по типам. Они могут быть:

• обыкновенными — членами являются рациональные числа;
• смешанными — состоящими из суммы натурального числа и обыкновенной дроби;
• десятичными — в знаменателе записи стоит член, кратный десяти (10ⁿ).

Обыкновенная дробь может быть правильной или неправильной. К какому типу она относится, зависит от величины числителя. Если делимое меньше знаменателя, то отношение правильное, а если больше, то неправильное. Отношение может быть конечным и бесконечным. Первое имеет конечное число членов после запятой, а для второго это число не определено.

Десятичное выражение, кроме классической записи с использованием горизонтальной черты, может быть записано с запятой. Например, 56/100 как 0, 56. Эти две записи равносильны. Вторая форма в некоторых случаях просто более удобная.

Перевести из одного вида в другой довольно просто. Цифры, стоящие перед запятой, относятся к целой части, а после неё — к дробной. Их ставят в числитель: 3678 = 3 678/1000. Число разрядов определяет количество нулей в знаменателе. Так, более подробная запись для рассмотренного примера будет следующей: 3678 = 3 + 6 / 10 + 7 / 100 + 8 / 1000.

С дробями можно выполнять любые арифметические действия. Их можно: складывать, вычитать, делить, умножать. При этом операции возможно выполнять как с однотипными записями, например, выполнять умножение десятичных дробей на десятичную дробь, так и разными. Правда, во втором случае приходится делать дополнительные преобразования.

Существует основное свойство дроби. Согласно ему, если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число или выражение, то получится дробь, равносильная исходной.

Например, 2/10 = 2 * 34 / 10*34 = 68 / 340. Это важный закон, который часто позволяет заменить громоздкое трудное решение простым действием.

Умножение и деление

В 5 классе десятичным дробям преподаватель обычно уделяет несколько уроков, на которых обучает учащихся правилам действий над ними. Это элементарные операции, но без них дальнейшее успешное изучение алгебры невозможно.

Выполнять умножение с десятичными числами можно, записывая их как с запятой, так и с дробью. В первом случае используется следующая последовательность действий:

• множимое и множитель записывают в столбик;
• не обращая внимания на запятую, выполняют умножение;
• запятую ставят после стольких цифр, сколько их соответствует общему количеству членов, расположенных после знака в обоих перемножаемых выражениях.

Нужно отметить такую хитрость. При умножении десятичной дроби на число, кратное десяти, найти ответ можно в уме, так как запятая просто перемещается вправо на количество нулей, стоящих после единицы. Например, 156 * 100 = 156.

Аналогично выполняют и деление на любое натуральное число. Но вместо умножения используют правило деления в столбик. А запятую ставят тогда, когда заканчивается операция, связанная с целой частью делимого. Следует отметить: когда целая часть знаменателя больше числителя, число целых в ответе будет равняться нулю.

При умножении десятичного числа на дробное выражение используют общее правило перемножения отношений. Согласно ему, для нахождения произведения нужно числитель одного числа перемножить с числителем другого, а знаменатель — со знаменателем. Полученные результаты записать через дробную черту. Для того же, чтобы разделить дробь на отношение, необходимо в делителе числитель и знаменатель поменять местами, а затем дроби перемножить между собой.

В каком виде выполнять действие с десятичными дробями, зависит от личных предпочтений решающего задание. В одних случаях выражение удобно записать через запятую, а в других — через черту. Например, 0, 1 * 1, 2 = 0, 12. Но этот пример может быть записан как (1 / 10) * (1 1/5) = (1 / 10) * (6 / 5) = 3 / 25. Если три разделить на двадцать пять, например, в столбик или даже на калькуляторе, то в ответе получится как раз число 0, 12.

Так же можно проверить и деление. Например, 0, 6: 0, 3 = 2 или (6 / 10) / (3 / 10) = 60 / 30 = 2. Учащийся должен не только знать оба способа, но и понимать, в каком случае удобнее применить тот или иной метод. При этом нужно помнить, что при умножении отрицательных чисел в ответе получится знак плюс.

Решение простых примеров

Для успешного применения теории на практике нужен опыт решения различных примеров. Обычно для закрепления материала достаточно самостоятельно решить около пятнадцати заданий. Существуют различные математические сборники, в которых находятся типовые задания, предназначенные для самостоятельной проработки учащимися средней школы.

Вот некоторые из примеров на умножение десятичных дробей с решением и подробным объяснением, включённые в математические сборники:

1. Вычислить суму трёх произведений: 0, 11 * 0, 25 + 4 * 1, 67 * 8, 9 + 3, 8 * 7, 1. Решение удобнее всего выполнять по действиям. То есть сначала найти произведение каждого члена, а уже после выполнить сложение. Умножение членов будет выполняться одинаково. Вычислять произведения понадобится в столбик. Так, 0, 11 * 0, 25 необходимо умножить, не обращая внимания на запятую, то есть записать 011, а под ним 025. Получится 00275. Теперь справа налево нужно отсчитать четыре знака и поставить запятую — 0, 0275. И также можно найти произведения оставшихся двух членов. В итоге должно получиться следующее: 0, 0275 + 6, 68 + 26, 98 = 33, 6875.
2. Найти произведение: (12 / 20) * 5, 4. В этом случае удобно первый член записать в виде десятичного числа с запятой. Так дробь можно сократить на два. В итоге она примет вид: 12 / 20 = 6 / 10 = 0, 6. Теперь, используя правило умножения, несложно выполнить и нужное действие: 06 * 5, 4 = 3, 24.
3. Определить, чему равно произведение: 0, 5 * 3 4/5 * 2/5. Ответ записать в виде десятичного числа. Выражение содержит десятичную правильную и смешанную дробь. Поэтому нужно привести все члены к одному виду. Десятичное число можно представить как 5 / 10, а смешанную дробь в виде неправильной: 3 4/5 = ((3 * 5) + 4)) / 5 = 19 / 5. Теперь, по правилу умножения, все числители и знаменатели нужно перемножить между собой: 5 / 10 * 19 / 5 * 2 / 5 = (5 * 19 * 2) / (5 * 5 * 5) = 190 / 25 = 38 / 5 = (7 * 5 + 3) / 5 = 7 + 3 / 5 = 7 3/5 = 7, 6.

Рассмотренные задания относятся к начальному уровню. Обычно при знании таблицы умножения и алгоритма решения они не вызывают трудностей у учащихся. На таких примерах ученик должен определиться, какие преобразования удобнее делать в том или ином случае и, конечно же, научиться применять теорию на практике.

Сложные задачи

Задачи, в отличие от примеров, более приближены к реальным вычислениям. Они моделируют расчёты, которые могут быть востребованы по-настоящему в быту или при выполнении работы. При этом решать их гораздо интереснее, но и требуют они уже среднего или высокого уровня подготовки. Например:

1. Поставщик на рынок доставил пятнадцать ящиков бананов и двадцать пакетов с яблоками. Каждая упаковка весит 15, 5 килограммов. Рассчитать, сколько всего килограммов фруктов завезли на базу. В первом действии нужно узнать, сколько же всего было упаковок товара: 15 + 20 = 35 штук. Так как вес тары одинаков, то можно найти требуемый ответ простым умножением: 15, 5 * 35 = 542, 5 килограмма.
2. Грузовая машина на сто километров пройденного пути расходует 12 литров топлива. Молоковоз же расходует больше на 45 литра, а легковой автомобиль с прицепом больше молоковоза в 1, 5 раза. Определить, сколько топлива сжигает легковушка, проехавшая один километр пути. Ответ округлить до десятых. Вначале нужно найти, сколько же расходует горючего молоковоз на сто километров: 12 + 4, 5 = 16, 5 литров. Из условия следует, что легковушка потребляет бензина больше в полтора раза, поэтому её расход будет равен: 16, 5 * 1, 1 = 18, 5. В задаче спрашивается расход на один километр отсюда 18, 5 / 100 = 0, 1815 ≈ 0, 2 литра.
3. Дорога у школьницы до дома занимает 2 км. Утром она часто опаздывает в школу, поэтому ей приходится бежать. В этом случае время, которое ей нужно затратить на дорогу до школы, составляет 0, 35 часа. Обратно из школы девочка не торопится и идёт домой в течение 0, 5 часа. С какой скоростью ученица бежит в школу утром и с какой возвращается после уроков? Из курса физики известно, что скорость — это расстояние, делённое на время. Отсюда утренняя скорость школьницы равна: 2:0, 35 = 200 / 35 = 5, 7 км/ч. Аналогично можно найти скорость, с какой девочка возвращается: 2:0, 5 = (2/1) / (5/10) = (2 / 1) / (1 / 5) = (2 / 1) * (5 / 1) = 10 км/ч. Задача решена.

Следует обратить внимание, что правило, при котором запятая может переноситься на количество разрядов, совпадающих с числом нулей, довольно часто используется при решении. Нужно не забывать об этой возможности, и тогда некоторые действия можно будет выполнять устно.