Умножение смешанных дробей - правило и примеры решения

Общие сведения

По своей сути, дробь представляет собой какое-либо отношение, то есть разделение. Например, имеется торт, который разделён на 3 равные части. Все куски составляют одно целое — пирог. Но если из него взять один кусок, целостность будет нарушена. В математике такое действие записывают дробным отношением. В частности, для рассматриваемого случая алгебраическое выражение будет выглядеть как 1/3.

Здесь чёрточка обозначает деление. Число сверху над ней называют числителем (делимое), а снизу — знаменателем (делитель). Читается запись — «одна третья» или «одна третьей доли». Такого вида дроби принято считать обыкновенными. В них знаменатель показывает, на какое количество одинаковых частей что-либо можно поделить. Числитель же обозначает, какая часть была взята.

Обыкновенные отношения разделяют на 3 вида:

1. Правильные — в их записи значение делителя меньше числа делимого.
2. Неправильные — когда числитель больше знаменателя или равен ему.
3. Смешанные — отношение состоит из целой части и дробной.

С простыми дробями можно выполнять любые действия. При сложении или вычитании суть операции сводится к нахождению общего знаменателя, то есть наименьшего общего кратного и выполнения действия в числителе с учётом дополнительного множителя. Например, 1/15 + 2/15 = 3/15; 2/33 — 1/33 = (2 — 1) / 33 = 1/33.

При умножении нужно числитель одного выражения умножить на делимое второго. Также поступить и со знаменателями — перемножить их. При делении в дроби, на которую уменьшают, нужно поменять местами верхнее число дроби с нижним, а после выполнить перемножение с первым отношением. Например, 2/3 * 3/6 = (2 * 3)/(3 * 6) = 6/18; 1/7: 1/7 = 1/7 * 7/1 = 7/7.

Операции сами по себе несложные. Но часто на практике приходится иметь дело с неправильными и смешанными дробями. Правило умножения при работе с ними немного изменяется. Следует знать, что смешанную дробь всегда можно представить как неправильную. Это важное замечание, именно на него и опирается закон произведения смешанных чисел. Кроме того, при выполнении действий используют основное свойство дроби — делитель и делимое можно умножить на одно и то же любое натуральное число без изменения конечного результата.

Преобразование смешанных чисел

Умножение на обыкновенную дробь смешанного выражения невозможно без предварительных преобразований. Чтобы понять, как их делать, нужно чётко понимать, что собой представляет смешанное число. Состоит такая запись из двух частей:

• целой — натуральное число;
• дробной — простое отношение.

Например, 3 1/3; 12 24/78; 1 ½. Другими словами, смешанная дробь — это запись числа, которая представляет сумму целой и дробной части. То есть справедливо будет записать равенство: 6 12/45 = 6 + 12/45. Это выражение всегда можно привести к неправильному виду. Для этого нужно выполнить всего два действия:

1. Целую часть перемножить со знаменателем и результат сложить с числителем.
2. Полученное значение записать в числитель, а знаменатель оставить без изменения.

Формулой эту операцию можно записать в следующем виде: a b/c = (a * c + b)/c.

Например, нужно перевести смешанное число 3 27/34 в неправильную дробь. Используя алгоритм, знаменатель оставляют без изменения, а числитель умножают на делимое и складывают с целым: 3 27/34 = 3 + 27/34 = (3 * 34)/34 + 27/34 = (3*34 + 27)/34 = 129/34. Полученное выражение пробуют упростить, то есть разделить без остатка на одно и то же число.

Вот немного сложнее задание. Следующее выражение нужно перевести в неправильную дробь: 3 — 27/34. Существует одна хитрость: если целая часть не содержит единицу, её приводят к такому виду, чтобы она содержала единичный член. Так, задание можно преобразовать к равенству: 2 + 1 — 27/34. Единицу в выражении можно заменить отношением, согласно свойству дробей, то есть представить её как 34/34. Теперь задание примет вид: 2 + 34/34 — 27/34.

Используя правило вычитания дробей с одинаковым знаменателем довольно просто выполнить действие: 2 + ((34−27) / 34) = 2 + 7/34 = 2 7/34. Полученное число уже без затруднений можно привести к виду неправильной записи: 2 7/34 = (2 * 34 + 7)/34 = (64 + 7)/34 = 75/34. При этом всегда можно выполнить и обратную операцию. Отсюда следует не менее важное правило, что натуральное число разрешено представлять как обыкновенную дробь с единичным знаменателем. Например, 33 = 33/1; 564 = 564/1.

Решение примеров

После изучения теории для её закрепления необходимо перейти к решению практических заданий. Начинать нужно с простых примеров, а после их освоения переходить к более сложным примерам. Существует набор типовых задач, после самостоятельного решения которых можно утверждать о понимании материала. Вот один из сборников, содержащий типовые задачи:

1. Перемножение неправильных дробей: 5/2 * 13/5 = (5 * 13)/(2 * 5) = 13/2. Полученная дробь неправильная, её нужно привести к смешанному числу: 13/2 = (1 + 6 * 2)/2 = 6 ½.
2. Задача на простое умножение с упрощением второй дроби: 2/5 * 45/5 = 2/5 * 9/1 = 18/5 = (3 + 3*5)/5 = 3 3/5.
3. Умножение смешанной дроби на целое число: 2 23/34 * 11 = ((2 * 34 + 23)/34) * 11/1 = 91/34 * 11/1 = (91 * 11)/*34 * 1) = 1001/34 = 29 15/34.
4. Нахождение результата перемножения двух смешанных выражений: 2 27/43 * 4 8/9 = ((2 * 43 +27)/43) * ((4 * 9 + 8)/9) = (113/43) * (44/9) = (113 * 44)/(43 * 9) = 4972/387 = (328 + 12*387)/387 = 12 328/387.
5. Вычисление ответа умножения числа на неправильную дробь: 2 11/18 * 5/3 = (2 * 18 + 11)/18 * 5/3 = 47/18 * 5/3 = (47 * 5) / (18 * 3) = 235 / 15 = 47/3 = (15 * 3 + 2)/3 = 15 + 2/3 = 15 2/3.

Для решения сложных заданий необходимо уметь комбинировать различные действия. Вот пример одного из таких заданий: (2/34 + 5 7/8) * 2 12/5 * 4 * 2/3. При решении такой задачи в первую очередь следует выполнить сложение в скобке: (2/34 + 5 7/8) = 5 + 2/34 + 7/8 = 5 + 8/136 +119/136 = 5 + (8 + 119)/136 = 5 + (127/136) = 5 127/136. Вторым действием будет приведение смешанных чисел к неправильным дробям: 2 12/5 = 2 + 12/5 = 2 + (2 * 5 + 2)/5 + 2/5 = 4 2/5.

Теперь можно перемножить первый член со вторым, а третий с четвёртым: 5 127/136 * 4 2/5 = ((5 * 136) + 127)/136) * (4 * 5 + 2)/5) = 807/136 * 22/5 = (807/ 2 * 68) * (2 * 11/5) = (807 * 11)/(68 * 5) = 8877/340 = (37 + (26 * 340))/340 = 26 37/340; 4 * 2/3 = 4/1 + 2/3 = (4 * 2) / (1 * 3) = 8/3 = (2 + 2 * 3)/3 = 2 2/3.

Последнее действие заключается в перемножении полученных членов: (26 37/340) * (2 2/3) = ((26 * 340 + 37)/340) * (2 * 3 + 2)/3) = (8877/340) * (8/3) = (3 * 2959)/(4 * 85) * (4 * 2/3) = (2959/85) * (2 /1) = 5918/85. Это и есть ответ на поставленную задачу. Но так как в ответе стоит неправильная дробь, её желательно преобразовать в смешанную: 5918/85 = (53 + 69 * 85) / 85 = 69 53/85. Пример решён.

Использование онлайн-калькулятора

На обычном калькуляторе выполнить умножение смешанных чисел возможно только путём переведения их в десятичные., то есть нужно будет представить члены выражения в виде неправильных дробей, затем разделить и найти произведение. Но если есть подключение к интернету, удобно использовать так называемые математические онлайн-калькуляторы.

Это сайты, специализирующиеся на вычислениях. Чтобы ими воспользоваться, не нужно особой подготовки. Достаточно загрузить сервис и в предлагаемую форму ввести условия примера. После нажать кнопку «Рассчитать» и через одну-две секунды, зависит от сложности задания, получить ответ. Для этого, конечно же, понадобится подключение к интернету и гаджет, на котором установлен веб-браузер с поддержкой Flash-плеера.

Из множества сайтов, существующих в русскоязычном секторе интернета, можно выделить:

• onlinemschool;
• webmath;
• naobumium;
• 0oq;
• allcalc.

Эти сервисы предлагают свои услуги бесплатно и даже не требуют регистрации или указания каких либо своих данных. Удобство их использования ещё и в том, что кроме автоматического подсчёта правильного произведения, сайты предоставляют пошаговое решение. Это удобно в процессе обучения. Можно не только проверить самостоятельно полученный ответ, но и проследить все этапы выполнения действий.

Для новичков на сервисах предусмотрен краткий теоретический материал, так что даже неподготовленному пользователю будет понятно, как получается то или иное преобразование. А примеры с комментариями помогут понять алгоритм вычисления задач с дробями и закрепить пройденный на уроках материал.

Онлайн-калькуляторы — это отличное подспорье учащимся при освоении материала. К тому же они будут полезны студентам и инженерам. Всё дело в том, что расчёт с их помощью занимает несколько секунд и практически исключена ошибка. В то же время самостоятельные вычисления не только требуют повышенной внимательности, но и занимают намного больше времени.