Содержание:

Основные понятия

Определение вектора подразумевает отрезок, который имеет начало и направление. Координаты — это значения его первой и последней точки:

  • X1 Y1.
  • X2 Y2.

Формула будет выглядеть следующим образом: V=(X1-X2; Y1-Y2). Есть и нулевой вектор, когда координаты начала и конца совпадают. По факту, это всего лишь точка, и обычно ей не приписывают определенной направленности. В этом ключевое отличие от остальных.

Еще одним основным понятием является длина вектора. Формула по координатам: | V |=| T1-T2|. Рассматривают также проекцию на ось. Это направленная прямая, равная произведению исходного параметра на косинус образовавшегося угла. Также она может быть нулевой, если изначальный отрезок располагается перпендикулярно координатам.

Виды векторов

У отрезков с направлениями существуют определенные модификации, которые и формируют их виды. Векторы могут различаться. Однако если у них единая ориентация, хотя отличные начало и конец, их рассматривают в качестве одной из следующих групп:

  • Нулевой. Здесь начальная и конечная точка идентичны, а длина равна нулю.
  • Коллинеарные. Они располагаются либо параллельно друг другу, либо на одной прямой.
  • Сонаправленные. Это подгруппа коллинеарных векторов, когда ориентация отрезка совпадает.
  • Противоположно направленные. В данном случае коллинеарные отрезки будут ориентированы в разные стороны.
  • Равные. Должны иметь не только идентичную длину, но и быть направленными в одну сторону.
  • Единичные. Векторы с одной длиной, независимо от направления.
  • Компланарные. Отрезки лежат в параллельных плоскостях либо в одной из них.

Также различают свободные, скользящие и фиксированные векторы. В первом случае совпадает направление и длина. Во втором — лежат на одной прямой. Иногда отрезки могут полностью или частично накладываться друг на друга. И в третьем наблюдаются полностью идентичные показатели — ориентация, начало, конец.

Операции над отрезками

Любые геометрические свойства векторов можно перенести на систему координат — как двоичную, так и троичную. Впоследствии приобретаются алгебраические характеристики, что упрощает способы вычисления. Можно привести в пример несколько классических операций:

  • Модуль. Это то же самое, что и длина.
  • Сложение. Высчитывается путем суммирования координатных слагаемых.
  • Модуль суммы. Вычисляется посредством теоремы косинусов.
  • Вычитание. Высчитывается путем получения разности соответствующих координатных показателей.
  • Модуль разности. Здесь также задействуется теорема косинусов, однако перед угловой величиной ставится знак минус.
  • Умножение на число. Если показатель имеет положительное значение, то вектор будет сонаправленным, больше в указанное количество раз. Если отрицательное, то противоположно ориентированным.
  • Скалярное произведение. Вычисляется через геометрические характеристики. В формуле присутствует значение косинуса — рассматривается угол, который образуется, если отрезки наложить друг на друга, но направление оставить прежним.
  • Векторное произведение. Для вычисления задействуется трехмерное пространство. Чтобы получить результат, необходимо чертить перпендикулярно расположенный вектор (относительно двух других).

Сложнее всего выполняются операции по произведению. Здесь задействуются алгебраические и геометрические свойства. Удобнее видеть чертеж, ориентироваться по нему. Когда отрезки наложены друг на друга либо имеется перпендикуляр (в трехмерном пространстве), выводить математические значения намного проще.

Правила сложения

Чтобы геометрически построить сложение векторов, задействуются разные методы. Независимо от способа, результат одинаковый. Поэтому таковой подбирается в зависимости от условий задачи:

  • Правило треугольника. Оно следует из переноса отрезков. На плоскости один накладывается на другой, образуя угол. Конечные точки тоже соединяются между собой, чтобы получилась законченная геометрическая фигура. Вектор суммы задается именно этой новой линией.
  • Правило многоугольника. Задействуется аналогичным предыдущему образом, когда необходимо получить сумму сразу нескольких отрезков. Также называют правилом ломаной. Векторы переносятся параллельно на плоскости, чтобы соединиться в геометрическую фигуру. Замыкающая грань становится результатом математического действия.
  • Правило параллелограмма. В соответствии с ним чертится фигура, гранями которой становятся два отрезка. Диагональ является результатом сложения.

Правилом параллелограмма пользуются, когда векторы расположены в разных плоскостях. Трехмерное пространство усложняет процесс вычисления, но правильный чертеж позволяет вывести точные алгебраические свойства, построить пример. Также рассматриваемый способ задействуется, если необходимо, чтобы все линии выходили из одного угла.

Признаки компланарности

Если векторы располагаются параллельно друг другу либо исходят из одной точки, то они называются компланарными. При этом объединить в группу можно множество отрезков. Также действует правило, что для двух элементов всегда найдется равноудаленная плоскость, что относит их к соответствующей группе. Существует три условия:

  • Три вектора будут таковыми, если их общее произведение имеет нулевое значение.
  • Когда отрезки линейно зависимы, они тоже являются компланарными.
  • N -ое количество компланарное, когда линейно независимы только два из них.

Большинство задач в отношении этого свойства основываются на доказательстве компланарности двух и более отрезков. Когда есть три вектора и один из них нулевой, это уже теорема, от которой отталкиваются иные решения и подтверждения.

Геометрические свойства

Может показаться, что векторы представляют собой обычные отрезки. Однако они помогают выводить подсчеты и алгебраические характеристики в разных прикладных и математических науках. У них следующие геометрические свойства:

  • Поскольку отрезки представляют собой прямые, любое правило будет действительным как для плоскостного, так и для пространственного расположения.
  • В геометрии широко используется понятие свободного вектора. Это означает, что его начало и/или конец можно будет продлить для упрощения расчетов.
  • Нахождение в пространстве — расплывчатое понятие. Учитывая форму отрезка, его рассматривают как в двухмерном, так и в трехмерном виде.
  • От движения итоговые значения не зависят. Их можно передвигать в пространстве и на плоскости, образуя иные геометрические фигуры в совокупности линий.
  • Для сравнения используют равенства или неравенства. Задействуется ось координат, если необходимо — трехмерная. Когда располагаются совершенно в разных сторонах, имеют отличные начала и концы, все равно могут быть одинаковыми.
  • Решения задач выполняются геометрически и алгебраически. Задействовать только один способ не удастся.

Для выполнения тех или иных операций можно воспользоваться онлайн-калькулятором. Удобная форма заполнения позволяет получить результат быстро. Вычислительная техника самостоятельно подбирает удобный способ подсчета, строит геометрический чертеж, выводит алгебраические свойства. Некоторые системы могут выдать не только результат, но и пошаговое решение.