Возрастание и убывание функции - определение, примеры

Содержание:

Общие сведения
Характер зависимости
Условия появления экстремума
Решение задач

Общие сведения

Функция — величина, которая может принимать различные значения, определённые аргументом, то есть условием. Другими словами, значение параметра изменяется в зависимости от того, какой вид принимает связанный с ней определитель. Аргумент и функция — это переменные действительные числа.

Понятие можно описать как ответ на какой-либо вопрос. Например, если спросить, какого цвета маркер, можно ответить чёрный. Так вот цвет фломастера — это аргумент, а ответ — функция. При этом двух разных ответов на вопрос быть не может, а вот ситуация, наоборот, вполне возможна. Чёрным может быть не только маркер, но и рубашка. Значит, параметр может принимать одно и то же значение при разных величинах аргумента.

Традиционный способ описания параметра заключается в составлении уравнения. С правой стороны в нём стоит выражение, которое показывает зависимость чисел, а слева — обозначение функции. Принято зависимое значение обозначать буквой игрек, а определяющее изменение символом икс. Например, y = x + 1. В этом равенстве справа находится сумма, которая показывает, что функция всегда будет больше на единицу, чем аргумент.

Уравнение в математике можно изобразить и графиком. Для этого используют координатную плоскость, на которой откладывают значения переменных. Выполняют рисунок, руководствуясь свойствами функций:

Множество, определяющее допустимые действительные числа, при которых значения определены, является областью параметра: y = f (x).
Если величина функции принимает нулевое значение, координата точки находится в начале графика.
Значения аргумента, при которых выражение может принимать только положительный или отрицательный знак, соответствуют промежуткам знакопостоянства.
Возрастающей функцией является та, где большему значению из промежутка соответствует большее число зависимой величины, для убывающего выражения всё наоборот.
Зависимость f (x) периодическая, если существует такое отличное от нуля число P, что для произвольного икса из области определения справедливо равенство: f (x+P) = f (x). Наименьшую цифру называют периодом.

Ось икс называют абсциссой, а игрек — ординатой. Каждая точка на рисунке, соответствующая уравнению, определяется своей координатой. Визуально по графику исследовать поведение зависимости довольно удобно.

Характер зависимости

Для изучения поведения функции необходимо определить промежутки, на которых график уравнения возрастает или убывает. При этом равенство их может и вовсе не содержать или, наоборот, иметь довольно много. Переход из одного состояния в другое характеризуется точкой экстремума.

В математике она обозначает значение, соответствующее минимальным и максимальным координатам. При достижении наибольшего значения функции экстремум называют точкой максимума, а при соответствии наименьшей величине — точкой минимума. Понятие может быть применено как ко всему графику, так и выделенному на нём интервалу.

Существуют 2 правила, определяющих поведение уравнения:

Функция y = f (x) является возрастающей на интервале икс, когда при произвольно взятых x1 ∈ X и x2 ∈ X. При этом значение второй координаты больше первой и выполняется неравенство: f (x2) > f (x1) f (x2) > f (x1), то есть большему числу аргумента соответствует наибольшее значение функции.
Выражение y = f (x) считают убывающим в промежутке икс, когда для любых x1∈X, x2∈X выполняется условие x2 > x1 и равенство f (x2) > f (x1). Иначе говоря, набольшему значению функции соответствует минимальный аргумент.

Если уравнение описывается графиком непрерывным и определённым в конечных точках интервала возрастания и спадания, то есть координатами (a, b), они будут включены в промежуток роста и снижения. Это утверждение не противоречит определениям.

При этом точки экстремума могут совпадать и с окрестностями икс нулевого. Также уравнение, определённое множеством M, может и не иметь на нём ни одного подъёма или снижения. Например, f (x)=x при иксе, принадлежащему интервалу от -1 до +1.

Когда наибольшее или минимальное значение, определённое на множестве M и принимающее вещественные значения, достигает того, что числа других функций с той же областью определения подчинены конкретным ограничительным правилам, говорят об условном экстремуме. Если же таких дополнительных условий нет, величина безусловная.

Точка называется локальным максимумом, если выполняется условие x ≠ x0, где икс принадлежит окрестности (x0−δ, x0+δ), и справедливо неравенство f (x) ≤ f (x0). Если же верно неравенство f (x) > f (x0) — локальным минимумом.

Условия появления экстремума

На самом деле каждая стационарная точка может быть возможным экстремумом, чтобы установить, так ли это, нужно проводить ряд исследований. Всего существует 3 достаточных условия. Если они выполняются, можно утверждать об изменении поведения функции в этой точке:

Пусть для функции y = f (x) непрерывная в окрестности точки x0 и при этом производная f′(x) при пересечении точки x0 меняет свой знак. Тогда если x = x0, функция y = f (x) будет иметь экстремум. Когда производная меняет свой знак с минуса на плюс, будет максимум, в ином же случае — минимум.
Если уравнение f (x) имеет в точке конечную производную второго порядка, то в этой точке будет находиться локальный минимум при выполнении условия: f2 (n) > 0, а при невыполнении это неравенства — максимум.
Для неравенства, у которого n ≥ 1 функция имеет производную некого порядка n в произвольной точке окрестности m, а в самой координате результатом дифференцирования является n + 1, причём справедливо равенство f^/(m) = fⁿ(m) ≠ 0, в m будет находиться локальный экстремум.

Из этих признаков следует важное правило, что если имеется непрерывная функция со стационарной точкой, в которой при взятии производной значение изменит знак, это и будет означать экстремум. Чтобы верно определить, до какой координаты функция убывает, а до какой возрастает, можно воспользоваться нахождением точки перехода. Для этого нужно выполнить следующие действия:

выделить область определения;
взять производную для функции, соответствующую найденному интервалу;
найти 0;
определить точки, при которых существование уравнения описывающего график невозможно;
выбрать координаты, при которых функция изменяет знак.

Иными словами, делается предположение, что на каком-то интервале (a, b) существует конечное число точек. Производная f (x) в них обращается в 0. Если принять, что это точки x1, x2… xn, то, согласно предположению f^/ (x), не изменит свой знак на интервалах: (a1x); (x1, x2); (xn, b). Отсюда следует, что при помощи первого признака может быть решён вопрос о существовании экстремума в этих точках.

Решение задач

В учебниках по математике после теоретического изложения материала ученикам предлагается самостоятельно решить ряд примеров. Этот навык помогает научиться применять полученные знания на практике и лучше усвоить тему.Вот некоторые из таких заданий, предназначенные для решения учениками девятого класса средней школы:

Нарисовать график у = x2/3 при иксе меньше нуля. Учитывая, что показатель функции больше 0, можно утверждать, что равенство будет иметь возрастающую характеристику. Так как выражение степенное, зависимость будет нелинейной, поэтому, чтобы построить график, необходимо подставить вместо икса 3 произвольных числа, отметить их на координатной плоскости и соединить.
Экстремум функции определён в точке x^-1/3 = 3. Найти значение икса. Для нахождения ответа необходимо выполнить ряд преобразований. Левую и правую часть равенства можно возвести в куб. Тогда выражение примет вид: x^-1 = 27. Это то же самое, что и 1 / х = 27. Отсюда: x = 1 / 27.
Доказать, что y = 1 / (x2 + 1) возрастает в интервале от минус бесконечности до 0. Нужно принять, что x1 < x2, и рассмотреть разность f (x2) — f (x1), которая должна быть больше 0. Нужно подсчитать ответ в выражении: (1 / (x1² + 1)) — (1 / (x2² + 1)) = (x1² + 1 — x2² — 1) / ((x2 + 1) * (x2 + 1)) = (x1² — x2²) / ((x2² + 1) * (x1² + 1)). В знаменателе стоит произведение, поэтому можно исследовать отдельно каждую скобку. Любое число в квадрате будет положительным, значит, записи x2² + 1 ≥ 0 и x1² + 1 ≥ 0 верны. Числитель привести к виду: x1² — x2² = (x1 — x2) * (x1 + x2). Учитывая, что сумма двух любых отрицательных чисел меньше нуля x1 + x2 < 0. Получается, что в делимом стоят 2 отрицательных числа, а в делителе 2 положительных. Такое выражение всегда будет больше нуля.

Конечно же, любую функцию на убывание и возрастание легко исследовать, если имеется её график. Но не всегда его возможно представить, поэтому и выполняют расчёты.

При этом в интернете существуют онлайн-калькуляторы. Это сервисы, которые бесплатно и в автоматическом режиме вычисляют экстремумы.