Вычитание смешанных чисел - алгоритм и примеры решения

Общие сведения

Впервые в Европе понятие дробь стали использовать в 1202 году. Это слово ввёл в обиход математик Леонардо Пизанский (Фибоначчи). Под ним стали понимать число, состоящее из равных частей. Существует два вида его записи: обыкновенная и десятичная. Первую пишут с использованием горизонтальной черты, а вторую — запятой.

В записи вида x/y верхнее значение называют числителем или делимым, а нижнее — знаменателем (делителем). Существует четыре вида обыкновенных дробей:

1. Правильные — значение числителя меньше величины делителя (3/96).
2. Неправильные — модуль делимого совпадает или превышает значение знаменателя (56/5).
3. Смешанные — в состав числа входит целая часть и правильная дробь (4 5/9).
4. Составные — многоэтажное выражение ((1/78)/(87/90)).

Следует отметить, что в классификации знак чисел в знаменателе и числителе не учитывается, то есть выражение берётся по модулю. Таким образом, дробь, по сути, является одним из способов записи числа. Например, цифру 5 можно записать как 5,0 — десятичный вид, 25/5 — неправильная дробь.

Фактически смешанным числом является обыкновенная дробь, в которой опускается знак сложения: 3 + 45/98 = 3 45/98. Между смешанным выражением и неправильной дробью существует взаимосвязь. Её лучше всего объясняет презентация, часто используемая в процессе обучения учащихся сложению и вычитанию смешанных чисел в 5 классе.

Пусть на тарелке лежит яблоко, которое разрезано на четыре равные части. Один его кусочек съели, то есть осталось ¾. Позже на тарелку положили ещё одно яблоко. С математической точки зрения, было выполнено действие: 1 + ¾. В смешанной записи выражение 1 + ¾ будет выглядеть как 1 ¾. Новый фрукт позже разделили на четыре части. Таким образом, на тарелке оказалось 7/4 частей. Поэтому равенство 1 ¾ = 7/4 будет верным.

Отсюда следует, что любую смешанную дробь можно представить как неправильную и наоборот. Это преобразование используют при арифметических действиях для упрощения расчётов. Выполняют его двумя действиями: целую часть заменяют дробной со знаменателем, равняющимся единице, и выполняют сложение двух дробей. Например, 3 19/7 = 3 + 19/7 = 3/1 + 19/7 = (5 + 2 * 7)/7 = (21 + 19)/7 = 40/7.

Алгоритм вычитания

Прибавление (вычитание) дробей от целых и дробных чисел — одна из основных математических операций в алгебре. Следует отметить, что вычитаемые числа могут быть как с одинаковым знаменателем, так и разным. Поэтому используются два принципиально отличающихся способа. Для успешного вычитания смешанных дробей эти правила нужно обязательно знать и уметь применять на практике.

При одинаковых делимых правило вычитания довольно простое. В ответе знаменатель остаётся неизменным, а в числитель записывается разность уменьшаемого делителя с вычитаемым. Например, 13/19 — 5/19 = (13 — 5)/19 = 8/19. Если знаменатели отличаются, то необходимо найти наименьший знаменатель, которым является наименьшее общее кратное. Определить его можно несколькими способами.

Самый простой — перемножить делители между собой. Но этот способ неоптимальный и может привести к усложнению действий. Поэтому каждый знаменатель раскладывают на множители. В разложении совпадающие цифры убирают, а оставшиеся перемножают. В ответе и будет наименьший общий знаменатель (НОЗ). Как только НОЗ найден, вычисляют дополнительные множители. Делают это делением найденного числа на знаменатель каждой дроби. Полученные результаты умножают на числители, которые после вычитают.

Эти два важных правила используются и в алгоритме вычитания смешанных дробей. Объяснение его можно представить в виде последовательности следующих действий:

1. Из целой части первого числа вычитают целую часть второго.
2. Находят разницу дробных записей.
3. Записывают ответ, состоящий из целой и дробной части по правилу смешанного числа.

Этот алгоритм справедлив для любого выражения, дробная составляющая членов которого имеет одинаковый знаменатель. Если же он разный, то сначала необходимо найти НОЗ.

На практике же часто получается, что при вычитании числителей на первом месте стоит значение меньшее, чем на втором. То есть первый числитель меньше второго.

В этом случае используют метод занимания единицы. В его сути лежит возможность уменьшения целой части на единицу с последующим увеличением числителя на значение знаменателя. Например, 10 9/15 = 9 (9+15)/15 = 9 24/15. Если же вычитать нужно из натурального числа смешанное, то первое раскладывают так, чтобы получилась дробь. Например, смешанное число 6 при вычитании можно представить как 5 + 1 или 5 + 16/16. Значение дробной части подбирается таким образом, чтобы знаменатель образованной дроби совпадал с делителем вычитаемого числа.

Решение примеров

Знание теории необходимо уметь применять на практике. Для этого нужен опыт решения различных примеров. Обычно для закрепления материала хватает самостоятельно решить около двадцати заданий. Существуют специальные сборники, в которых собраны типовые задания для учащихся средней школы.

Из этих решебников можно выделить следующие примеры:

1. Найти разность: 59 3/13 — 50 1/13. Учитывая, что знаменатели отношений одинаковые, то берут за основу алгоритм и отдельно вычитают целые и дробные части: 59 3/13 — 50 1/13 = (59 — 50) (3/13 — 1/13) = 9 ((3 — 1)/13) = 9 2/13.
2. Вычесть из натурального числа смешанное: 4 — 2 12/35. Чтобы выполнить действие, из простой цифры выделяют единицу и представляют её в виде отношения: 4 = 3 + 1 = 3 + 35/35. Теперь рассчитывают ответ: 3 + 35/35 — 2 12/35 = 3 35/35 — 2 12/35 = (3−2) (35/35 — 12/35) = 1 ((35 — 12)/35) = 1 23/35.
3. Определить результат вычитания чисел с дробными частями, имеющими разные знаменатели: 13 10/15 — 4 5/33. В первом действии для 15 и 33 вычисляют НОЗ. Для этого числа раскладывают на множители: 15 = 5 * 3; 33 = 3 *11. Отсюда находят общий знаменатель, который равняется: 3 * 5 * 11 = 165. Теперь числители заданных дробей умножают на дополнительный множитель. Для первого числа это будет 165/15 = 11, а второго 165/33 = 5. В итоге дробь примет вид: 13 110/165 — 4 25/165 = (13 — 4) ((110 — 25)/165) = 9 85/165 = 9 17/33.
4. Найти разность: 15 3/12 — 7/12. Здесь можно сразу отметить, что три меньше семи, поэтому вначале проводят ряд преобразований для увеличения числителя первой дроби. Так, 15 3/12 = 14 + 1 (3+12)/12 = 14 + 1 15/12. Теперь пример примет вид: 14 + 15/12 — 7/12 = 14 ((15 — 7)/12) = 14 8/12 = 14 2/3.

Следует помнить, что все примеры можно решать и путём приведения выражений к неправильным дробям. Например, проверочный алгоритм для четвёртого задания может быть таким: 15 3/12 — 7/12 = (15 *12 + 3)/12 — 7/12 = 183/12 — 7/12 = (183 — 7)/12 = 176/12 = (176:4)/(12:4) = 44/3 = 14 2/3. Ответ идентичен полученному результату ранее. Какой метод применить, не имеет принципиальной разницы.

Использование онлайн-калькулятора

Школьные примеры подобраны так, что для вычисления правильного ответа нет необходимости выполнять сложные расчёты. Зная правила, алгоритм и имея опыт самостоятельного решения, найти разницу не составит труда. Но в реальности часто приходится сталкиваться со сложными выражениями, что приводит к громоздким и сложным вычислениям.

На обычном двоичном калькуляторе вычитание из целого числа смешанной дроби выполнить невозможно, а вот на так называемом онлайн-калькуляторе вполне возможно. Это обычный интернет-сервис, специализирующийся на математических вычислениях. В российском сегменте сети существует несколько десятков сайтов, специализирующихся на онлайн-расчетах. Из них, по отзывам пользователей, можно выделить следующую пятёрку:

1. Naobumium.
2. 0oq.
3. Onlinemschool.
4. Allcalc.
5. Calc.

Это русскоязычные сервисы, не требующие от пользователей даже регистрации, предоставляющие свои услуги бесплатно. Всё что нужно, это доступ к интернету и браузер, поддерживающий технологию flash. От потребителя требуется лишь указать в специальной форме уменьшаемое и вычитаемое. Затем нажать кнопку «Рассчитать» и через одну две секунды получить разность. При этом приведённые сайты выдают на экран не только ответ, но и демонстрируют пошаговое решение.

Все вычисления выполняются в автоматическом режиме. Кроме результата, онлайн-калькуляторы могут использоваться и как подспорье в изучении математики. Так, на их страницах содержится вся необходимая теоретическая информация, касающаяся вычитания смешанных чисел, на некоторых можно найти даже видеоуроки. Кроме того, вместе с теорией часто приводятся типовые примеры с подробным описанием их решения.

Онлайн-сервисы будут полезны не только студентам и ученикам, желающим проверить свои вычисления или понять, где у них может быть ошибка в расчётах, но и инженерам различных направлений. Всё дело в том, что сталкиваясь со сложными заданиями, инженеру нужно не только проявить усидчивость и повышенную внимательность для расчёта, но и затратить много времени.

В то же время автоматические вычисления не только выполняются без ошибок, но и затрачивают на операцию секунды.